Паводковые волны
Этот пример был подробно изучен в гл. 3. Отметим, что в принятых здесь обозначениях
$$c_1=v+\sqrt{g^{\prime }h},c_2=v-\sqrt{g^{\prime }h},a=3v/2.$$

Согласно условиям (10.42), однородное течение $h=h_0,v=v_0$ устойчиво (как отмечено в § 3.2) при условии, что
$$v_0-\sqrt{g^{\prime }{h}_0}<\frac{3v_0}{2}<v_0+\sqrt{g^{\prime }{h}_0},$$

где нижний предел фактически не является ограничением. Согласно критерию (10.48), ударная волна $S_{\text{II }}$ обладает непрерывной структурой при условии, что
$$v^{(2)}-\sqrt{g^{\prime }{h}^{(2)}}<U<v^{(1)}+\sqrt{g^{\prime }{h}^{(1)}}.$$

Эти условия на разрыве для $S_{\text{II }}$ показывают, что $U>v^{22}$, так что ограничение снизу всегда выполняется. Поэтому критерий возникновения разрывов в $S_{\text{II-структуре имеет вид }}$
$$U>v^{(\mathbf{1})}+\sqrt{g^{\prime }{h}^{(1)}}.$$

Это в точности совпадает с результатом (3.52), полученным при помощи подробного анализа.
Магнитная газовая динамика
Уравнения волн в магнитной газовой динамике приведены в примерах 10 и ${10}^{\prime }\mathrm{\S }5.2$. Первая система — это система I, и мы имеем
$$\begin{array}{c}{c}_1={\left({\epsilon }_0\mu \right)}^{-1/2},c_2=u+a,c_3=u,\\ c_4=u-a,c_5=-{\left({\epsilon }_0\mu \right)}^{-1/2}.\end{array}$$

Вторая система — это система II, и
$$\begin{array}{l}{a}_1=u+{(a^2+\frac{B^2}{\mu \rho })}^{1/2},a_2=a_3=u,\\ a_4=u-{(a^2+\frac{B^2}{\mu \rho })}^{1/2}.\end{array}$$

Реальные волны, распространяющиеся относительно жидкости, имеют чередующиеся скорости, как и требуется условиями (10.42), и устойчивы. Слияние скоростей $a_2,a_3$ с $c_3$ на траектории частицы, как легко проверяется, соответствует устойчивой ситуации.

Ударная волна $S_{\text{II }}$ из $a_1$-семейства, распространяющаяся со скоростью $U$, имеет непрерывную структуру при условии, что
$$u^{(2)}+a^{(2)}<U<{\left({\epsilon }_0\mu \right)}^{-1/2}.$$

Скорость света практически бесконечна, так что разрыв появляется на задней части профиля, когда
$$U<u^{(2)}+a^{(2)}.$$

Это простой вывод результата, полученного Маршаллом [1] с помощью подробного анализа структуры ударной волны. Дальнейшее обсуждение этого случая можно найти в статье автора (Уизем $[8]$ ).

Эффекты релаксации в газах
Уравнения невязкой газовой динамики (гл. 6) можно записать в виде
$$\begin{array}{rl}{\rho }_t+u{\rho }_x+\rho u_x& =0,\\ u_t+u{u}_x+\frac{1}{\rho }{p}_x& =0,\\ e_t+u{e}_x+\frac{p}{\rho }{u}_x& =0.\end{array}$$

ГГри быстрых изменениях параметров течения внутренняя энергия $e$ может отставать от равновесного значения, соответствующего окружающему давлению и плотности. Поступательное движение молекул устанавливается быстро, но запаздывание вращательного и колебательного движений может быть на порядок больше. Если предположить, что $\alpha$ степеней свободы устанавливаются мгновенно, а остальные ${\alpha }_r$ стешеней свободы требуют большего времени релаксации, то можно положить
$$e=\frac{\alpha }{2}\frac{p}{\rho }+E,$$

где $E$ — энергия отстающих степеней свободы. $B$ равновесном состоянии (см. (6.42)) $E$ принимает значение
$$E_{\text{равнов }}=\frac{{\alpha }_r}{2}\frac{p}{\rho }.$$

Простое общее уравнение, описывающее релаксацию, имеет вид
$$E_t+u{E}_x=-\tau (E-\frac{{\alpha }_r}{2}\frac{\text{»}p}{\rho }),$$

где $\tau$-время релаксации. После несложных преобразований систему уравнений можно записать в виде
$$\begin{array}{rl}{\rho }_t+u{\rho }_x+\rho u_x& =0,\\ u_t+u{u}_x+\frac{1}{\rho }{p}_x& =0,\\ \frac{\alpha }{2}(p_t+u{p}_x)-(1+\frac{\alpha }{2})\frac{p}{\rho }({\rho }_t+u{\rho }_x)+\rho (E_t+u{E}_x)& =0,\\ E_t+u{E}_x+\tau (E-\frac{{\alpha }_r}{2}\frac{p}{\rho })& =0.\end{array}$$

Характеристическими скоростями являотся
$$c_1=u+a_f,c_2=c_3=u,c_4=u-a_f,$$

где $a_f$ — «замороженная» скорость звука, определяемая равенством
$$a_f^2=(1+\frac{2}{\alpha })\frac{p}{\rho }={\gamma }_f\frac{p}{\rho }.$$

Это система I для данного случая. Однако, если время релаксации шим приближением в последнем уравнении системы, то имеем равновесную тео рию
$$\begin{array}{rl}{\rho }_t+u{\rho }_x+\rho u_x& =0,\\ u_t+u{u}_x+\frac{1}{\rho }{p}_x& =0,\\ \frac{\alpha +{\alpha }_r}{2}(p_t+u{p}_x)-(1+\frac{\alpha +{\alpha }_r}{2})\frac{p}{\rho }({\rho }_t+u{\rho }_x)& =0.\end{array}$$

Это упрощенная система II для нашей задачи. Характеристические скорости выражаются формулами
$$a_1=u+a_e,a_2=u,a_3=u-a_e,$$

тде $a_e$ — равювесная скорость звука, определяемая равенством
$$a_e^2=(1+\frac{2}{\alpha +{\alpha }_r})\frac{p}{\rho }={\gamma }_e\frac{p}{\rho }.$$

Поскольку ${\gamma }_e<{\gamma }_f$, различше скорости чередуются и имеет место устойчивость; слияние скоростей со скоростью частицы снова соответствует устойчивости.

Рассматривая с точки зрения полной системы структуру ударной волны $S_{\text{II }}$ (для которой считается, что течение между двумя однородными состояниями равновесно), видим, что она будет непрерывной, ести
$$u^{(2)}-a_f^{(2)}<U<u^{(1)}+a_f^{(1)}.$$

Поскольу, согласно $S_{\text{II-условиям }}$ па разриве, $U>u^{(2)}$, существенно только ограничение сверху. Замороженная ударная волиа $S_{\text{I возникает в передй }}$ части профиля и будет сопровождаться областью непрерывной релаксации, когда
$$U>u^{(1)}+a_f^{(1)}.$$

Этот критерий можно записать в виде
$$M=\frac{U-u^{(1)}}{a_e^{(1)}}>\frac{a_f^{(1)}}{a_e^{(1)}}={\left(\frac{{\gamma }_f}{{\gamma }_e}\right)}^{1/2}.$$

Дэя двухатомюй молекулы две вращательые степени свободы могут отставать от трех поступательных степеней, и это можно описать, положив $\alpha =3,{\alpha }_r=2$. Замороженная и равновесные скорости звука равны соответственно
$$a_f^2=\frac{5}{3}\frac{p}{\rho },a_e^2=\frac{7}{5}\frac{p}{\rho }.$$

Критерий (10.50) предсказывает полностью релаксационный гладкий профиль, когда
$$M<1,091,$$

и разрыв, сопровождаемый областью релаксации, когда $M$ превосходит это критическое значение. При учете вязкости и теплопередачи этот разрыв переходит в тонкий подслой.

Гриффитс, Брикл, Бләкмен и Кенни (см. Гриффитс, Брикл и Блэкмен [1], а также Гриффитс и Кенни [1]) опубликовали результаты әкспериментальных наблюдений за колебательной релаксацией в ${\mathrm{CO}}_2$. В этом случае $\alpha$ следует положить равным 5 , чтобы включить и поступательные, и вращательные степени свободы; колебательные движения устанавливаются значительно дольше. При $300\mathrm{K}{\alpha }_r$ следует положить равным $2^1$ ). Критическое значение для $M$ равно 1,043 , и экспериментальные наблюдения, описанные в цитированных выше работах, подтверждают это c достаточной точностью. (Дальнейшие детали можно найти в указанных выше статьях и в превосходной работе Лайтхилла [5].)

Таким образом, мы убедились в том, что введение в рассмотрение волн, учитывающих различного рода дополнительные эффекты, и выяснение роли, которую играет каждая из этих волн, приводит к сравнительно простым предсказаниям важных явлений в чрезвычайно сложных ситуациях.
1) При этой температуре четыре степени свободы обладают только половиной своей классической энергии, так что выбор ${\alpha }_r=2$ является оправданным.