Предыдущий кинематический вывод показывает одну из ролей групповой скорости и определяет геометрию волн. Другая роль групповой скорости связана с распределением амплитуды $A(x, t)$, заданным формулами (11.27) – (11.28). Хотелось бы найти – по возможности в том же стиле – непосредственный подход к ошисанию поведения амплитуды $A$ и ее связи с групповой скоростью. Это представляется реальным, поскольку, очевидно, здесь затрагивается энергия и, по-видимому, можно непосредственно сформулировать закон сохранения энергии. Это действительно так. Однако дальнейшие исследования, использующие вариационные формулировки, не только уточнили и обобщили выводы, но и показали, что основным понятием данной теории является, пожалуй, не энергия, а «волновое действие». Вариационный подход – дело тонкое, и полезно подготовить почву при помощи более традиционного рассмотрения распространения энергии.

Мы начнем, как и ранее, с одномерной задачи для однородной среды и выясним, как получить информацию о распределении амплитуды, не используя интеграл Фурье. В этом первом подходе мы вынуждены работать с конкретными примерами. Уравнение Клейна – Гордона
\[
\varphi_{t t}-\alpha^{2} \varphi_{x x}+\beta^{2} \varphi=0
\]

является одним из простейших, поскольку не содержит производных высокого порядка. Оно гиперболическое и в этом отношении исключительное, но нас интересуют только осциллирующие части решения, а не поведение волнового фронта. Соответствующее

энергетическое уравнение хорошо известно и в случае постоянных коэффициентов $\alpha$ и $\beta$ имеет вид
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}+\frac{1}{2} \alpha^{2} \varphi_{x}^{2}+\frac{1}{2} \beta^{2} \varphi^{2}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(-\alpha^{2} \varphi_{t} \varphi_{x}\right)=0 .
\]

Рассмотрим теперь медленно изменяющийся волнөвой пакет, для которого
\[
\begin{array}{l}
\varphi \sim \operatorname{Re}\left(A e^{i \theta}\right)=a \cos (\theta+\eta), \\
a=|A|, \quad \eta=\arg A,
\end{array}
\]

и вычислим плотность энергии и поток энергии. Член типа $1 / 2 \varphi_{t}^{2}$ дает
\[
\frac{1}{2} \omega^{2} a^{2} \sin ^{2}(\theta+\eta)
\]

а также члены, содержащие $a_{t}$ и $\eta_{t}$. Поскольку $a$ и $\eta$ предполагаются медленно изменяющимися, этими последними членами в первом приближении можно пренебречь. Аналогичным образом находим вклады остальных членов, после чего получаем приближенное выражение для плотности энергии
\[
\frac{1}{2}\left(\omega^{2}+\alpha^{2} k^{2}\right) a^{2} \sin ^{2}(\theta+\eta)+\frac{1}{2} \beta^{2} a^{2} \cos ^{2}(\theta+\eta)
\]

и соответствующее выражение для потока энергии
\[
\alpha^{2} \omega k a^{2} \sin ^{2}(\theta+\eta) .
\]

В задачах, содержащих производные более высоких порядков, возникают дополнительные члены, включающе производные от $\omega$ и $k$, но ими можно пренебречь, поскольку $\omega$ и $k$ также являются медленно изменяющимися величинами.

Поскольку нас интересуют изменения величип $\omega, k, a$, а не детали осцилляции, рассмотрим средние значения выражений (11.51) и (11.52). Средние значения функций $\cos ^{2}(\theta+\eta)$ и $\sin ^{2}(\theta+\eta)$ по одному периоду равны одной второй, так тто для средиих значений плотности энергии и потока энергии имеем следующие формулы:
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}=\frac{1}{4}\left(\omega^{2}+\alpha^{2} k^{2}+\beta^{2}\right) a^{2}, \\
\mathscr{F}=\frac{1}{2} \alpha^{2} \omega k a^{2} .
\end{array}
\]

В нашей конкретной задаче дисперсионное соотнопение имеет вид

поэтому
\[
\omega=\sqrt{\alpha^{2} k^{2}+\beta^{2}} ;
\]
\[
\mathscr{E}=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2} k^{2}+\beta^{2}\right) a^{2}, \quad \mathscr{F}=\frac{1}{2} \alpha^{2} k \sqrt{\alpha^{2} k^{2}+\beta^{2}} a^{2} .
\]

Групповая скорость выражается формулой
\[
C(k)=\frac{\alpha^{2} k}{\sqrt{\alpha^{2} k^{2}+\beta^{2}}},
\]

и мы получаем важный результат
\[
\mathscr{F}=C(k) \mathscr{E},
\]

который, как оказывается, носит общий характер. Исходя из интуптивных предположений об общем балансе энергии, хочется ввести закон сохранения «усредненной» энергип:
\[
\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(C \mathscr{E})=0,
\]

который явится уравнением для определения модуля амплитуды $a$. Это уравнение представляет собой дифференциальную форму следующего утверждения: полная энергия между двумя любыми групповыми линиями остается постолнной. Действительно, если рассмотреть энергию
\[
E(t)=\int_{x_{i}(t)}^{x_{2}(t)} \mathscr{E} d x
\]

в интервале между точками $x_{1}$ и $x_{2}$, движущимися с групповыми скоростями $C\left(k_{1}\right)$ и $C\left(k_{2}\right)$ соответственно, то
\[
\frac{d E}{d t}=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t} d x+C_{2} \mathscr{E}_{2}-C_{1} \mathscr{E}_{1}
\]

в силу (11.59), эта величина равна нулю. Обратно, уравнение (11.59) представляет собой просто предел соотношения (11.61) при $x_{2}-x_{1} \rightarrow 0$.

Такое поведение было обнаружено в $\S 11.4$ для $a^{2}$, а не для $\mathscr{C}$. Однако $\mathscr{E}=f(k) a^{2}$, и если это выражение подставить в уравнение (11.59), то результат можно записать в виде
\[
f(k)\left\{\frac{\partial a^{2}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(C a^{2}\right)\right\}+f^{\prime}(k) a^{2}\left\{\frac{\partial k}{\partial t}+C \frac{\partial k}{\partial x}\right\}=0 .
\]

Поскольку (см. (11.39))
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+C \frac{\partial k}{\partial x}=0
\]

получаем
\[
\frac{\partial a^{2}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(C a^{2}\right)=0 .
\]

Мы видим, что если выполняется уравнение (11.63), то любую функцию от $k$ можно внести в уравнения (11.59) и (11.64) (или

вынести из этих уравнений). Далее, согласно тем же рассуждениям, что и для $\mathscr{E}$, уравнение (11.64) можно рассматривать как дифференциальную форму следующего полученного в § 11.4 результата: интеграл
\[
Q(t)=\int_{x_{1}(t)}^{x_{2}(t)} a^{2} d x
\]

остается постоянным между двумя групповыми линиями. Это лишний раз подтверждает уравнения (11.64) и (11.59). Прямое доказательство будет приведено ниже.

Можно также отметить, что характеристические формы уравнений (11.63) и (11.64) имеют вид
\[
\frac{d k}{d t}=0, \quad \frac{d a^{2}}{d t}=-C^{\prime}(k) k_{x} a^{2}, \quad \frac{d x}{d t}=C(k),
\]
(Во втором уравнении производную $k_{x}$ можно рассматривать как известную функцию, поскольку сначала находится функция $k(x, t)$; это – исключительный случай примера 7 из § 5.2.) Групповая скорость $C(k)$ фигурирует как двойная характеристическая скорость в соответствии со своей двойственной ролью, отмеченной в § 11.4.

Асимптотическое решение, полученное в § 11.3, является частным случаем центрированной волны, когда $k(x, t)$ представляет собой функцию от $x / t$, определяемую из уравнения
\[
\frac{x}{t}=C(k) .
\]

В этом случае уравнение для амплитуды имеет вид
\[
\frac{d a^{2}}{d t}=-\frac{a^{2}}{t} .
\]

Поскольку $k$ тоже можно использовать как характеристическую переменную, то решение этого уравнения можно записать в виде
\[
a=t^{-1 / 2} A(k),
\]

где $\mathcal{A}(k)$ – произвольная функция. Это согласуется с выражением (11.28) и снова подтверждает справедливость нашего подхода. Конечно, функцию $\mathcal{A}(k)$ нельзя найти одними асимптотическими исследованиями, не обращаясь к начальным условиям.

В рассматриваемой задаче Коши мы знаем, что в действительности функция $\mathcal{A}(k)$ дается выражением (11.28), и интересно отметить, что, в силу этого выражения, энергия $E$ ( $t$ ) между групповыми линиями $k=k_{1}$ и $k=k_{2}$, определяемая равенством (11.60),

составляет
\[
\begin{aligned}
E(t) & =8 \pi \int_{x_{1}}^{x_{2}} f(k) \frac{F_{1}(k) F_{1}^{*}(k)}{t\left|W^{\prime \prime}(k)\right|} d x= \\
& =8 \pi \int_{k_{1}}^{k_{2}} f(k) F_{1}(k) F_{1}^{*}(k) d k,
\end{aligned}
\]

где $f(k)$ – множитель $1 / 2\left(\alpha^{2} k^{2}+\beta^{2}\right)$, фигурирующий в формулах (11.56). Согласно (11.50), точная полная энергия равна
\[
E_{\text {поли }}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}+\frac{1}{2} \alpha^{2} \varphi_{x}^{2}+\frac{1}{2} \beta^{2} \varphi^{2}\right) \cdot d x .
\]

Используя точное решение (11.16) и соотношения (11.18), ее можно представить в виде
\[
E_{\text {полн }}=8 \pi \int_{-\infty}^{\infty} f(x) F_{1}(x) F_{1}^{*}(x) d x .
\]

Это выражение справедливо для всех моментов времени как до дисперсии в волновом пакете, так и после нее; оно указывает, что энергия распределена по всей области изменения волновых чисел. Но после дисперсии область изменения волновых чисел явным образом распределяется по $x$. Выражение (11.67) для $E(t)$ показывает, что с интервалом $k_{1}<x<k_{2}$ продолжает ассоциироваться то же самое количество энергии. Таким образом, энергия, соответствующая любому интервалу волновых чисел, сохраняется.

Энергетические соображения, использованные при выводе соотношений (11.58) и (11.59), легко обобщить на большее число измерений. Для уравнения Клейна – Гордона, например, энергетическое уравнение принимает вид
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}+\frac{1}{2} \alpha^{2} \varphi_{x_{j}}^{2}+\frac{1}{2} \beta^{2} \varphi^{2}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(-\alpha^{2} \varphi_{t} \varphi_{x_{j}}\right)=0,
\]

и для медленно изменяющегося волнового пакета $\varphi \sim a \cos (\theta+\eta)$ получаем следующее усредненное уравнение:
\[
\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}+\frac{\partial \mathscr{F}_{j}}{\partial x_{j}}=0
\]

где
\[
\mathscr{E}=\frac{1}{4}\left(\omega^{2}+\alpha^{2} k_{j}^{2}+\beta^{2}\right) a^{2}, \quad \mathscr{F}_{j}=\frac{1}{2} \alpha^{2} \omega k_{j} a^{2} .
\]

При помощи дисперсионного соотношения можно проверить, что
\[
\mathscr{F}_{j}=C_{j} \mathscr{E},
\]

и записать усредненное энергетическое уравнение так:
\[
\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(C_{j} \mathscr{E}\right)=0
\]

Полная энергия в любом объеме, точки которого движутся с групповой скоростью, остается постоянной. Действительно,
\[
\frac{d}{d t} \int_{V(t)} \mathscr{E} d V=\int_{V(t)} \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t} d V+\int_{S(t)} \mathscr{E} C_{j} n_{j} d S,
\]

где $S(t)$ – поверхность, ограничивающая объем $V(t), n_{j}$ внешняя нормаль к $S(t)$, а $C_{j} n_{j}$ – нормальная скорость. В силу теоремы о дивергенции и уравнения (11.70), эта величина равна нулю. В характеристической форме уравнение (11.70) пмеет вид
\[
\frac{d \mathscr{E}}{d t}=-\frac{\partial C_{j}}{\partial x_{j}} \mathscr{E} \quad \text { на } \quad \frac{d x_{i}}{d t}=C_{i}(\mathbf{k}),
\]

так что плотность энергии убывает вследствие расхождения $\partial C_{j} / \partial x_{j}$ групповых линий. Для однородной среды вектор $\mathbf{k}$ остается постоянным на групшовых линиях (см. уравнение (11.46)). Следовательно, поскольку $\mathscr{E}=f(\mathbf{k}) a^{2}$, величина $a^{2}$ удовлетворяет тем же самым уравнениям. Это можно установить и непосредственно из уравнения (11.70), обобщив надлежащим образом (11.62). Для центрированной волны, соответствующей асимптотическому выражению (11.41), вектор $\mathbf{k}$ определяется из условий
\[
\frac{x_{i}}{t}=C_{i}(\mathbf{k}) .
\]

Таким образом, мы получили, что
\[
\frac{d a^{2}}{d t}=-\frac{n a^{2}}{t},
\]

где $n$ – число измерений. Это согласуется с выражением для амплитуды в (11.41).

Мы видим, что усредненное энергетическое уравнение действительно дает правильное описание распределения амплитуды, согласующееся с найденным ранее. Это уравнение удовлетворительно в том смысле, что оно обеспечивает подход, не связанный с преобразованием Фурье, и таким образом позволяет надеяться на обобщение, но в своей настоящей форме оно не вполне удовлетворительно в том смысле, что представляющиеся общими результаты (11.69) и (11.70) появляются только после выкладок, основанных на специфике конкретных уравнений. Если повторить те же самые рассуждения для других линейных уравнений из примеров (11.7)-(11.9), то получатся в точности такие же окончательные результаты (11.69) и (11.70).

Например, энергетическое уравнение, соответствующее примеру (11.7), дает плотность энергии
\[
\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}+\frac{1}{2} \alpha^{2} \varphi_{x_{j}}^{2}+\frac{1}{2} \beta^{2} \varphi_{x_{j}}^{2} t
\]

и вектор потока энергии
\[
-\alpha^{2} \varphi_{t} \varphi_{x_{j}}-\beta^{2} \varphi_{t} \varphi_{t t x_{j}} .
\]

Средние значения, полученные в результате: 1) подстановки $\varphi \sim a \cos (\theta+\eta), 2)$ пренебрежения производными от $a, \eta, k_{i}$ и $\omega$ и 3) замены $\cos ^{2}(\theta+\eta)$ и $\sin ^{2}(\theta+\eta)$ их средними значениями, равными одной второй, таковы:
\[
\begin{aligned}
\mathscr{E} & =\frac{1}{4}\left(\omega^{2}+\alpha^{2} k_{j}^{2}+\beta^{2} \omega^{2} k_{j}^{2}\right) a^{2}, \\
\mathscr{F}_{j} & =\frac{1}{2}\left(\alpha^{2} \omega k_{j}-\beta^{2} \omega^{3} k_{j}\right) a^{2} .
\end{aligned}
\]

При помощи дисперсионного соотношения
\[
\omega=\frac{\alpha k}{\sqrt{1+\beta^{2} k^{2}}}, \quad k=|\mathbf{k}|,
\]

проверяется, что
\[
\mathscr{F}_{j}=C_{j} \mathscr{E},
\]

и усредненное энергетическое уравнение опять можно записать в виде
\[
\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(C_{j} \mathscr{E}\right)=0 .
\]

Те же самые результаты оказываются справедливыми для оставпихся примеров (11.8) и (11.9).

По-видимому, ясно, что эти важные общие результаты должны быть установлены раз и навсегда при помощи общих рассуждений, не требующих каждый раз детального вывода. Такие рассуждения (и нечто гораздо большее) дает вариационный подход.