В $\S 2.2$ мы видели, что уравнение неразрывности
\[
\rho_{t}+q_{x}=0
\]
вместе с функциональным соотношением $q=Q(\rho)$ приводит к простейшим нелинейным волнам. Изучаемые сейчас простые волны имеют ту же природу. Хотя в газовой динамике имеются три основных уравнения для трех величин $p, \rho, u$, в частном случае простой волны существуют два интеграла
\[
S=S_{0}, \quad \frac{2 a}{\gamma-1}-u=\frac{2 a_{0}}{\gamma-1} .
\]
Это означает, что два из основных уравнений можно исключить и любые две из величин $p, \rho$ и $u$ можно представить как функции третьей. Таким образом, приходим к одному уравнению, которое можно взять в виде закона сохранения, связывающего поток и плотность.
Например, если мы захотим выразить все величины через $\rho$, то условие изэнтропичности течения дает соотношение
\[
p=p_{0}\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}\right)^{\gamma},
\]
а инвариант Римана – соотношение
\[
u=V(\rho)=\frac{2 a}{\gamma-1}-\frac{2 a_{0}}{\gamma-1}=\frac{2 a_{0}}{\gamma-1}\left\{\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}\right)^{(\gamma-1) / 2}-1\right\} .
\]
Затем можно использовать закон сохранения массы как замыкающее уравнение для определения $\rho$. Этот закон имеет вид $(6.80$ ) с $q=\rho u$. Следовательно, в кинематической формулировке следует взять уравнение (6.80) и уравнение
\[
q=Q(\rho)=\rho V(\rho),
\]
где $V(\rho)$ дается равенством (6.81). В этом случае функция $Q(\rho)$ получается из двух других дифференциальных уравнений, а не задается как часть исходной формулировки задачи. Однако дальнейший анализ можно проводить как в кинематической теории. Уравнение для $\rho$ имеет вид
\[
\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}=0, \quad c(\rho)=Q^{\prime}(\rho)_{x}
\]
и можно проверить, что, в силу приведенных выше соотношений,
\[
c(\rho)=Q^{\prime}(\rho)=V(\rho)+\rho V^{\prime}(\rho)=V(\rho)+a(\rho) .
\]
В соответствии с проведенными выте рассуждениями отсюда следует, что параметры течения постоянны на характеристиках и что характеристическая скорость равна $u+a$.
В этом по существу состоит подход, использованный Эрншоу
[1] в одном из первых построений рещения вида простой волны. Он рассматривал с самого начала изэнтропическое течение и ваписал уравнения в виде
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{a^{2}(\rho)}{\rho} \rho_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]
Затем, основываясь на наблюдении, что для линеаризованной акустической волны, движущейся вправо, $u=a_{0}\left(\rho-\rho_{0}\right) / \rho_{0}$, он рассмотрел возможность существования точных ретений с $u=$ $=V(\rho)$. В этом случае уравнения принимают вид
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+\left(V+\rho V^{\prime}\right) \rho_{x} & =0, \\
\left(\rho_{t}+V \rho_{x}\right) V^{\prime}+\frac{a^{2}}{\rho} \rho_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]
Эти уравнения согласуются, если
\[
V^{\prime}= \pm \frac{a}{\rho},
\]
причем оба они принимают вид
\[
\rho_{t}+(V \pm a) \rho_{x}=0 .
\]
Выбирая верхний знак, получаем
\[
V(\rho)=\int_{\rho_{0}}^{\rho} \frac{a(\rho)}{\rho} d \rho=\frac{2}{\gamma-1}\left\{a(\rho)-a_{0}\right\},
\]
что согласуется с полученными выше результатами. Риман [1] дал более глубокое обоснование, которое мы приведем в следующем параграфе.
Выбор $\rho$ в качестве основной переменной лучше согласуется с рассуждениями, проведенными в гл. 2, но формулы проще записываотся через $u$. При помощи равенств (6.81) можно свободно переходить от одной переменной к другой. Исходное уравнение для $u$ имеет вид
\[
u_{t}+\left(a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} u\right) u_{x}=0,
\]
а равенства
\[
a=a_{0}+\frac{\gamma-1}{2} u, \quad S=S_{0},
\]
определяют $p$ и $\rho$. Скорость распространения составляет
\[
c(u)=a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} u
\]
Решение уравнения (6.83) строится так же, как и выше. В частности, для задачи с поршнем решение дается формулами (6.76) и (6.77).
Таким образом, по крайней мере в случае простой волны профиль волны становится многозначным, точно так же как в гл. 2, и для построения полного решения следует вводить разрывы.
