При опрокидывании волн реальные решения восстанавливаются введением разрывов, и мы проделаем это, основываясь на общей точке зрения, развитой в гл. 2. В области, где происходит опрокидывание, производные становятся большими и, строго говоря, предположения (6.22) – (6.24) неприменимы. Но реальное поведение обычно хорошо аппроксимируется введением разрывов, удовлетворяющих надлежащим условиям, и сохранением предположений (6.22) – (6.24) в области непрерывного течения. Впоследствии можно изучить детали структуры ударной волны, учтя эффекты вязкости и теплопередачи.

Как указано выше, при формировании ударных волн следует пересмотреть соображения, развитые для случая простой волны и приведшие к интегралам
\[
S=S_{0}, \quad \frac{2 a}{\gamma-1}-u=\frac{2 a_{0}}{\gamma-1},
\]

и необходимо вернуться к полной системе из трех уравнений.
Условия на разрыве устанавливаются при помощи рассуждений, проведенных в § 5.8. Здесь существенно то, что мы работаем с уравнениями вида законов сохранения и что именно эти три уравнения соответствуют физическим законам сохранения в интегральной форме. Для правильного выбора необходимо вернуться к их исходной интегральной записи (6.2) – (6.4). Ограничиваясь одним измерением и опуская массовые силы (хотя они не меняют

условия на разрыве), получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}} \rho d x+[\rho u]_{x_{2}}^{x_{1}}=0, \\
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}} \rho u d x+\left[\rho u^{2}-p_{11}\right]_{x_{2}}^{x_{1}}=0, \\
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}}\left(\frac{1}{2} \rho u^{2}+\rho e\right) d x+\left[\left(\frac{1}{2} \rho u^{2}+\rho e\right) u-p_{11} u+q_{1}\right]_{x_{2}}^{x_{1}}=0 . \\
\end{array}
\]

Каждое из этих соотношений имеет вид (5.54), п соответствующее условие на разрыве имеет вид (5.56). После вывода условий на разрыве для непрерывного течения по обе стороны от разрыва снова принимаются значения $p_{11}=-p, q_{1}=0, e=e(p, \rho)$, и, следовательно, их можно подставить в условия на разрыве. Тогда эти условия,принимают вид
\[
\begin{aligned}
-U[\rho]+[\rho u] & =0, \\
-U[\rho u]+\left[\rho u^{2}+p\right] & =0, \\
-U\left[\frac{1}{2} \rho u^{2}+\rho e\right]+\left[\left(\frac{1}{2} \rho u^{2}+\rho e\right) u+p u\right] & =0 .
\end{aligned}
\]

Соответствующими дифференциальными уравнениями в виде законов сохранения являются
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+(\rho u)_{x} & =0, \\
(\rho u)_{t}+\left(\rho u^{2}+p\right)_{x} & =0, \\
\left(\frac{1}{2} \rho u^{2}+\rho e\right)_{t}+\left\{\left(\frac{1_{i}^{i}}{2} \rho u^{2}+\rho e\right) u+p u\right\}_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

Они эквивалентны системе (6.60) – (6.62).
Из этой системы можно получить еще один закон сохранения:
\[
(\rho S)_{t}+(\rho u S)_{x}=0, \mathbf{I}
\]

немедленно следующий из (6.60) и (6.62). Но это уравнение уже неприменимо в более общей интегральной форме. Действительно, из (6.7) – (6.9) и (6.31) имеем
\[
(\rho S)_{t}+(\rho u S)_{x}=\frac{\left(p_{11}+p\right) u_{x}-q_{1 x}}{T},
\]

откуда
\[
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}} \rho S d x+[\rho u S]_{x_{2}}^{x_{1}}=\int_{x_{2}}^{\mid x_{1}} \frac{\left(p_{11}+p\right) u_{x}-q_{1 x}}{T} d x .
\]

Член в правой части равенства (6.93) существенно отличается от члена типа источника $h_{i}$ в (5.54), поскольку он содержит производ-

ные от параметров течения и нет способа их проинтегрировать. Следовательно, рассуждения, приводящие к (5.56), неприменимы. (Напомним, что предшоложения $p_{11}=-p, q_{1}=0$ вводятся только после перехода к соответствующим пределам.) Таким образом, нельзя вывести условие на разрыве, формально соответствующее уравнению (6.91). Действительно, ниже при помоци условий (6.87) – (6.89) мы покажем, что
\[
-U[\rho S]+[\rho u S]
eq 0 .
\]

При изучении структуры ударной волны вклад правой части равенства (6.93) будет рассмотрен подробнее.

Интересно, что четыре уравнения, а именно уравнения (6.90) и (6.91), это все законы сохранения, которые можно вывести для системы (6.60) – (6.62). Для доказательства этого утверждения рассмотрим уравнение типа закона сохранения
\[
\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial g}{\partial x}+h=0,
\]

где $f, g$ и $h$ – функции от $p, \rho$ и $u$. Если это уравнение расписать через производные от $p, \rho$ и $u$ и если для исключения производных по $t$ использовать уравнения $(6.60),(6.61)$ и $(6.63)$, то получится
\[
\begin{aligned}
\left(g_{\rho}+u f_{\rho}\right) \rho_{x}+\left(g_{p}-u f_{p}-\frac{1}{\rho} f_{u}\right) & p_{x}+ \\
& +\left(g_{u}-u f_{u}-\rho f_{\rho}-\rho a^{2} f_{p}\right) u_{x}+h=0 .
\end{aligned}
\]

Поскольку это соотношение должно выполняться тождественно, коәффициенты при производных должны обращаться в нуль по отдельности и, кроме того, $h$ должна быть равной нулю. Три уравнения для $f$ и $g$ можно решить и показать, что наиболее общее решение для $f$ представляет собой линейную комбинацию $\rho, \rho u$, $1 / 2 \rho u^{2}+\rho e, \rho S$. Таким образом, единственными независимыми уравнениями сохранения являются уже указанные выше уравнения. Любые три из этих четырех уравнений можно использовать для построения «слабого решения», но только система (6.90) с условиями на разрыве (6.87) – (6.89) соответствует реальной физической ситуации.
Полезные модификации условий на разрыве
Прежде всего удобно записать условия на разрыве (6.87) (6.89) через относительную скорость $v=U-u$. Подставляя соответствующее выражение для $u$, получаем
\[
\begin{aligned}
{[\rho v] } & =0, \\
{\left[p+\rho v^{2}-\rho v U\right] } & =0, \\
{\left[\rho v\left(h+\frac{1}{2} v^{2}\right)-\left(p+\rho v^{2}\right) U+\frac{1}{2} \rho v U^{2}\right] } & =0,
\end{aligned}
\]

где $h-$ энтальпия $e+p / \rho$. Беря линейные комбинации, эти соотношения можно привести к виду
\[
[\rho v]=0, \quad\left[p+\rho v^{2}\right]=0, \quad\left[\rho v\left(h+\frac{1}{2} v^{2}\right)\right]=0 .
\]

Это условия на разрыве для стационарного течения в системе отсчета, в которой ударная волна неподвижна. Если $\rho_{1} v_{1}=$ $=\rho_{2} v_{2}
eq 0$, то постоянный сомножитель $\rho v$ в третьем уравнении можно опустить, и тогда мы получим
\[
\begin{aligned}
\rho_{2} v_{2} & =\rho_{1} v_{1}, \\
p_{2}+\rho_{2} v_{2}^{2} & =p_{1}+\rho_{1} v_{1}^{2}, \\
h_{2}+\frac{1}{2} v_{2}^{2} & =h_{1}+\frac{1}{2} v_{1}^{2} .
\end{aligned}
\]

Как правило, течение впереди ударной волны известно, и условия на разрыве используются либо для определения течения за ударной волной через скорость ударной волны, либо для определения скорости ударной волны и остальных параметров течения через один из параметров течения за ударной волной. Приведем в явном виде формулы для политропного газа. Будет полезно включить выражения для скорости звука, хотя они и вытекают из выражений для $p$ и $\rho$. Для политропного газа
\[
e=\frac{1}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}, \quad h=\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}, \quad a^{2}=\gamma \frac{p}{\rho},
\]

и искомые формулы получаются выкладками из равенств (6.95) (6.97).

Когда параметры течения выражаются через $U$, то удобно использовать величину
\[
M=\frac{U-u_{1}}{a_{1}}
\]
— число Маха ударной волны относительно течения перед ударной волной. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\frac{u_{2}-u_{1}}{a_{1}}=\frac{2\left(M^{2}-1\right)}{(\gamma+1) M}, \\
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}=\frac{(\gamma+1) M^{2}}{(\gamma-1) M^{2}+2}, \\
\frac{p_{2}-p_{1}}{p_{1}}=\frac{2 \gamma\left(M^{2}-1\right)}{\gamma+1}, \\
\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\left\{2 \gamma M^{2}-(\gamma-1)\right\}^{1 / 2}\left\{(\gamma-1) M^{2}+2\right\}^{1 / 2}}{(\gamma+1) M} .
\end{array}
\]

Если считается известным $p_{2}$, то удобно ввести интенсивность ударной волны
\[
z=\frac{p_{2}-p_{1}}{p_{1}}
\]

и выразить соотношения на разрыве в виде
\[
\begin{aligned}
M & =\frac{U-u_{1}}{a_{1}}=\left(1+\frac{\gamma+1}{2 \gamma} z\right)^{1 / 2}, \\
\frac{u_{2}-u_{1}}{a_{1}} & =\frac{z}{\gamma\left(1+\frac{\gamma+1}{2 \gamma} z\right)^{1 / 2}}, \\
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} & =\frac{1+\frac{\gamma+1}{2 \gamma} z}{1+\frac{\gamma-1}{2 \gamma} z}, \\
\frac{a_{2}}{a_{1}} & =\left\{\frac{(1+z)\left(1+\frac{\gamma-1}{2 \gamma} z\right)}{1+\frac{\gamma+1}{2 \gamma} z}\right\}^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Свойства ударных волн
Некоторые важные свойства ударных волн будут выведены с помощью этих формул для политропных газов, но качественные результаты остаются справедливыми и в общем случае. Сначала проверим условие (6.94). Для политропного газа $S=c_{v} \ln \left(p / \rho^{\gamma}\right)$, откуда, в силу (6.105) и определения $z$, имеем
\[
\frac{S_{2}-S_{1}}{c_{v}}=\ln \frac{(1+z)\left(1+\frac{\gamma-1}{2 \gamma} z\right)^{\gamma}}{\left(1+\frac{\gamma+1}{2 \gamma} z\right)^{\gamma}} .
\]

Это выражение отлично от нуля при $z
eq 0$, так что при переходе через ударную волну энтропия действительно изменяется скачком.

Согласно второму закону термодинамики, энтрошия частицы может только возрастать. Следовательно, если частица переходит со стороны 1 на сторону 2 , то обязательно $S_{2}>S_{1}$. Прй помощи (6.107) можно показать, что $d\left(S_{2}-S_{1}\right) / d z>0$ при $\gamma>1, z>-1$, что всегда выполняется. Поэтому если $S_{2}-S_{1}>0$, то $z>0$. Таким образом, ударная волна всегда является волной сжатия с $p_{2}>p_{1}$, а тогда из остальных соотношений (6.103) – (6.106) следует, что
\[
p_{2}>p_{1}, \quad \rho_{2}>\rho_{1}, \quad a_{2}>a_{1}, \quad u_{2}>u_{1}, \quad M>1 .
\]

Другой подход к установлению знаков скачков состоит в выяснении вопроса, когда ударные волны вызываются опрокидыванием волн. Для простых волн § 6.8 скорость распространения равна $u+a$, так что условие формирования ударной волны из $\S_{\text {L }} 2.6$ принимает вид
\[
u_{2}+a_{2}>U>u_{1}+a_{1} .
\]

Таким образом, ударная волна является сверхзвуковой, если смотреть на нее спереди, и дозвуковой, если смотреть на нее сзади. Из (6.103) следует, что если $U>u_{1}+a_{1}$, то $z>0$, и тогда другое неравенство вытекает из (6.103), (6.104) и (6.106).

Скачок энтропии при переходе через ударную волну, согласно (6.107), зависит от интенсивности этой волны. Как следствие течение за ударной волной изменяющейся интенсивности не может быть изәнтропическим. Это имеет важное значение для приближения простой волны из § 6.8. В то же время мы должны рассмотреть возможность разрыва инварианта Римана
\[
s=\frac{2 a}{\gamma-1}-u,
\]

использованного в (6.73). Оказывается, что при переходе через ударную волну эта величина претерпевает разрыв. Все это означает, что ретение в виде простой волны, строго говоря, не может реализоваться при возникновении ударной волны. Однако для ударной волны малой или даже умеренной интенсивности эти скачки удивительно малы.
Слабые ударные волны
Для слабых ударных волн все выражения в (6.103) – (6.107) можно разложить по степеням $z$. Первые несколько членов имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{U-u_{1}}{a_{1}}=1+\frac{\gamma+1}{4 \gamma} z-\frac{(\gamma+1)^{2}}{32 \gamma^{2}} z^{2}+O\left(z^{3}\right), \\
\frac{u_{2}-u_{1}}{a_{1}}=\frac{z}{\gamma}-\frac{\gamma+1}{4 \gamma^{2}} z^{2}+\frac{3(\gamma+1)^{2}}{32 \gamma^{3}} z^{3}+O\left(z^{4}\right), \\
\frac{\rho_{2}-\rho_{1}}{\rho_{1}}=\frac{z}{\gamma}-\frac{\gamma-1}{2 \gamma^{2}} z^{2}+O\left(z^{3}\right), \\
\frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}}=\frac{\gamma-1}{2 \gamma} z-\frac{\gamma^{2}-1}{8 \gamma^{2}} z^{2}+\frac{(\gamma-1)(\gamma+1)^{2}}{16 \gamma^{3}} z^{3}+O\left(z^{4}\right), \\
\frac{S_{2}-S_{1}}{c_{v}}=\frac{\gamma^{2}-1}{12 \gamma^{2}} z^{3}+O\left(z^{4}\right), \\
\frac{s_{2}-s_{1}}{a_{1}}=\frac{2}{\gamma-1} \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}}-\frac{u_{2}-u_{1}}{a_{1}}=\frac{1}{32} \frac{(\gamma+1)^{2}}{\gamma^{3}} z^{3}+O\left(z^{4}\right) .
\end{array}
\]

В общем случае скачки параметров течения пропордиональны $z$, но скачки $S$ и $s$ составляют лишь $O^{\gamma}\left(z^{3}\right)$. Даже для умеренных ударных волн они удивительно малы; ниже (см. таблицу) приведены типичные значения для $\gamma=1,4$. Для ударных волн малой или

умеренной интенсивности в разумном приближении можно пренебрегать изменениями энтропии и инварианта Римана. В этом

приближении решение в виде простой волны из § 6.8 можно сохранить и использовать даже в тех случаях, когда имеются слабые ударные волны.
Сильные ударные волны
В другом экстремальном случае очень сильных ударных волн можно использовать асимптотическое поведение при $z \rightarrow \infty$. Наиболее удобное выражение получается из (6.99) – (6.101). Обычно в этом случае $U \gg u_{1}$, так что полагаем $M \sim U / a_{1}$ и $M \gg 1$. Тогда формулы (6.99) – (6.101) переходят в асимптотические равенства
\[
u_{2} \sim \frac{2}{\gamma+1} U, \quad \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} \sim \frac{\gamma+1}{\gamma-1}, \quad \rho_{2} \sim \frac{2}{\gamma+1} \rho_{1} U^{2},
\]

где мы использовали соотношение $a_{1}^{2}=\gamma p_{1} / \rho_{1}$ для исключения как $p_{1}$, так и $a_{1}$. Эти выражения содержат только параметр $\rho_{1}$ течения перед ударной волной; $u_{1}, p_{1}, a_{1}$ теперь малы по сравнению с величинами за ударной волной, так что в данном приближении ими можно пренебречь. Интересно, что сжатие $\rho_{2} / \rho_{1}$ остается ограниченным при сколь угодно большой интенсивности ударной волны.