Паводковые волны
Этот пример был подробно изучен в гл. 3. Отметим, что в принятых здесь обозначениях
\[
c_{1}=v+\sqrt{g^{\prime} h}, \quad c_{2}=v-\sqrt{g^{\prime} h}, \quad a=3 v / 2 .
\]

Согласно условиям (10.42), однородное течение $h=h_{0}, \quad v=v_{0}$ устойчиво (как отмечено в § 3.2) при условии, что
\[
v_{0}-\sqrt{g^{\prime} h_{0}}<\frac{3 v_{0}}{2}<v_{0}+\sqrt{g^{\prime} h_{0}},
\]

где нижний предел фактически не является ограничением. Согласно критерию (10.48), ударная волна $S_{\text {II }}$ обладает непрерывной структурой при условии, что
\[
v^{(2)}-\sqrt{g^{\prime} h^{(2)}}<U<v^{(1)}+\sqrt{g^{\prime} h^{(1)}} .
\]

Эти условия на разрыве для $S_{\text {II }}$ показывают, что $U>v^{22}$, так что ограничение снизу всегда выполняется. Поэтому критерий возникновения разрывов в $S_{\text {II-структуре имеет вид }}$
\[
U>v^{(\mathbf{1})}+\sqrt{g^{\prime} h^{(1)}} .
\]

Это в точности совпадает с результатом (3.52), полученным при помощи подробного анализа.
Магнитная газовая динамика
Уравнения волн в магнитной газовой динамике приведены в примерах 10 и $10^{\prime} \S 5.2$. Первая система — это система I, и мы имеем
\[
\begin{array}{c}
c_{1}=\left(\varepsilon_{0} \mu\right)^{-1 / 2}, \quad c_{2}=u+a, \quad c_{3}=u, \\
c_{4}=u-a, \quad c_{5}=-\left(\varepsilon_{0} \mu\right)^{-1 / 2} .
\end{array}
\]

Вторая система — это система II, и
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=u+\left(a^{2}+\frac{B^{2}}{\mu \rho}\right)^{1 / 2}, \quad a_{2}=a_{3}=u, \\
a_{4}=u-\left(a^{2}+\frac{B^{2}}{\mu \rho}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Реальные волны, распространяющиеся относительно жидкости, имеют чередующиеся скорости, как и требуется условиями (10.42), и устойчивы. Слияние скоростей $a_{2}, a_{3}$ с $c_{3}$ на траектории частицы, как легко проверяется, соответствует устойчивой ситуации.

Ударная волна $S_{\text {II }}$ из $a_{1}$-семейства, распространяющаяся со скоростью $U$, имеет непрерывную структуру при условии, что
\[
u^{(2)}+a^{(2)}<U<\left(\varepsilon_{0} \mu\right)^{-1 / 2} .
\]

Скорость света практически бесконечна, так что разрыв появляется на задней части профиля, когда
\[
U<u^{(2)}+a^{(2)} .
\]

Это простой вывод результата, полученного Маршаллом [1] с помощью подробного анализа структуры ударной волны. Дальнейшее обсуждение этого случая можно найти в статье автора (Уизем $[8]$ ).

Эффекты релаксации в газах
Уравнения невязкой газовой динамики (гл. 6) можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{1}{\rho} p_{x} & =0, \\
e_{t}+u e_{x}+\frac{p}{\rho} u_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

ГГри быстрых изменениях параметров течения внутренняя энергия $e$ может отставать от равновесного значения, соответствующего окружающему давлению и плотности. Поступательное движение молекул устанавливается быстро, но запаздывание вращательного и колебательного движений может быть на порядок больше. Если предположить, что $\alpha$ степеней свободы устанавливаются мгновенно, а остальные $\alpha_{r}$ стешеней свободы требуют большего времени релаксации, то можно положить
\[
e=\frac{\alpha}{2} \frac{p}{\rho}+E,
\]

где $E$ — энергия отстающих степеней свободы. $B$ равновесном состоянии (см. (6.42)) $E$ принимает значение
\[
E_{\text {равнов }}=\frac{\alpha_{r}}{2} \frac{p}{\rho} .
\]

Простое общее уравнение, описывающее релаксацию, имеет вид
\[
E_{t}+u E_{x}=-\tau\left(E-\frac{\alpha_{r}}{2} \frac{\» p}{\rho}\right),
\]

где $\tau$-время релаксации. После несложных преобразований систему уравнений можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{1}{\rho} p_{x} & =0, \\
\frac{\alpha}{2}\left(p_{t}+u p_{x}\right)-\left(1+\frac{\alpha}{2}\right) \frac{p}{\rho}\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right)+\rho\left(E_{t}+u E_{x}\right) & =0, \\
E_{t}+u E_{x}+\tau\left(E-\frac{\alpha_{r}}{2} \frac{p}{\rho}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Характеристическими скоростями являотся
\[
c_{1}=u+a_{f}, \quad c_{2}=c_{3}=u, \quad c_{4}=u-a_{f},
\]

где $a_{f}$ — «замороженная» скорость звука, определяемая равенством
\[
a_{f}^{2}=\left(1+\frac{2}{\alpha}\right) \frac{p}{\rho}=\gamma_{f} \frac{p}{\rho} .
\]

Это система I для данного случая. Однако, если время релаксации шим приближением в последнем уравнении системы, то имеем равновесную тео рию
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{1}{\rho} p_{x} & =0, \\
\frac{\alpha+\alpha_{r}}{2}\left(p_{t}+u p_{x}\right)-\left(1+\frac{\alpha+\alpha_{r}}{2}\right) \frac{p}{\rho}\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Это упрощенная система II для нашей задачи. Характеристические скорости выражаются формулами
\[
a_{1}=u+a_{e}, \quad a_{2}=u, \quad a_{3}=u-a_{e},
\]

тде $a_{e}$ — равювесная скорость звука, определяемая равенством
\[
a_{e}^{2}=\left(1+\frac{2}{\alpha+\alpha_{r}}\right) \frac{p}{\rho}=\gamma_{e} \frac{p}{\rho} .
\]

Поскольку $\gamma_{e}<\gamma_{f}$, различше скорости чередуются и имеет место устойчивость; слияние скоростей со скоростью частицы снова соответствует устойчивости.

Рассматривая с точки зрения полной системы структуру ударной волны $S_{\text {II }}$ (для которой считается, что течение между двумя однородными состояниями равновесно), видим, что она будет непрерывной, ести
\[
u^{(2)}-a_{f}^{(2)}<U<u^{(1)}+a_{f}^{(1)} .
\]

Поскольу, согласно $S_{\text {II-условиям }}$ па разриве, $U>u^{(2)}$, существенно только ограничение сверху. Замороженная ударная волиа $S_{\text {I возникает в передй }}$ части профиля и будет сопровождаться областью непрерывной релаксации, когда
\[
U>u^{(1)}+a_{f}^{(1)} .
\]

Этот критерий можно записать в виде
\[
M=\frac{U-u^{(1)}}{a_{e}^{(1)}}>\frac{a_{f}^{(1)}}{a_{e}^{(1)}}=\left(\frac{\gamma_{f}}{\gamma_{e}}\right)^{1 / 2} .
\]

Дэя двухатомюй молекулы две вращательые степени свободы могут отставать от трех поступательных степеней, и это можно описать, положив $\alpha=3, \alpha_{r}=2$. Замороженная и равновесные скорости звука равны соответственно
\[
a_{f}^{2}=\frac{5}{3} \frac{p}{\rho}, \quad a_{e}^{2}=\frac{7}{5} \frac{p}{\rho} .
\]

Критерий (10.50) предсказывает полностью релаксационный гладкий профиль, когда
\[
M<1,091,
\]

и разрыв, сопровождаемый областью релаксации, когда $M$ превосходит это критическое значение. При учете вязкости и теплопередачи этот разрыв переходит в тонкий подслой.

Гриффитс, Брикл, Бләкмен и Кенни (см. Гриффитс, Брикл и Блэкмен [1], а также Гриффитс и Кенни [1]) опубликовали результаты әкспериментальных наблюдений за колебательной релаксацией в $\mathrm{CO}_{2}$. В этом случае $\alpha$ следует положить равным 5 , чтобы включить и поступательные, и вращательные степени свободы; колебательные движения устанавливаются значительно дольше. При $300 \mathrm{~K} \alpha_{r}$ следует положить равным $2^{1}$ ). Критическое значение для $M$ равно 1,043 , и экспериментальные наблюдения, описанные в цитированных выше работах, подтверждают это c достаточной точностью. (Дальнейшие детали можно найти в указанных выше статьях и в превосходной работе Лайтхилла [5].)

Таким образом, мы убедились в том, что введение в рассмотрение волн, учитывающих различного рода дополнительные эффекты, и выяснение роли, которую играет каждая из этих волн, приводит к сравнительно простым предсказаниям важных явлений в чрезвычайно сложных ситуациях.
1) При этой температуре четыре степени свободы обладают только половиной своей классической энергии, так что выбор $\alpha_{r}=2$ является оправданным.