Рассмотрим теперь приложения общей теории и начнем с задачи о дифракции плоской ударной волны, распространяющейся вдоль закругленной стенки. Геометрия для выпуклой стенки представлена на рис. 8.2. Стенка является лучом, и ее форма задает граничное значение $\theta ={\theta }_w$ на стенке. Если использовать $(\mathit{\alpha },\mathit{\beta }$ )-координаты, то стенку (границу) можно цринять за луч $\beta =0$.

Заметим, что ${\theta }_w$ является известной функцией расстояния $s$ вдоль стенки. Однако если на границе мы положим $\theta ={\theta }_w(\alpha )$, то сможем найти связь между $\alpha$ и $s$ лишь из окончательного решения. Для простых форм, подобных углам, такого соотношения не требуется, поскольку ${\theta }_w$ просто принимает постоянные значения на обеих сторонах угла и ( $\alpha ,\beta )$-описание упрощается. Для более общих форм, для которых это неявное соотношение будет неудобным, обычно лучше работать в $(x,y)$-описании и использовать эквивалентную систему уравнений (8.78).

Граница сначала представляет собой прямую с ${\theta }_w=0$, и ударная волна однородна с $\theta =0,M=M_0$. Положим, что $\beta$ равно расстоянию от границы невозмущенной области, так что $A_0=1$ и применимо равенство (8.64). Положим, далее, что $\alpha =0$ в точке, где граница начинает искривляться; тогда полная задача состоит в решении уравнений (8.65) со следующими начальными и граничными условиями:
$$\begin{array}{ll}\theta =0,M=M_0& \text{ при }\alpha =0,0<\beta <\mathrm{\infty },\\ \theta ={\theta }_w(\alpha )& \text{ при }\beta =0,0<\alpha <\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Распространение волн вдоль ударной волны аналогично одномерным волнам в газовой динамике. Отклонение стенки соответствует движению поршня, и можно представить себе, что это

отклонение тянет или толкает основание ударной волны и посылает волны вдоль нее. Выпуклая гранида соответствует вытягиваемому поршню, посылающему волны разрежения, тогда как вогнутая — поршню, генерирующему волны сжатия. В силу точно таких же рассуждений, как и в § 6.8 , решение в каждом случае является простой волной до тех пор, пока в результате опрокидывания не образуются вторичные ударные волны. Определяемый формулой (8.69) $C$-инвариант постоянен всюду, поскольку все характеристики $C$ — начинаются в однородной области перед волнами, в которой $\theta =0$ и $M=M_0$. Следовательно,
$$\theta -\omega (M)=-\omega \left(M_0\right)$$

всюду, причем $\omega (M)$ определяется равенством (8.72). В частности, число Маха $M_w$ у стенки, которое, пожалуй, является наиболее важным результатом, выражается через ${\theta }_w$ без дальнейшего решения исходных уравнений. Имеем
$${\theta }_w=\omega \left(M_w\right)-\omega \left(M_0\right).$$

Значение $M_w$, соответствуюе любому конкретному значению ${\theta }_w$, получается из этого соотношения при помощи табл. 8.3.
Рис. 8.7. Характеристики для дифракции ударной волны.
В простой волне граничные значения распространяются в область течения и остаются постоянными на характеристиках $C_{+}$, изображенных на рис. 8.7. Если характеристическая переменная $\tau$ определена как значение $\alpha$ в точке пересечения этой характеристики с границей $\beta =0$, то решение в виде простой волны имеет вид
$$\theta ={\theta }_w(\tau ),M=M_w\left({\theta }_w\right),\beta =(\alpha -\tau )c\left(M_w\right).$$

Соответствующие соотношения в $(x,y)$-описании таковы:
$$\begin{array}{l}\theta ={\theta }_w=\mathrm{arctg}{y}_w^{\prime }(\xi ),M=M_w\left({\theta }_w\right),\\ y=y_w(\xi )+(x-\xi )\mathrm{tg}({\theta }_w+m_w).\end{array}$$

Разрежение около угла
Для выпуклого угла $\theta$ скачком меняется от 0 до некоторой отридательной величины ${\theta }_w$ и остается равным этой величине. Соответствующее граничное значение числа Маха скачком меняется от $M_0$ до величины $M_w$, определяемой равенством (8.84).

Рис. 8.8. Теоретическая форма ударной волны для дифракции на угле в ${90}^{\circ }$.

Возмущение является центрированной простой волной (см. рис. 8.8), и решение для числа Маха $M$ в этой волне находится из соотнопений
$$\frac{\beta }{\alpha }=c(M),c\left(M_w\right)<\frac{\beta }{\alpha }<c\left(M_0\right).$$

Соответствующее значение $\theta$ дается равенством (8.83). Вдоль ударной волны
$$\frac{\partial x}{A\partial \beta }=-\sin \theta ,\frac{\partial y}{A\partial \beta }=\cos \theta ;$$

следовательно, в момент времени $t=\alpha /a_0$ ударная волна описывается следующими параметрическими уравнениями:
$$\begin{array}{l}x=\alpha M_w\cos {\theta }_w-{\int }_0^{\beta }\frac{f(M)}{f\left(M_0\right)}\sin \theta d\beta ,\\ y=\alpha M_w\sin {\theta }_w+{\int }_0^{\beta }\frac{f(M)}{f\left(M_0\right)}\cos \theta d\beta .\end{array}$$

Поскольку $M$ и $\theta$ являются функциями одной переменной $\beta /\alpha$, отсюда следует, что $x/\alpha$ и $y/\alpha$ тоже функции одной этой переменной. Следовательно, ударная волна со временем равномерно расширяется. Это можно было бы предсказать заранее непосредственно из соображений размерностей. В данной задаче нет характерной длины или интервала времени, так что все параметры течения должны быть функциями от $x/\left(a_{0}t\right)$ и $y/\left(a_{0}t\right)$. Это одинаково верно и в точной теории, и в приближенной геометрической теории.

Первое возмущение распространяется по характеристике $\beta =$ $=\alpha c\left(M_0\right)$. Поскольку $\beta$ измеряется расстоянием от траницы по исходной невозмущенной ударной волне и $\alpha =a_0(t)$, скорость в физическом пространстве равна $a_{0}c\left(M_0\right)$. Одной из немногих величин, которые можно найти в точной формулировке этой задачи, является скорость первого сигнала. Согласно теории звука, первое возможное возмущение от угла распространяется в область течения за ударной волной с локальной скоростью звука $a$ относительно течения с локальной скоростью $u$. Следовательно, это возмущение перемещается вдоль ударной волны со скоростью
$${\{a^2-(U-u{)}^2\}}^{1/2}$$

где $U$ — скорость ударной волны. Величины $U,a$ и $u$ можно выразить через $M_0$, и оказывается, что величина (8.89) равна $a_0{c}^{\ast }$, где
$$c^{\ast }={\left\{\frac{(M_0^2-1)[(\gamma -1)M_0^2+2]}{(\gamma +1)M_0^2}\right\}}^{1/2}.$$

Эту величину следует сравнить с
$$c_0=c\left(M_0\right)={\left\{\frac{M_0^2-1}{\lambda \left(M_0\right)}\right\}}^{1/2},$$

где $\lambda (M)$ определяется формулой (8.26). Для слабых ударных волн
$$c_0\sim {\left\{\frac{1}{2}(M_0-1)\right\}}^{1/2},c^{\ast }\sim {\left\{2(M_0-1)\right\}}^{1/2},M_0\to 1;$$

для сильных ударных волн при $\gamma =1,4$
$$c_0\sim 0,4439M_0,c^{\ast }\sim 0,4082M_0,M_0\to \mathrm{\infty }.$$

Таким образом, зависимость от $M_0$ оказывается одной и той же, и фактически имеет место приемлемое численное согласование при $M_0>2$. Для слабых ударных волн $c_0=1/2c^{\ast }$. Можно возразить, что $c$ * дает скорость только первого сигнала и что на самом деле основное возмущение может приходить позднее. Но все свидетельствует, по-видимому, о том, что для слабых ударных волн истинное возмущение распределяется по всему звуковому кругу, а приближенная теория концентрирует возмущение, грубо говоря, в половину этой области.

Мы увидим ниже, что полная амплитуда возмущения предсказывается, как свидетельствуют значения $M_w$, очень хорошо, и концентрация возмущения в этой теории неизбежна. Для более сильных ударных волн возмущение будет более сконцентрированным, и приближенная теория прекрасно описывает такое поведение. Можно добавить, что в этой теории основное внимание уделяется локальному поведению в окрестности ударной волны, а это, очевидно, лучше подходит для сильных ударных волн. К счастью, задачи о слабых ударных волнах менее интересны и в любом случае могут быть решены в рамках линейной акустики.

Несмотря на то что точная формулировка для дифракции около угла приводит к автомодельному решению, зависящему от $x/a_{0}t$ и $y/a_{0}t$, в общем случае с ним мало что можно сделать. Однако для малых углов ${\theta }_w$ можно линеаризовать течение за ударной волной и провести решение до конца. Это было осуществлено Лайтхиллом [4]. Мы можем сравнить наши результаты с результатами Лайтхилла для этого частного случая. При малых значениях ${\theta }_w$ формулу (8.84) для числа Маха $M_w$ у стенки можно аппроксимировать следующим выражением:
$$M_w-M_0=c\left(M_0\right){\theta }_w={\left\{\frac{M_0^2-1}{\lambda \left(M_0\right)}\right\}}^{1/2}{\theta }_w.$$

Сравним это выражение с результатами Лайтхилла в двух предельных случаях $M_0\to 1$ и $M_0\to \mathrm{\infty }$. Для слабых ударных волн
$$M_w-M_0\sim {\left\{\frac{1}{2}(M_0-1)\right\}}^{1/2}{\theta }_w,$$

тогда как у Лайтхилла это значение умножается на $8/(3\pi )$. Для сильных ударных волн
$$M_w-M_0\sim 0,4439M_0{\theta }_w,$$

а значение Јайтхилла приходится определять по графику, но численный множитель, цо-видимому, близок к 0,5 . Теория Јайтхилла показывает, что для слабых ударных волн возмущение распространяется по всему звуковому кругу, но для более сильных ударных волн оно более сконцентрировано, и действительно, при $M_0\to \mathrm{\infty }$ кривизна стремится к бесконечности.

Учитывая сравнительную простоту этой приближенной теории, результаты можно считать удивительно хорошими. Анализ Лайтхилла, ограниченный случаем угла и малых ${\theta }_w$, уже существенно сложнее напего; приближенную же теорию можно применять к огромному множеству задач, для которых другие аналитические решения не найдены. Результаты должны быть хорошими, за исключением очень слабых ударных волн, но даже для них полное изменение числа Маха должно предсказываться хорошо. Об экспериментальных проверках, показывающих это согласование, речь пойдет ниже.

Решение для произвольного исходного числа Маха и любой величины угла дается формулами (8.87) и (8.88). В пределе сильных ударных волн, когда $M_0\to \mathrm{\infty }$, эти формулы упрощаются

Рис. 8.9. Дифракция ударной волны: сравнение экспериментальных (сплошные кривые) и теоретических (штриховые кривые) результатов (по Скьюзу).

и форма решения становится яснее. Для сильных ударных волн соответствующее выражение для $M_w$ принимает вид
$$M_w=M_0\exp \left(\frac{{\theta }_w}{\sqrt{n}}\right),$$

и в веере
$$\begin{array}{rl}\frac{M}{M_0}& ={\left(\frac{\beta \sqrt{n}}{M_0\alpha }\right)}^{1/(n+1)},\\ \theta & =\frac{\sqrt{n}}{n+1}\ln \frac{\beta \sqrt{n}}{M_0\alpha }.\end{array}$$

Уравнение для ударной волны в момент времени $t=\alpha /a_0$ находится из (8.88) с $f(M)=M^{-n}$. Легче всего использовать в качестве параметра $\theta$ вместо $\beta$ и определить постоянные интегрирования из условий $x=M_0{a}_{0}t,y=M_0{a}_{0}t/\sqrt{n}$ при $\theta =0$. Тогда имеем
$$\begin{array}{l}\frac{x}{M_0{a}_{0}t}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{1/2}{e}^{\theta /V^n}\sin (\eta -\theta ),\\ \frac{y}{M_0{a}_{0}t}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{1/2}{e}^{\theta /\sqrt{n}}\cos (\eta -\theta ),\end{array}\}{\theta }_w<\theta <0,$$

где $\mathrm{tg}\eta =\sqrt{n}$. Форма ударной волны приведена на рис. 8.8 для ${\theta }_w=-\pi /2$. Автомодельная форма решения уже была указана, и мы лишь добавим, что для сильных ударных волн решение также сопоставимо с $M_0$.

Решение для различных значений $M_0$ сравнивалось с экспериментальными результатами Скьюза [1]. Согласование оказалось приемлемо хорошим; типичные результаты воспроизведены на рис. 8.9.

Для сильных ударных волн не существует ограничений на величины ${\theta }_w$, для которых можно найти решение. Для достаточно слабых ударных волн такое ограничение существует, поскольку $M_w$ не может быть меньше единицы. Поэтому, если ${\theta }_w$ оказывается меньше величины ${\theta }_{\lim }$, определяемой как
$${\theta }_{lim}=-{\int }_1^{M_0}\frac{dM}{Ac},$$

то решения не существует. Предположительно это соответствует сильному разделению или другим эффектам около угла, но в настоящий момент интерпретация неясна.
Дифракция на клине
Для вогнутой границы волны на ударной волне опрокидываются, и в репение (8.85) приходится вводить вторичные ударные волны, используя условия на разрыве, установленные в § 8.6. Мы рассмотрим подробно только решение для вогнутого угла, эквивалентное решению задачи о дифракции плоской ударной волны на клине. Этой задаче уделено значительное внимание в литературе (см. Курант и Фридрихс [1], стр. 338). В приближенной теории решение просто. Это решение соответствует вторичной ударной волне, разделяющей две области, в которых $M$ и $\theta$ постоянны, как на рис. 8.10. Согласно (8.81), число Маха на стенке находится

из равенств
$$\begin{array}{rl}\mathrm{tg}{\theta }_w& =\frac{{(M_w^2-M_0^2)}^{1/2}{(A_0^2-A_w^2)}^{1/2}}{A_w{M}_w+A_0{M}_0},\\ \frac{A_w}{A_0}& =\frac{f\left(M_w\right)}{f\left(M_0\right)}.\end{array}$$

Угол $\chi$ для фронта вторичной ударной волны, изображенной на
Рис. 8.10. Отражение Маха на клине

рис. 8.10, определяется, согласно (8.82), из равенства
$$\mathrm{tg}(\chi -{\theta }_w)=\frac{A_w}{A_0}{\left\{\frac{1-{\left(M_0/M_w\right)}^2}{1-{\left(A_w/A_0\right)}^2}\right\}}^{1/2}.$$

Для сильных ударных волн
$$\frac{A_w}{A_0}={\left(\frac{M_0}{M_w}\right)}^n,$$

и $\chi$ становится функцией только от ${\theta }_w$. Соответствующий график приведен на рис. 8.11.

В действительности истинная конфигурация представляет собой отражение Маха с третьей отраженной волной и вихревым следом, как показано на рис. 8.10. Кроме того, «стебель Маха»часть ударной волны около стенки — слегка искривлен. Газодинамические условия на разрыве для трех ударных волн дают соотношения между углами течения и ударными волнами в тройной точке. Если считать, что стебель Маха прямой, то эти соотношения позволяют иным способом определить $\chi$ как функцию от ${\theta }_w$. Этот результат представлен на рис. 8.11 штриховой кривой.

Различие для малых значений ${\theta }_w$ оказывается примерно таким, как и ожидалось, и является величиной того же порядка, что и расхождение в (8.91). Затем кривые случайным образом сближаются и пересекаются. В теории с тремя ударными волнами существует верхний предел для ${\theta }_w$, при котором отражение Маха переходит в обычное отражение (см. $\mathrm{\$}6.17$ ), в то время как упрощенные

соотношения для вторичных ударных волн продолжают предсказывать очень маленький стебель Маха. Однако для углов $\theta$, боль-

Рис. 8.11. Зависимость угла $\chi -{\theta }_w$ от угла клина ${\theta }_w$ для отражения Маха. Сплошная кривая соответствует данной теории, штриховая — теории с тремя ударным волнами.

пих примерно ${70}^{\circ }$, этот стебель Маха так мал, что практически мы имеем ту же картину, что и для обычного отражения. Мы снова заключаем, что эта теория удивительно хороша.
โифракция на круговом чилиндре
Возможно, наиболее суровым испытанием этой теории явилось ее приложение к дифракции на круговом цилиндре, которое выполнили Брисон и Гросс [1] и сравнили затем со своими экспериментальными результатами. Здесь возникло затруднение, связанное с поведением решения в передней точке цилиндра, но Брисон и Гросс предложили удовлетворительный способ обойти его. Прежде всего ударная волна испытывает обычное отражение вплоть до угла около ${45}^{\circ }$ от передней критической точки цилиндра, после чего образуется стебель Маха, который в дальнейшем удлиняется. Как указано на рис. 8.11, приближенная теория предсказывает существование стебля Маха для всех ${\theta }_w$ вплоть до $\pi /2$. Брисон и Гросс приняли ту точку зрения, что если стебель Маха чрезвычайно мал, то это отражение практически является обычным.

Однако оставалась еще трудность, связанная с началом вычислений у передней точки, поскольку в этой точке имеется особенность. Брисон и Гросс воспользовались следующей процедурой. На ранних стадиях предполагается, что маленький стебель Маха прямолинеен и направлен по радиусу, как на рис. 8.12. Если длина этого стебля составляет $b=b(\phi )$, где $\phi -$ угол, отсчитываемый

от передней точки, а радиус цилиндра нормирован на единицу, то невозмущенные лучи, лежащие в трубке с? площадью $A_0=$
Рис. 8.12. Дифракция ударной волны на сфере и циливдре. $A$ — вторичная ударная волна, $B$ — луч.
$=(1+b)\sin \phi$, проходят через площадь $A_1=b$. Поэтому
$$\frac{b}{(1+b)\sin \phi }=\frac{f\left(M_1\right)}{f\left(M_0\right)}.$$

Поскольку $\alpha$ непрерывна на вторичной ударной волне и $\alpha =x/M_0$ в невозмущенной части ударной волны, то $\alpha =\{1-(1+b)\cos \phi \}/M_0$. Число Маха $M$ определяется равенством
$$\frac{1}{M}=|abla\alpha |=\frac{\partial \alpha }{R\partial \phi }$$

для данного радиуса $R$. Объединяя эти два равенства и принимая среднее значение $R=1+1/2b$ для $M_1$, получаем
$$\frac{M_0}{M_1}=\frac{1}{1+b/2}\frac{d}{d\phi }\{1-(1+b)\cos \phi \}.$$

Уравнения (8.98) и (8.99) дают дифференциальное уравнение для $b(\phi )$, которое следует решить с начальным условием $b=0$ при $\phi =0$. Для сильных ударных волн с $M_0\gg 1$ это уравнение таково:
$$\frac{db}{d\phi }=(1+b)\mathrm{tg}\phi -\frac{1+b/2}{\cos \phi }{\left[\frac{b}{(1+b)\sin \phi }\right]}^{1/n}.$$

Для малых $\phi$
$$b={\sin }^{n+1}\phi ,\phi \ll 1$$

Рис. 8.13. Длина стебля Маха для вторичной ударной волны. $A$ — вторичная ударная волна. По оси абсцисс отложены значения $\phi$.

Рис. 8.14. Дифракция на цилиндре при $M_0=2,81$ (по Брисону и Гроссу [1]). $A$ — әкспериментаиьно найденные тройные точки, $B$ — характеристики, $C$ — вторичная ударная волна $1,D$ — лучи, $E$ — вторичная ударная волна 2 .

Решение уравнения (8.100) изображено на рис. 8.13. Брисон и Гросс используют это решение вплоть до $\phi ={45}^{\circ }$, а затем переходят к подробному характеристическому решению. Когда два стебля Маха пересекаются в задней критической точке, за цилиндром образуется другая вторичная ударная волна. Результаты приводятся на рис. 8.14 и сравниваются с экспериментальными данными. Теоретически найденные положения ударной волны и двух вторичных ударных волн соответствуют сплошным линиям, а лучи — штриховым. Кружками и треугольниками отмечены экспериментальные точки для положений вторичной ударной волны с числами Рейнольдса $\mathrm{Re}=7,79\cdot {10}^4$ и $\mathrm{Re}=0,87\cdot {10}^4$ соответственно. В эксперименте около фронта возникал вихрь, траектория которого нанесена крестиками; этот вихрь, конечно, не описывается нашей простой теорией. Теневые фотографии картины течения представлены на рис. $8.15\mathrm{a},8.15\mathrm{b}$ и $8.15\mathrm{c}$.
Дифракция на конусе или сфере
Для трехмерных задач используется исходная система уравнений (8.50) — (8.52). Для осесимметричных задач первые два уравнения принимают вид
$$\begin{array}{rl}{\alpha }_x^2+{\alpha }_r^2& =\frac{1}{M^2},\\ \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{rM}{A}{\alpha }_x\right)+\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{rM}{A}{\alpha }_r\right)& =0,\end{array}$$

где $x$ — расстояние вдоль оси вращения, а $r$ — радиальное расстояяние. Опять удобно ввести лучевой угол $\theta$ равенствами
$${\alpha }_x=\frac{\cos \theta }{M},{\alpha }_r=\frac{\sin \theta }{M}$$

и работать с системой
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\sin \theta }{M}\right)-\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{\cos \theta }{M}\right)& =0,\\ \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{r\cos \theta }{A}\right)+\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{r\sin \theta }{A}\right)& =0,\\ \frac{A}{A_0}& =\frac{f(M)}{f\left(M_0\right)}.\end{array}$$

На границе имеем $\mathrm{tg}\theta =r_w^{\prime }(x)$ при $r=r_w(x)$.
Для дифракции на конусе решение является автомодельным и все величины зависят лишь от $r/x$. Уравнения (8.101) можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые следует ретать совместно с условиями на стенке и на вторичной ударной волне. Детали приведены в оригинальной статье (Уизем [9]). Брисон и Гросс обобщили вычисления и сравнили ревультаты

Рис. 8.15a. Теневая фотография дифракции ударной волны на цилиндре диаметром 0,5 дюйма ( $1,27\mathrm{c}\mathrm{м}$ ) при $M_0=2,82$. Видна начальная стадия отрыва пограничного слоя: (По Брисону и Гроссу [1]).
Обозначения: I.S.- исходная ударная волна; Гроссу [1]).

Maxa; R.S. — отраженная ударная волна; С. волна; M.S.— ударная волна тройная точка; V. — вихрь. контактный разрыв; T.P.-

8.15b. Теневая фотография дифракции ударной волны на цилиндре диаметром 0,5 дюйма при $M_0=2,81$. (Iо Брисону и Гроссу [1]).
Обозначения те же, что на рис. 8.15a.

Рис. 8.15c. Теневая фотография дифракции ударной волны на цилиндре диаметром 0,5 дюйма при $M_0=2,84$. (По Брисону и Гроссу [1].) Обозначения те же, что на рис. 8.15a.

Рис. 8.16. Сравнение теоретических (сплошная кривая) и экспериментальвых (кружки) результатов для угла вторичной ударной волвы при дифракции на конусе (по Брисону и Гроссу [1]). $A$ — вторичная ударная волна.

Рис. 8.17. Дифракция на сфере. Кружки соответствуют случаю $M_0=2,85$, крестики — $M_0=4,41$ (по Брисону и Гроссу [1]). $A$ — вторичная ударная волна 1, $B$ — характеристики, $C$ — тройная точка 2.

с экспериментальными данными. На рис. 8.16 проведено сравнение для зависимости угла вторичной ударной волны $\chi$ от угла границы ${\theta }_w$ при $M_0=3,68$.

В случае сферы Брисон и Гросс проделали вычисления для системы (8.101) методом характеристик. Вычисления в окрестности передней критической точки проводились приближенным методом, аналогичным методу, использованному ими для цилиндра. Полученные результаты не так полны, как для цилиндра, но согласование между теорией и эксперпментом, показанное на рис. 8.17, столь же хорошо.