Плотность и поток волнового действия в (16.77) равны соответственно
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{\omega} & =\frac{E(\omega-\beta k)}{g k \operatorname{th} k h}=\frac{E}{\omega_{0}}+O\left(E^{2}\right), \\
-\mathscr{L}_{k} & =\frac{E \beta(\omega-\beta k)}{g k \operatorname{th} k h}+\frac{1}{2} \frac{E(\omega-\beta k)^{2}}{(g k \operatorname{th} k h)^{2}} \frac{d}{d k} \omega_{0}^{2}+O\left(E^{2}\right)= \\
& =\frac{E}{\omega_{0}}\left(\beta+C_{0}\right)+O\left(E^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

В терминах плотности энергии $E$ они принимают обычный вид.
Сохранение массь
Аналогичные (16.82) и (16.83) величины, входящие в (16.79), имеют вид
\[
\mathscr{L}_{\gamma}=\rho h, \quad-\mathscr{L}_{\beta}=\rho h \beta+\frac{E}{c_{0}}+O\left(E^{2}\right) .
\]

Таким образом, ясно, что первое уравнение в (16.79) представляет собой уравнение сохранения массы и что волны вносят в массу течения суммарный вклад $E / c_{0}$. Поэтому следует выделить в явном виде скорость потока массы
\[
U=\beta+\frac{E}{\rho c_{0} h} .
\]

Энергия и импу.льс
Плотность и поток энергии, определенные в (14.74), оказываются равными
\[
\begin{array}{c}
\omega \mathscr{L}_{\omega}+\gamma \mathscr{L}_{\gamma}-\mathscr{L}=\frac{1}{2} \rho h U^{2}+\frac{1}{2} \rho g h^{2}+E+O\left(E^{2}\right), \\
-\omega \mathscr{L}_{k}-\gamma \mathscr{L}_{\beta}=\rho h U\left(\frac{1}{2} U^{2}+g h\right)+U\left(\frac{2 C_{0}}{c_{0}}-\frac{1}{2}\right) E+ \\
+\left(U+C_{0}\right) E+O\left(E^{2}\right) .
\end{array}
\]

Плотность и поток импульса (см. (14.75)) выражаются формулами
\[
\begin{array}{c}
k \mathscr{L}_{\omega}+\beta \mathscr{L}_{\gamma}=\rho h \beta+\frac{E}{c_{0}}=\rho h U+O\left(E^{2}\right), \\
-k \mathscr{L}_{k}-\beta \mathscr{L}_{\beta}+\mathscr{L}=\rho h U^{2}+\frac{1}{2} \rho g h^{2}+\left(\frac{2 C_{0}}{c_{0}}-\frac{1}{2}\right) E+O\left(E^{2}\right) .
\end{array}
\]

Следует особо отметить простоту этих формул, достигнутую за счет введения $U$ вместо $\beta$. Легко различимы вклады среднего течения, волн и их взаимодействия. Выражение (16.86) подтверждает, что $E$ – плотность энергии волн. Волновой импульс $E / c_{0}$ в (16.88) имеет обычную форму, но суммарную величину удобно записывать и как $\rho h U$. Выражение для потока импульса (16.89) содержит интересное слагаемое
\[
S=\left(\frac{2 C_{0}}{c_{0}}-\frac{1}{2}\right) E
\]

это впервые было замечено и использовано Лонге-Хиггинсом и Стюартом $[1,2]$, которые назвали его напряжением излучения. Следует отметить, что в потоке энергии (16.87) выражение $U S$ соответствует работе; этот член описывает добавку за счет волнового взаимодействия к обычному потоку энергии $\left(U+C_{0}\right) E$. Если механическая система описывается в системе отсчета, движущейся вместе с ее центром масс, то полная энергия составляет
\[
\frac{1}{2} \sum m(U+v)^{2}=\frac{1}{2} U^{2} \sum m+U \sum m v+\frac{1}{2} \sum m v^{2},
\]

где средний член равен произведению относительного импульса на $U$; три первые члена в формуле (16.87) являются аналогом этого простого разложения.

Учитывая полученные выше выражения, исходные уравнения (16.77) – (16.79) можно записать так:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{E}{\omega_{0}}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left\{\left(\beta+C_{0}\right) \frac{E}{\omega_{0}}\right\} & =0, \frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0, \\
\frac{\partial}{\partial t}(\rho h)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho h \beta+\frac{E}{c_{0}}\right) & =0, \quad \frac{\partial \beta}{\partial t}+\frac{\partial \gamma}{\partial x}=0,
\end{aligned}
\]

где $\omega$ и $\gamma$ даются соотношениями (16.80) – (16.81), а члены порядка $O\left(E^{2}\right)$ опущены. Альтернативная система, вводящая уравнения сохранения энергии и импульса вместо уравнения сохранения волнового действия и уравнения совместности, связывающего $\beta$ и $\gamma$,

имеет вид
\[
\begin{array}{c}
k_{t}+\omega_{x}=0, \\
(\rho h)_{t}+(\rho h U)_{x}=0 \\
(\rho h U)_{t}+\left(\rho h U^{2}+\frac{1}{2} \rho g h^{2}+S\right)_{x}=0 \\
\left(\frac{1}{2} \rho h U^{2}+\frac{1}{2} \rho g h^{2}+E\right)_{t}+ \\
+\left\{\rho h U\left(\frac{1}{2} U^{2}+g h\right)+U S+\left(U+C_{0}\right) E\right\}_{x}=0 .
\end{array}
\]

В первых работах, посвященных волнам на поверхности потока, стоял вопрос о правильной форме уравнения сохранения «волновой энергии» $E$. Один из способов вывода правильного выражения состоит в возможно более полном исключении $h$ и $U$ из уравнения (16.96) при помощи предыдущих уравнений. Легко проверить, что уравнение
\[
E_{t}+\left\{\left(U+C_{0}\right) E\right\}_{x}+S U_{x}=0
\]

правильно. Необходимость в дополнительном члене $S U_{x}$ была отмечена Лонге-Хиггинсом и Стюартом [2]. Конечно, уравнение (16.97) эквивалентно уравнению сохранения волнового действия в (16.91), которое представляется в данном подходе более естественным. Чтобы установить эту эквивалентность, заметим, что уравнение сохранения волнового действия можно переписать в виде
\[
E_{t}+\left\{\left(\beta+C_{0}\right) E\right\}_{x}+\left[\frac{k}{\omega_{0}} \frac{\partial \omega_{0}}{\partial k}+\frac{h}{\omega_{0}} \frac{\partial \omega_{0}}{\partial h}\right] E \beta_{x}=0 .
\]

Коэффициент в квадратных скобках равен $\left(2 C_{0} / c_{0}-1 / 2\right)$, а $\beta=$ $=U+O(E)$, так что эти два уравнения совпадают.