В другом пределе $s^{2} \rightarrow 1$ волновой пакет переходит в последовательность волн, близких к уединенным. В этом случае $K$ и $D$ имеют асимптотику
\[
K=\Lambda+O\left(1-s^{2}\right), \quad D=\Lambda-O\left(1-s^{2}\right), \quad \Lambda=\ln \frac{4}{\left(1-s^{2}\right)^{1 / 2}} .
\]

В пределе уединенных волн естественно считать амплитуду равной высоте от подошвы до гребня и волновое число определить как число волн на единицу длины (а не число волн на длину $2 \pi$ ). В соответствии с этим
\[
a_{1}=2 a, \quad k_{1}=\frac{k}{2 \pi},
\]

и, в силу (16.129), имеем
\[
\Lambda=\frac{\left(2 a_{1}\right)^{1 / 2}}{4 k_{1}} .
\]

Ошибки порядка $1-s^{2}$ экспоненциально малы, и мы ограничимся членами порядка $\left(2 a_{1}\right)^{\mathbf{1} / 2} / k_{1}$. Тогда
\[
\begin{aligned}
p & \sim \beta+a_{1}-2 k_{1}\left(2 a_{1}\right)^{1 / 2}, \quad q, r \sim \beta-2 k_{1}\left(2 a_{1}\right)^{1 / 2}, \\
U & \sim 6 \beta+2 a_{1}-12 k_{1}\left(2 a_{1}\right)^{1 / 2}, \\
P & \sim 6 \beta-16 k_{1}\left(2 a_{1}\right)^{1 / 2}\left\{\frac{1-3 k_{1}\left(2 a_{1}\right)^{-1 / 2}}{1-4 k_{1}\left(2 a_{1}\right)^{-1 / 2}}\right\}, \\
Q, R & \sim 6 \beta+2 a_{1}-12 k_{1}\left(2 a_{1}\right)^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Заметим, что
\[
q=r+O\left\{\exp \left(\frac{-a_{1}^{1 / 2}}{k_{1}}\right)\right\}, \quad Q=R+O\left\{\exp \left(\frac{-a_{1}^{-1 / 2}}{k_{1}}\right)\right\} .
\]

В почти линейном пределе изменения параметра $\beta$ переносятся в основном по быстрейшей характеристике (со скоростью $R$ ), а параметры $a$ и $k$ переносятся в основном по двум более медленным. Наоборот, в данном пределе $\beta$ переносится в основном по самой медленной характеристике $(P)$, а $a_{1}$ и $k_{1}$ распространяются быстрее. В головной области можно интегрировать вдоль $P$ характеристики и получить, что величина $q+r$ остается равной своему первоначальному значению. Но в этом пределе $q \simeq r$ всюду, так что $q$ и $r$ по отдельности также остаются равными своим первоначальным значениям. В обычной нормировке $q=r=0$; следовательно, они и остаются нулевыми. Тогда из (16.134) имеем
\[
\beta \simeq 2 k_{1}\left(2 a_{1}\right)^{1 / 2}
\]

и
\[
p \sim a_{1}, \quad q, r \sim 0, \quad U \sim 2 a_{1}, \quad Q, R \sim 2 a_{1} .
\]

Соответствующие приближенные уравнения, как можно показать, имеют вид
\[
\begin{array}{c}
k_{1 t}+\left(2 a_{1} k_{1}\right)_{x}=0, \\
a_{1 t}+2 a_{1} a_{1 x}=0 .
\end{array}
\]

В этом приближении система не является строго гиперболической, но можно сначала интегрированием вдоль характеристик $d x / d t=$ $=2 a_{1}$ найти $a_{1}$, а затем интегрированием вдоль этих же характеристик найти $k_{1}$. Такая структура аналогична структуре, имевшей место в линейной теории. Однако на этот раз $a_{1}$ остается постоянной на характеристиках, а $k_{1}$ убывает как $1 / t$.

Как и в случае линейного предела, следующий за (16.137) (16.138) порядок приближения модифицирует структуру уравнений; характеристики разделяются, и система становится строго гиперболической.

Уравнения (16.138) стали теперь настолько простыми, что можно предположить, что существует их прямой вывод, не требующий

предварительного изучения общего случая. Это, несомненно, так. Уравнение Кортевега – де Фриза можно записать в форме уравнения сохранения
\[
\eta_{t}+\left(3 \eta^{2}+\eta_{x x}\right)_{x}=0,
\]

и, усреднив его, получить
\[
(\bar{\eta})_{t}+\left(\overline{3 \eta^{2}}\right)_{x}=0 .
\]

Далее, уединенная волна с $q=r=0$ и $p=a_{1}$ дается выражением
\[
\eta=a_{1} \operatorname{sech}^{2}\left\{\left(\frac{a_{1}}{2}\right)^{1 / 2} x-4\left(\frac{a_{1}}{2}\right)^{3 / 2} t\right\} .
\]

Если, используя это решение, вычислить средние значения

то будем иметь
\[
\bar{\eta}=k_{1} \int_{-\infty}^{\infty} \eta d x, \quad \overline{\eta^{2}}=k_{1} \int_{-\infty}^{\infty} \eta^{2} d x
\]
\[
\bar{\eta}=4 k_{1}\left(\frac{a_{1}}{2}\right)^{1 / 2}, \quad \overline{\eta^{2}}=\frac{16 k_{1}}{3}\left(\frac{a_{1}}{2}\right)^{3 / 2} .
\]

Уравнение (16.140) принимает вид
\[
\left(k_{1} a_{1}^{1 / 2}\right)_{t}+\left(2 k_{1} a_{1}^{3 / 2}\right)_{x}=0 .
\]

В силу (16.141), фазовая скорость $U=2 a_{1}$; следовательно, уравнение совместности $k_{1 t}+\left(k_{1} U\right)_{x}=0$ записывается как
\[
k_{1 t}+\left(2 a_{1} k_{1}\right)_{x}=0 .
\]

Система уравнений, полученная для $k_{1}$ и $a_{1}$, эквивалентна системе (16.138). Заметим, что в этом выводе неявно предполагалось, что $q$ и $r$ при модуляциях остаются равными нулю.
Эти уравнения имеют важное частное решение
\[
a_{1}=\frac{x}{2 t}, \quad k_{1}=\frac{1}{2 t} f\left(\frac{x}{2 t}\right),
\]

где $f$ – произвольная функция. Такой результат легко интерпретировать. Уединенная волна с амплитудой $a_{1}$ движется со скоростью $2 a_{1}$. Следовательно, равенства (16.144) описывают последовательность уединенных волн, сохраняющих постоянные амплитуды и движущихся по траектории $x=2 a_{1} t$. Убывание волнового числа $k_{1}$ связано с тем, что уединенные волны, имеющие различные амплитуды, разбегаются. Решение изображено на рис. 17.1 (см. стр. 572), где оно получено при обсуждении точных решений. Однако там оно завершается разрывамй у $a_{1}$ и $k_{1}$. Рассмотрим поэтому, как выглядят для наших уравнений условия на разрыве.

Снова возникает обычный вопрос: какие уравнения сохранения должны оставаться справедливыми при переходе через разрыв?

Если принять систему (16.142)-(16.143), то условия на разрыве имеют вид
\[
\begin{array}{c}
-V\left[k_{1} a_{1}^{1 / 2}\right]+\left[2 k_{1} a_{1}^{3 / 2}\right]=0, \\
-V\left[k_{1}\right]+\left[2 a_{1} k_{1}\right]=0,
\end{array}
\]

где $V$ – скорость разрыва. Скачкообразный переход от $a_{1}=0$ до некоторого ненулевого значения $a_{1}^{(0)}$ будет, следовательно, распространяться со скоростью $V=2 a_{1}^{(0)}$. Это-фазовая скорость, и полученный результат указывает на то, что решение (16.144) может быть оборвано на любой из последовательных уединенных волн.

Именно такой выбор подтверждается точным решением, которое будет приведено в § 17.5. Функцию $f$ и амплитуду $a_{1}^{(0)}$ можно определить только из начальных условий, также приведенных в § 17.5. Конечно, в случае уравнения Кортевега – де Фриза точный анализ дает более сильные результаты, чем теория модуляций уединенных волн. Но подтверждение результатов в этом случае оправдывает аналогичное использование теории модуляций в задачах, где точные решения неизвестны.

Наконец, можно отметить, что если уединенную волну записать в виде
\[
\eta=a_{1} \operatorname{sech}^{2}\left(\frac{a_{1}}{2}\right)^{1 / 2}\left(x-\frac{\omega_{1}}{k_{1}} t\right)
\]

и использовать это выражение для вычисления усредненного лагранжиана
\[
\mathscr{L}=k_{1} \int_{-\infty}^{\infty} L d x,
\]

то найдем
\[
\mathscr{L} \sim^{\prime} \omega_{1} a_{1}^{3 / 2}-\frac{6}{5} k_{1} a_{1}^{5 / 2} .
\]

Вариационные уравнения имеют вид
\[
\begin{aligned}
\delta a: & \omega_{1}=2 a_{1} k_{1}, \\
\delta \theta: & \left(a_{1}^{3 / 2}\right)_{t}+\left(\frac{6}{5} a_{1}^{5 / 2}\right)_{x}=0, \\
\text { совместность: } & k_{1 t}+\omega_{1 x}=0 .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения эквивалентны системе (16.142)-(16.143).