Для наших целей достаточно подробно рассмотреть случай одномерных волн, описываемых вариационным принципом
$$\delta \iint L({\phi }_t,{\phi }_x,\phi )dxdt=0.$$

Случаи большего числа измерений, большего числа зависимых переменных и неоднородной среды рассматриваются аналогично. Уравнение Эйлера для (14.31) имеет вид
$$\frac{\partial }{\partial t}{L}_1+\frac{\partial }{\partial x}{L}_2-L_3=0,$$

где $L_j$ означают производные
$$L_1=\frac{\partial L}{\partial {\phi }_t},L_2=\frac{\partial L}{\partial {\phi }_x},L_3=\frac{\partial L}{\partial \phi }.$$

Уравнение (14.32) — это уравнение в частных производных второго порядка для функции $\phi (x,t)$, и мы предполагаем, что оно имеет решения вида периодических волновых пакетов соответствующего типа.

В задачах о медленных модуляциях параметр $\epsilon$ вводится шри помощи начальных или граничных условий (как это было в различных случаях, рассмотренных в 11.8); $\epsilon$ характеризует отношение типичной длины волны или периода к типичной длине или интервалу времени для модуляций. Предполагается, что $\epsilon$ мало, но мы не будем ограничивать амплитуду и потребуем только, чтобы она менялась медленно.

Сначала следует точно описать модулированный волновой пакет. Если $x$ и $t$ измеряются в единицах типичных длины волны и периода, то медленно меняющиеся величины будут функциями от $\epsilon x$ и $\epsilon t$; параметры модуляций, такие, как $k$ и $\omega$, будут функциями такого типа. Однако сама функция $\phi$, кроме того, быстро осциллирует. Чтобы учесть все эти требования, $\phi$ рассматривается как функция от трех переменных: фазы $\theta ,\epsilon x$ и $\epsilon t$. При этом $\theta$ записывается в виде ${\epsilon }^{-1}\mathrm{\Theta }(\epsilon x,\epsilon t)$, что обеспечивает сравнительно быстрые осцилляции и надлежащую зависимость $k={\theta }_x$ и $\omega =-{\theta }_t$ от $\epsilon x$ и $\epsilon t$. Таким образом, полагаем
$$\begin{array}{l}\phi =\mathrm{\Phi }(\theta ,X,T;\epsilon ),\\ \theta ={\epsilon }^{-1}\mathrm{\Theta }(X,T),X=\epsilon x,T=\epsilon t.\end{array}$$

Определим
$$v(X,T)=-\omega (X,T)={\mathrm{\Theta }}_T,k(X,T)={\mathrm{\Theta }}_X$$

как отридательную частоту и волновое число. (В этом общем случае мы предпочитаем $v=-\omega$ для сохранения симметрии между $x$ и $t$.) В силу приведенных выше формул,
$$\frac{\partial \phi }{\partial t}=u\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }+\epsilon \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial T},\frac{\partial \phi }{\partial x}=k\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }+\epsilon \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \overline{X}},,$$

так что члены, связанные с осцилляциями и медленными модуляциями, фигурируют по отдельности.

В задачах о колебаниях в обычных механических системах переменная $x$ отсутствует и метод решения сводится к выделению в явном виде зависимости для двух масштабов времени. Он известен под названием «метод двух времен» (\»two-timing») — выразительное и удобное название даже при наличии $x$-колебаний с двумя масштабами длины. Эффективность этого метода основывается на том, что, хотя в начале и в конце имеется правильное число независимых переменных, на промежуточных этапах выгодно ввести зависимость от дополнительных переменных. В данном случае, в силу соотношений (14.35), ф фактически является функцией от $x$ и $t$, но на соответствующих этапах анализа Ф рассматривается как функция от $\mathrm{mpex}$ независимых переменных $\theta ,X,T$. В обычном методе двух времен такая дополнительная свобода позволяет избавиться от векового и прочих нежелательных членов. Здесь применительно к вариационному принципу он используется иным, но эквивалентным образом.

В геометрической оптике разложение (типа ВКБ), рассмотренное в § 11.8, эквивалентно выбору
$$\phi (x,t)\sim e^{i{\epsilon }^{-1}(\epsilon x,\epsilon t)}\sum {\epsilon }^n{A}_n(\epsilon x,\epsilon t).$$

Методу двух времен соответствует разложение
$$\mathrm{\Phi }(\theta ,X,T;\epsilon )\sim e^{i\theta }/\sum \overline{{\epsilon }^n}\overline{A_n}(X,T)$$

с тем же окончательным результатом. В любом случае экспоненциальная зависимость от $\theta$ ограничена линейными задачами. Для нелинейных задач аналогом было бы разложение
$$\mathrm{\Phi }(\theta ,X,T;\epsilon )\sim \sum {\epsilon }^n{\mathrm{\Phi }}^{(n)}(\theta ,X,[T)$$

и последовательное нахождение функций ${\mathrm{\Phi }}^{\left({}^n\right)}$. Однако в эквивалентном вариационном подходе мы не используем таких исходных разложений, а работаем непосредственно с выражениями (14.34) (14.36) и избегаем больпей части утомительных выкладок традиционной теории возмущений.

Подставив (14.34) и (14.35) в основное уравнение Эйлера (14.32), получим
$$v\frac{\partial L_1}{\partial \theta }+\epsilon \frac{\partial L_1}{\partial T}+k\frac{\partial L_2}{\partial \theta }+\epsilon \frac{\partial L_2}{\partial X}-L_3=0,$$

где производные $L_j$ зависят от аргументов следующим образом:
$$L_j=L_j(u{\mathrm{\Phi }}_{\theta }+\epsilon {\mathrm{\Phi }}_T,k{\mathrm{\Phi }}_{\theta }+\epsilon {\mathrm{\Phi }}_X,\mathrm{\Phi }).$$

При выводе уравнения (14.40) было использовано соотнопение $\theta ={\epsilon }^{-1}\mathrm{\Theta }(X,T)$, но теперь оно опускается. Это решающий паг рассматриваемого метода. Уравнение (14.40) теперь рассматривается как уравнение для функции $\mathrm{\Phi }(\theta ,X,T)$ трех независимых переменных $\theta ,X,T$. Уравнение содержит также функцию $\mathrm{\Theta }(X,T)$

через ее производные $v={\mathrm{\Theta }}_T,k={\mathrm{\Theta }}_X$; исходные соотношения между $\mathrm{\Theta },v,k$ и аргументом $\theta$ в Ф также опускаются. Ясно, что если удается найти решения для $\mathrm{\Phi }(\theta ,X,T)$ и $\mathrm{\Theta }(X,T)$, то $\mathrm{\Phi }({\epsilon }^{-1}\mathrm{\Theta },X,T)$ будет решением исходной задачи. Дополнительная свобода выбора $\mathrm{\Theta }(X,T)$ используется для того, чтобы обеспечить надлежащее поведение функции $\mathrm{\Phi }(\theta ,X,T)$.

Выбор функции $\mathrm{\Theta }(X,T)$ производится различными способами в зависимости от конкретного варианта метода, но все они эквивалентны. Здесь мы должны с самого начала наложить требование периодичности Ф и ее производных по $\theta$. (В других вариантах оставляют $\mathrm{\Theta }(X,T)$ сначала произвольной, находят в общем выражении для Ф нежелательные вековые члены, пропордиональные $\theta$, и затем исключают их соответствующим выбором функции $\mathrm{\Theta }$.) Период можно нормировать на $2\pi$, так что мы наложім условие, что Ф и ее производные должны быть $2\pi$-периодичны по $\theta$.

Для того чтобы обеспечить выполнение этого условия, заметим, что уравнение (14.40) можно записать в виде закона сохранения
$$\frac{\partial }{\partial \theta }\{(v{L}_1+k{L}_2){\mathrm{\Phi }}_{\theta }-L\}+\epsilon \frac{\partial }{\partial T}\left({\mathrm{\Phi }}_{\theta }{L}_1\right)+\epsilon \frac{\partial }{\partial X}\left({\mathrm{\Phi }}_{\theta }{L}_2\right)=0.$$

Тогда при интегрировании по $\theta$ от 0 до $2\pi$ вклад первого члена обращается в нуль, в силу условия периодичности, и мы имеем
$$\frac{\partial }{\partial T}\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\mathrm{\Phi }}_e{L}_{1}d\theta +\frac{\partial }{\partial X}\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\mathrm{\Phi }}_{\theta }{L}_{2}d\theta =0.$$

Уравнения (14.40) и (14.43) образуют систему из двух уравнений для $\mathrm{\Phi }(\theta ,X,T)$ и $\mathrm{\Theta }(X,T)$.

Достопримечательно и достойно удивления, что эти уравнения для Ф и $\mathrm{\Theta }$ в точности совпадают с уравнениями Эйлера для вариационного принципа
$$\delta \iint \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }L(v{\mathrm{\Phi }}_{\theta }+\epsilon {\mathrm{\Phi }}_T,k{\mathrm{\Phi }}_{\theta }+\epsilon {\mathrm{\Phi }}_X,\mathrm{\Phi })d\theta dXdT=0.$$

Вариации $\delta Ф$ приводят к уравнению
$$\frac{\partial }{\partial \theta }{L}_{{\mathrm{\Phi }}_{\theta }}+\frac{\partial }{\partial T}{L}_{{\mathrm{\Phi }}_T}+\frac{\partial }{\partial X}{L}_{{\mathrm{\Phi }}_X}-L_{\mathrm{\Phi }}=0,$$

которое в частном случае лагранжиана $L$ из (14.44) совпадает с уравнением (14.40). Вариации $\delta \mathrm{\Theta }$ дают
$$\frac{\partial }{\partial T}{\overline{L}}_v+\frac{\partial }{\partial X}{\overline{L}}_k=0$$

где
$$\overline{L}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }L(v{\mathrm{\Phi }}_{\theta }+\epsilon {\mathrm{\Phi }}_T,k{\mathrm{\Phi }}_{\theta }+\epsilon {\mathrm{\Phi }}_X,\mathrm{\Phi })d\theta ;$$

это совпадает с (14.43). Но самое удивительное — это то, что (14.44) является точной формой усредненного вариационного принципа! Мы не только обосновали вариационный подход, но получили мощный и компактный базис для всей теории возмущений. Несколько странно, что до сих пор мы не использовали явно предположение о малости параметра \&. Неявно, однако, это предположение содержится в выборе функциональной формы функции Фи в требовании периодичности Ф по $\theta$.

В низшем порядке приближения вариационный принцип (14.44) дает
$$\begin{array}{c}\delta \iint {\overline{L}}^{(0)}dXdT=0,\\ {\overline{L}}^{(0)}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }L\{v{\mathrm{\Phi }}_{\theta }^{(0)},k{\mathrm{\Phi }}_{\theta }^{(0)},{\mathrm{\Phi }}^{(0)}\}d\theta .\end{array}$$

Вариационные уравнения имеют вид
$$\begin{array}{rlr}\delta {\mathrm{\Phi }}^{(0)}:& \frac{\partial }{\partial \theta }\{v{L}_1^{(0)}+k{L}_2^{(0)}\}-L_3^{(0)}& =0,\\ \delta \mathrm{\Theta }:& \frac{\partial }{\partial T}{\overline{L}}_v^{(0)}+\frac{\partial }{\partial X}{\overline{L}}_k^{(0)}& =0;\end{array}$$

это, конечно, приближения низшего порядка для уравнений (14.40) и (14.45). Поскольку в уравнении (14.49) отсутствуют производные функции ${\mathrm{\Phi }}^{(0)}$ по $X,T$, это фактически обыкновенное дифференциальное уравнение для ${\mathrm{\Phi }}^{(0)}$ как функции от $\theta$. Оно имеет очевидный первый интеграл (соответствующий приближению низшего порядка для (14.42)):
$$\{v{L}_1^{(0)}+L_2^{(0)}\}{\mathrm{\Phi }}_{\theta }^{(0)}-L^{(0)}=A(X,T).$$

Уравнения (14.49) и (14.51) — это обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие однородный периодический волновой пакет, но с той разницей, что параметры $v,k$ и $A$ теперь являются функциями от $X$ и T. Зависимость от $\theta$ в точности та же, что и для периодического волнового пакета; зависимость параметров $v,k$ и $A$ от $X$ и $T$ обеспечивает модуляцию. Явное отделение переменной $\theta$ от $X$ и $T$ автоматически позволяет интегрировать по $\theta$ при фиксированных $v,k$ и $A$; теперь ясно, что интегрирования в (14.25) и (14.26) проводятся именно в таком смысле.

Объединив решения уравнения (14.51) с выражениями (14.47) (14.48); получим в точности вариационный подход, предложенный

ранее. Теперь он обоснован как первое приближение формальной теории возмущений.

При фактическом использовании данного метода возникает важный вопрос, который следует рассмотреть в общем виде. Уравнение (14.51) в его настоящем виде можно использовать для нахождения как функции ${\mathrm{\Phi }}^{(0)}$, так и дисперсионного соотношения между $v,k,A$ (cp. (14.5) и (14.7) для уравнения Клейна — Гордона). Выкладки в (14.26) показывают, что при таком использовании равенства (14.51) в (14.48) можэо избежать нахождения функции ${\mathrm{\Phi }}^{(0)}$ (которая с точностью до обозначений совпадает с $\mathrm{\Psi }$ ) в явном виде и дисперсионное соотношение можно рассматривать как дополнительное вариационное уравнение, которое выводится из (14.47). Это намного предпочтптельнее, поскольку тогда форма усредненного лагранжиана упрощается и, что более существенно, все уравнения, связывающие медленно изменяющиеся параметры $v,k,A$, объединены общим вариационным принципом. Как описать эту процедуру в общем виде? Это именно тот вопрос, о котором пла речь выше. Задача заключается в том, чтобы из уравнения (14.51) извлечь достаточную информацию о функциональной форме функции ${\mathrm{\Phi }}^{(0)}$, не используя при этом полную информацию о дисперсионном соотношении. Сейчас мы покажем, как это можно сделать.