Главная > Линейные и нелинейные волны (Дж. Уизем)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Паводковые волны
Этот пример был подробно изучен в гл. 3. Отметим, что в принятых здесь обозначениях
\[
c_{1}=v+\sqrt{g^{\prime} h}, \quad c_{2}=v-\sqrt{g^{\prime} h}, \quad a=3 v / 2 .
\]

Согласно условиям (10.42), однородное течение $h=h_{0}, \quad v=v_{0}$ устойчиво (как отмечено в § 3.2) при условии, что
\[
v_{0}-\sqrt{g^{\prime} h_{0}}<\frac{3 v_{0}}{2}<v_{0}+\sqrt{g^{\prime} h_{0}},
\]

где нижний предел фактически не является ограничением. Согласно критерию (10.48), ударная волна $S_{\text {II }}$ обладает непрерывной структурой при условии, что
\[
v^{(2)}-\sqrt{g^{\prime} h^{(2)}}<U<v^{(1)}+\sqrt{g^{\prime} h^{(1)}} .
\]

Эти условия на разрыве для $S_{\text {II }}$ показывают, что $U>v^{22}$, так что ограничение снизу всегда выполняется. Поэтому критерий возникновения разрывов в $S_{\text {II-структуре имеет вид }}$
\[
U>v^{(\mathbf{1})}+\sqrt{g^{\prime} h^{(1)}} .
\]

Это в точности совпадает с результатом (3.52), полученным при помощи подробного анализа.
Магнитная газовая динамика
Уравнения волн в магнитной газовой динамике приведены в примерах 10 и $10^{\prime} \S 5.2$. Первая система – это система I, и мы имеем
\[
\begin{array}{c}
c_{1}=\left(\varepsilon_{0} \mu\right)^{-1 / 2}, \quad c_{2}=u+a, \quad c_{3}=u, \\
c_{4}=u-a, \quad c_{5}=-\left(\varepsilon_{0} \mu\right)^{-1 / 2} .
\end{array}
\]

Вторая система – это система II, и
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=u+\left(a^{2}+\frac{B^{2}}{\mu \rho}\right)^{1 / 2}, \quad a_{2}=a_{3}=u, \\
a_{4}=u-\left(a^{2}+\frac{B^{2}}{\mu \rho}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Реальные волны, распространяющиеся относительно жидкости, имеют чередующиеся скорости, как и требуется условиями (10.42), и устойчивы. Слияние скоростей $a_{2}, a_{3}$ с $c_{3}$ на траектории частицы, как легко проверяется, соответствует устойчивой ситуации.

Ударная волна $S_{\text {II }}$ из $a_{1}$-семейства, распространяющаяся со скоростью $U$, имеет непрерывную структуру при условии, что
\[
u^{(2)}+a^{(2)}<U<\left(\varepsilon_{0} \mu\right)^{-1 / 2} .
\]

Скорость света практически бесконечна, так что разрыв появляется на задней части профиля, когда
\[
U<u^{(2)}+a^{(2)} .
\]

Это простой вывод результата, полученного Маршаллом [1] с помощью подробного анализа структуры ударной волны. Дальнейшее обсуждение этого случая можно найти в статье автора (Уизем $[8]$ ).

Эффекты релаксации в газах
Уравнения невязкой газовой динамики (гл. 6) можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{1}{\rho} p_{x} & =0, \\
e_{t}+u e_{x}+\frac{p}{\rho} u_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

ГГри быстрых изменениях параметров течения внутренняя энергия $e$ может отставать от равновесного значения, соответствующего окружающему давлению и плотности. Поступательное движение молекул устанавливается быстро, но запаздывание вращательного и колебательного движений может быть на порядок больше. Если предположить, что $\alpha$ степеней свободы устанавливаются мгновенно, а остальные $\alpha_{r}$ стешеней свободы требуют большего времени релаксации, то можно положить
\[
e=\frac{\alpha}{2} \frac{p}{\rho}+E,
\]

где $E$ – энергия отстающих степеней свободы. $B$ равновесном состоянии (см. (6.42)) $E$ принимает значение
\[
E_{\text {равнов }}=\frac{\alpha_{r}}{2} \frac{p}{\rho} .
\]

Простое общее уравнение, описывающее релаксацию, имеет вид
\[
E_{t}+u E_{x}=-\tau\left(E-\frac{\alpha_{r}}{2} \frac{\” p}{\rho}\right),
\]

где $\tau$-время релаксации. После несложных преобразований систему уравнений можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{1}{\rho} p_{x} & =0, \\
\frac{\alpha}{2}\left(p_{t}+u p_{x}\right)-\left(1+\frac{\alpha}{2}\right) \frac{p}{\rho}\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right)+\rho\left(E_{t}+u E_{x}\right) & =0, \\
E_{t}+u E_{x}+\tau\left(E-\frac{\alpha_{r}}{2} \frac{p}{\rho}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Характеристическими скоростями являотся
\[
c_{1}=u+a_{f}, \quad c_{2}=c_{3}=u, \quad c_{4}=u-a_{f},
\]

где $a_{f}$ – «замороженная» скорость звука, определяемая равенством
\[
a_{f}^{2}=\left(1+\frac{2}{\alpha}\right) \frac{p}{\rho}=\gamma_{f} \frac{p}{\rho} .
\]

Это система I для данного случая. Однако, если время релаксации шим приближением в последнем уравнении системы, то имеем равновесную тео рию
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{1}{\rho} p_{x} & =0, \\
\frac{\alpha+\alpha_{r}}{2}\left(p_{t}+u p_{x}\right)-\left(1+\frac{\alpha+\alpha_{r}}{2}\right) \frac{p}{\rho}\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Это упрощенная система II для нашей задачи. Характеристические скорости выражаются формулами
\[
a_{1}=u+a_{e}, \quad a_{2}=u, \quad a_{3}=u-a_{e},
\]

тде $a_{e}$ – равювесная скорость звука, определяемая равенством
\[
a_{e}^{2}=\left(1+\frac{2}{\alpha+\alpha_{r}}\right) \frac{p}{\rho}=\gamma_{e} \frac{p}{\rho} .
\]

Поскольку $\gamma_{e}<\gamma_{f}$, различше скорости чередуются и имеет место устойчивость; слияние скоростей со скоростью частицы снова соответствует устойчивости.

Рассматривая с точки зрения полной системы структуру ударной волны $S_{\text {II }}$ (для которой считается, что течение между двумя однородными состояниями равновесно), видим, что она будет непрерывной, ести
\[
u^{(2)}-a_{f}^{(2)}<U<u^{(1)}+a_{f}^{(1)} .
\]

Поскольу, согласно $S_{\text {II-условиям }}$ па разриве, $U>u^{(2)}$, существенно только ограничение сверху. Замороженная ударная волиа $S_{\text {I возникает в передй }}$ части профиля и будет сопровождаться областью непрерывной релаксации, когда
\[
U>u^{(1)}+a_{f}^{(1)} .
\]

Этот критерий можно записать в виде
\[
M=\frac{U-u^{(1)}}{a_{e}^{(1)}}>\frac{a_{f}^{(1)}}{a_{e}^{(1)}}=\left(\frac{\gamma_{f}}{\gamma_{e}}\right)^{1 / 2} .
\]

Дэя двухатомюй молекулы две вращательые степени свободы могут отставать от трех поступательных степеней, и это можно описать, положив $\alpha=3, \alpha_{r}=2$. Замороженная и равновесные скорости звука равны соответственно
\[
a_{f}^{2}=\frac{5}{3} \frac{p}{\rho}, \quad a_{e}^{2}=\frac{7}{5} \frac{p}{\rho} .
\]

Критерий (10.50) предсказывает полностью релаксационный гладкий профиль, когда
\[
M<1,091,
\]

и разрыв, сопровождаемый областью релаксации, когда $M$ превосходит это критическое значение. При учете вязкости и теплопередачи этот разрыв переходит в тонкий подслой.

Гриффитс, Брикл, Бләкмен и Кенни (см. Гриффитс, Брикл и Блэкмен [1], а также Гриффитс и Кенни [1]) опубликовали результаты әкспериментальных наблюдений за колебательной релаксацией в $\mathrm{CO}_{2}$. В этом случае $\alpha$ следует положить равным 5 , чтобы включить и поступательные, и вращательные степени свободы; колебательные движения устанавливаются значительно дольше. При $300 \mathrm{~K} \alpha_{r}$ следует положить равным $2^{1}$ ). Критическое значение для $M$ равно 1,043 , и экспериментальные наблюдения, описанные в цитированных выше работах, подтверждают это c достаточной точностью. (Дальнейшие детали можно найти в указанных выше статьях и в превосходной работе Лайтхилла [5].)

Таким образом, мы убедились в том, что введение в рассмотрение волн, учитывающих различного рода дополнительные эффекты, и выяснение роли, которую играет каждая из этих волн, приводит к сравнительно простым предсказаниям важных явлений в чрезвычайно сложных ситуациях.
1) При этой температуре четыре степени свободы обладают только половиной своей классической энергии, так что выбор $\alpha_{r}=2$ является оправданным.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru