Один из многочисленных «интегралов Пуассона», встречающихся в теории уравнений в частных производных, дает решение волнового уравнения с начальными условиями
\[
\varphi=\varphi_{0}(\mathbf{x}), \quad \varphi_{t}=\varphi_{1}(\mathbf{x}), \quad t=0 .
\]

Согласно идеям Адамара, трехмерная задача проще, чем двумерная, и мы начнем с нее.

Как было показано при исследовании решения в виде сферической волны в $§ 7.3$, функция
\[
\psi(\mathbf{x}, t)=\frac{f(|\mathbf{x}-\xi|-c t)}{|\mathbf{x}-\xi|}
\]

является решением для произвольной точки $\xi$. Исходя из интуитивных соображений, можно утверждать, что начальное возмущение, заданное в произвольной точке $\xi$, создает такую сферическую волну, и предположить, что решение должно быть суперпозицией всех таких сферических волн. Итак, рассмотрим
\[
\psi(\mathbf{x}, t)=\int_{-\infty}^{\infty} \Psi(\xi) \frac{f(|\mathbf{x}-\xi|-c t)}{|\mathbf{x}-\xi|} d \xi .
\]

Под знак интеграла внесена произвольная функция $\Psi(\xi)$, поскольку в зависимости от начальных условий сферические волны, выходящие из разтичных точек $\xi$, соответствуют источникам разной интенсивности. В выражении (7.49) удобно ввести сферические координаты $(R, \theta, \lambda)$ с полюсом в точке $\mathbf{x}$. Тогда получаем
\[
\psi(\mathbf{x}, t)=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \Psi(\mathbf{x}+R \mathbf{l}) f(R-c t) R \sin \theta d R d \theta d \lambda,
\]

где $\mathbf{l}$ – единичный вектор, который направлен из $\mathbf{x}$ в $\boldsymbol{\xi}$ и который в декартовых координатах записывается так:
\[
\mathbf{l}=(\sin \theta \cos \lambda, \sin \theta \sin \lambda, \cos \theta) .
\]

Предполагая, что исходный источник, определяющий $f$, действует мгновенно, положим в этой формуле $f(R-c t)=\delta(R-c t)$. Тогда
\[
\psi(\mathbf{x}, t)=c t \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \Psi(\mathbf{x}+c t \mathbf{l}) \sin \theta d \theta d \lambda .
\]

Формально это выражение является решением для любой функции $\Psi$. Его можно также записать в виде интеграла по поверхности
\[
\psi(\mathbf{x}, t)=\frac{1}{c t} \int_{S(t)} \Psi d S,
\]

где $S(t)$ – сфера радиуса $c t$ с центром в точке $\mathbf{x}$. Дэя непрерывно дифференцируемой функции $\Psi$, в силу (7.50), имеем
\[
\psi \rightarrow 0, \quad \psi_{t} \rightarrow 4 \pi \Psi(\mathbf{x}) \text { при } t \rightarrow 0 .
\]

Выбрав $\Psi(x)=\varphi_{1}(\mathbf{x}) /(4 \pi)$, мы решим задачу с начальными условиями частного вида
\[
\psi \rightarrow 0, \quad \psi_{t} \rightarrow \varphi_{1}(\mathbf{x}) \text { при } t \rightarrow 0 .
\]

Решение имеет вид
\[
\Psi(\mathbf{x}, t)=\frac{1}{4 \pi c t} \int_{S(t)} \varphi_{1} d S .
\]

Оно дает полный вклад мгновенных источников, присылающих сферические волны в точку х в момент времени $t$; все они находятся на расстоянии $c t$, и их вклады, перемещаясь со скоростью $c$, достигают точки $\mathbf{x}$ в момент времени $t$ (см. рис. 7.4). Заметим, что все точки, лежащие внутри сферы $S(t)$, в принцие могли бы еще

Рис. 7.4. Детали построения решения Пуассона задачи Коши; $R$ – область начального возмущения.

давать вклад. Но у сферических волн нет \”хвоста», источники действуют мгновенно, и вклад каждого длится лишь мгновение. Для двух измерений это уже не так. Во всяком случае, выражение (7.53) формально является решением задачи с начальными условиями (7.52). Его можно также переписать в виде
\[
\psi(\mathbf{x}, t)=\operatorname{ct} M\left[\varphi_{1}\right],
\]

где
\[
M\left[\varphi_{1}\right]=\frac{1}{4 \pi c^{2} t^{2}} \int_{S(t)} \varphi_{1} d S
\]

означает среднее значение функции $\varphi_{1}$ по сфере $S(t)$.
Дпя того чтобы удовлетворить второй половине начальных условий, можно положить функцию $f$ в (7.49) равной $\delta^{\prime}$ и далее действовать так же, как и выше. Однако лучше использовать прием, который часто оказывается полезным. Если $\psi$ – решение уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, то решением будет и производная от $\psi$ по $t$ или по $\mathbf{x}$. В данном случае заметим, что
\[
\chi(\mathbf{x}, t)=\frac{\partial \psi(\mathbf{x}, t)}{\partial t}
\]

является репением волнового уравнения, если $\psi(\mathbf{x}, t)$ выражается формулой (7.50). Далее при $t \rightarrow 0$, согласно (7.51), имеем
\[
\begin{aligned}
\chi & =\psi_{t} \rightarrow 4 \pi \Psi(\mathbf{x}), \\
\chi_{t} & =\psi_{t t}=c^{2}
abla^{2} \psi \rightarrow 0 .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы $\chi \rightarrow \varphi_{0}(\mathbf{x}), \chi_{t} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow 0$, следует положить $\Psi(\mathbf{x})=\varphi_{0}(\mathbf{x}) /(4 \pi)$ и взять
\[
\chi(\mathbf{x}, t)=\frac{\partial}{\partial t}\left\{\frac{1}{4 \pi c t} \int_{S(t)} \varphi_{0} d S\right\} .
\]

Полное решение для произвольных начальных условий, таким образом, имеет вид
\[
\begin{aligned}
\varphi(\mathbf{x}, t) & =\frac{\partial}{\partial t}\left\{\frac{1}{4 \pi c t} \int_{S(t)} \varphi_{0} d S\right\}+\frac{1}{4 \pi c t} \int_{S(t)} \varphi_{1} d S= \\
& =\frac{\partial}{\partial t}\left\{c t M\left[\varphi_{0}\right]\right\}+\operatorname{ctM}\left[\varphi_{1}\right] .
\end{aligned}
\]

Проверка решения
Осталось проверить непосредственными вычислениями, что выражение (7.50) удовлетворяет волновому уравнению. Сразу получаем, что
\[
\psi_{x_{i} x_{i}}=c t \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial^{2} \Psi(\xi)}{\partial \xi_{i}^{2}} \sin \theta d \theta d \lambda=\frac{1}{c t} \int_{S(t)} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial \xi_{i}^{2}} d S,
\]

где $\xi=\mathbf{x}+c t \mathbf{l}$. Вычисление производных по $t$ требует несколько более сложных выкладок. Имеем
\[
\begin{aligned}
\psi_{t} & =\frac{\psi}{t}+c^{2} t \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} l_{i} \frac{\partial \Psi}{\partial \xi_{i}} \sin \theta d \theta d \lambda=\frac{\psi}{t}+\frac{1}{t} \int_{S(t)} l_{i} \frac{\partial \Psi}{\partial \xi_{i}} d S= \\
& =\frac{\psi}{t}+\frac{1}{t} \int_{V(t)} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial \xi_{i}^{2}} d V,
\end{aligned}
\]

где $V(t)$ – объем, ограниченный сферой $S(t)$. Поэтому
\[
\psi_{t t}=-\frac{\psi}{t^{2}}+\frac{\psi_{t}}{t}-\frac{1}{t^{2}} \int_{V(t)} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial \xi_{i}^{2}} d V+\frac{c}{t} \int_{S(t)} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial \xi_{i}^{2}} d S,
\]

что сводится к
\[
\psi_{t t}=\frac{c}{t} \int_{S(t)} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial \xi_{i}^{2}} d S
\]

в силу выражения для $\psi_{t}$. Таким образом,
\[
\psi_{t t}=c^{2} \psi_{x_{i} x_{i}},
\]

что и требовалось.
В этих рассуждения предполагают, что $\Psi$ дважды непрерывно дифференцируема. Для того чтобы выражение (7.54) было осмысленным, необходимо только, чтобы функции $\varphi_{0}$ и $\varphi_{1}$ были интегрируемы. Можно расширить понятие репения так, чтобы включить все случаи, для которых выражение (7.54) имеет смысл. В частности, если функции $\varphi_{0}$ и $\varphi_{1}$ являются кусочно гладкими, то (7.54) определено и $\varphi \rightarrow \varphi_{0}(\mathbf{x}), \varphi_{t} \rightarrow \varphi_{1}(\mathbf{x})$ во всех точках гладкости.

Для задачи о взрыве шара из $§ 7.3 \varphi_{0}=0, \varphi_{1}=-P / \rho_{0}$ в исходной сфере. Это пример кусочно гладких начальных данных. Было бы интересно при помощи интеграла Пуассона построить решение не только для сферически симметричного случая, но и для произвольной области начального давления. Это предоставляется читателю.
Волновой фронт
Если ненулевые значения $\varphi_{0}(\mathbf{x})$ и $\varphi_{1}(\mathbf{x})$ сосредоточены в ограниченной области $R$, как показано на рис. 7.4 , то решение в произвольной точке вне $R$ равно нулю до тех пор, пона $S(t)$ впервые не пересечется с областью $R$. Ясно, что это произойдет в тот момент,

Рис. 7.5. Построение волнового фронта для возмущения, первоначально сосредоточенного в области $R$.

когда $c t$ станет равным кратчайшему расстоянию от $\mathbf{x}$ до границы $R$. Это кратчайшее расстояние откладывается по нормали к граничной поверхности области $R$.

Обратив проведенные выше рассуждения, можно определить волновой фронт в момент времени $t$. Построим все нормали к граничной поверхности области $R$ и отложим расстояние $c t$ вдоль каждой нормали. Поверхность, образованная полученными точками, будет волновым фронтом. Заметим, что там, где поверхность $R$ вогнута, волновой фронт через некоторое время образует складку (см. рис. 7.5). Это построение будет изучено ниже, когда речь пойдет о геометрической оптике.

Возмущение в произвольной точке $\mathbf{x}$ вне $R$ исчезает, когда сфера $S(t)$ становится настолько большой, что $R$ целиком лежит внутри ее. Таким образом, в трехмерном пространстве первоначальное возмущение конечных размеров приводит к возмущению, которое длится только в течение конечного интервала времени. «Хвост» отсутствует.
Двумерная задача
Решение для двумерного распределения начальных значений можно рассматривать как частный случай, когда $\varphi_{0}(\mathbf{x})$ и $\varphi_{1}(\mathbf{x})$ не зависят от $x_{3}$. Предположим, что ненулевые значения $\varphi_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right)$, $\varphi_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ сосредоточены в ограниченной области $R_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right)$-плоскости. С трехмерной точки зрения они заполняют цилиндр $R$ с образующими, параллельными оси $x_{3}$, и поперечным сечением $R_{0}$. Исходное возмущение уже не будет иметь конечные размеры. Для точки х вне цилиндра $R$ волновой фронт строится так же, как и раньше, но сферы $S(t)$ с центрами в точке х будут пересекать $R$ для всех моментов времени после первого пересечения. Это приводит к «хвосту» у двумерных волн и наглядно демонстрирует разницу между двумя и тремя измерениями.

В решении (7.54) значение $\varphi(\mathbf{x}, t)$ не должно зависеть от $x_{3}$. Это можно проверить непосредственным вычислением после указанного ниже преобразования интегралов. Рассмотрим величину
\[
M\left[\varphi_{0}\right]=\frac{1}{4 \pi c^{2} t^{2}} \int_{S(t)} \varphi_{0} d S
\]

в точке $\left(x_{1}, x_{2}, 0\right)$.
В точке $\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right)$ сферы $S(t)$ (см. рис. 7.6) функция $\varphi_{0}$ принимает значение $\varphi_{0}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)$. Впешняя нормаль образует с осью $x_{3}$ угол, косинус $l_{3}$ которого равен
\[
\frac{\xi_{3}}{c t}= \pm \frac{\sqrt{c^{2} t^{2}-\left(x_{1}-\xi_{1}\right)^{2}-\left(x_{2}-\xi_{2}\right)^{2}}}{c t} .
\]

Элемент поверхности $d S$ равен $d \xi_{1} d \xi_{2} /\left|l_{3}\right|$, где $d \xi_{1} d \xi_{2}$ – его проекция на ( $x_{1}, x_{2}$ )-плоскость. Следовательно, учитывая два равных вклада от верхнего и нижнего полупространств, можно записать
\[
M\left[\varphi_{0}\right]=\frac{1}{2 \pi c t} \int_{\sigma(t)} \frac{\varphi_{0}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) d \xi_{1} d \xi_{2}}{\sqrt{c^{2} t^{2}-\left(x_{1}-\xi_{1}\right)^{2}-\left(x_{2}-\xi_{2}\right)^{2}}},
\]

где $\sigma(t)$ – проекция сферы $S(t)$ на $\left(x_{1}, x_{2}\right)$-плоскость (см. рис. 7.6), т. e.
\[
\sigma(t): \quad\left(x_{1}-\xi_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-\xi_{2}\right)^{2} \leqslant c^{2} t^{2} .
\]

Полное решение сводится к
\[
\begin{array}{l}
\varphi\left(x_{1}, x_{2}, t\right)=\frac{\partial}{\partial t} \frac{1}{2 \pi} \iint_{\sigma(t)} \frac{\varphi_{0}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) d \xi_{1} d \xi_{2}}{\sqrt{c^{2} t^{2}-\left(x_{1}-\xi_{1}\right)^{2}-\left(x_{2}-\xi_{2}\right)^{2}}}+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{\sigma(t)} \frac{\varphi_{1}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) d \xi_{1} d \xi_{2}}{\sqrt{c^{2} t^{2}-\left(x_{1}-\xi_{1}\right)^{2}-\left(x_{2}-\xi_{2}\right)^{2}}} .
\end{array}
\]

Можно заметить сходство с выражением (7.29).

Рис. 7.6. Построение, связанное с переходом из трехмерного пространства на плоскость в задаче Коши.
Поскольку здесь интегрирование проводится по всему кругу $\left(x_{1}-\xi_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-\xi_{2}\right)^{2} \leqslant c^{2} t^{2}$, а не только по окружности, возмущение продолжается и после того, как исходная область $R_{0}$ окажется полностью внутри этой окружности.