Этот подход первоначально был развит для гораздо более сложного случая нелинейных волновых пакетов и является довольно разносторонним. Полное изложение будет дано после дальнейшего развития рассматриваемых воцросов, но здесь мы можем изложить его в степени, достаточной для того, чтобы завершить предыдущее обсуждение.

Напомним сначала некоторые детали вариационного исчисления. Вариационный принцип
$$\delta J=\delta {\int }_R{\int }_{R}L({\phi }_t,{\phi }_{\mathbf{x}},\phi )dtd\mathbf{x}=0$$

утверждает, что интеграл $J[\phi ]$ по конечной области $R$ должен быть стационарным при малых изменениях функции $\phi$ в следующем смысле. Рассмотрим две близкие функции $\phi (\mathbf{x},t)$ и $\phi (\mathbf{x},t)+$ $+h(\mathbf{x},t)$, где $h$ «мало»; поскольку в выражении (11.71) фигурируют первые производные, обе функции считаются непрерывно дифференцируемыми. Малость функции $h$ в этом контексте измеряется «нормой»
$$\Vert h\Vert =max|h|+max\left|h_t\right|+max\left|h_{x_i}\right|.$$

Функция $L$ обычно довольно проста, и заведомо можно считать, что она имеет ограниченные непрерывные вторые производные. Разложив ее в ряд Тейлора, получим
$$J[\phi +h]-J[\phi ]={\iint }_R\{L_{{\phi }_t}{h}_t+L_{\phi ,j}{h}_{x_j}+L_{\phi }h\}dtd\mathbf{x}+O(\Vert h{\Vert }^2),$$

где символ ${\phi }_{0j}$ означает $\partial \phi /\partial x_j$. Линейное по $h$ выражение называется первой вариацией $\delta J[\phi ,h]$. Вариационный принцип (11.71) требует, чтобы $\delta J[\phi ,h]=0$ для всех допустимых функций $h$. Если ограничиться функциями $h$, обращающимися в нуль на границе области $R$, то после интегрирования по частям (с использованием теоремы о дивергенции) мы получим
$$\delta J[\phi ,h]={\iint }_R\{-\frac{\partial }{\partial t}{L}_{{\phi }_t}-\frac{\partial }{\partial x_j}{L}_{{\phi }_{,j}}+L_{\phi }\}hdtd\mathbf{x}.$$

Потребуем теперь, чтобы выражение (11.73) обращалось в нуль для всех таких $h$. Согласно обычным соображениям непрерывности, отсюда следует, что
$$\frac{\partial }{\partial t}{L}_{{\phi }_t}+\frac{\partial }{\partial x_j}{L}_{\phi ,j}-L_{\phi }=0.$$
(Если выражение (11.74) отлично от нуля, скажем положительно, в какой-либо точке, то найдется малая окрестность, в которой оно оставалось бы положительным; выбрав функцию $h$ положительной в этой области и равной нулю в остальных точках, получим проти- ‘ воречие с требованием обращения в нуль выражения (11.73).)

Эти рассуждения естественным образом обобщаются на случай, когда $L$ содержит производные функции $\phi$ второго или более

высокого порядка. Соответствующее вариационное уравнение ${}^1$ ) имеет вид
$$\begin{array}{rl}{L}_{\phi }-\frac{\partial }{\partial t}{L}_{{\phi }_t}-\frac{\partial }{\partial x_j}{L}_{\phi ,j}& +\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}{L}_{{\phi }_{tt}}+\\ & +\frac{{\partial }^2}{\partial t\partial x_j}{L}_{{\phi }_{t,j}}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_j\partial x_k}{L}_{\phi ,jk}-\dots =0,\end{array}$$

в котором легко узнать результат повторного интегрирования по частям. Уравнения (11.74) и (11.75) являются уравнениями в частных производных для $\phi (\mathbf{x},t)$, причем уравнениям такого вида можно дать эквивалентную вариационную формулировку. Вариационный принцип в случае нескольких функций ${\phi }^{(\alpha )}(\mathbf{x},t)$ приведет к уравнению (11.75) для каждой ${\phi }^{(\alpha )}(\mathbf{x},t)$ (поскольку их можно варьировать независимо) и, следовательно, к системе уравнений. Вопрос о нахождении вариационного принципа для данной системы уравнений может оказаться трудным, но обычно тривиален, когда имеется только одно уравнение. Отметим, что лагранжианы $L$ для примеров (11.6) — (11.8) соответственно равны
$$\begin{array}{l}L=\frac{1}{2}{\phi }_t^2-\frac{1}{2}{\alpha }^2{\phi }_{x_i}^2-\frac{1}{2}{\beta }^2{\phi }^2,\\ L=\frac{1}{2}{\phi }_t^2-\frac{1}{2}{\alpha }^2{\phi }_{x_i}^2+\frac{1}{2}{\beta }^2{\phi }_{t{x}_i}^2,\\ L=\frac{1}{2}{\phi }_t^2-\frac{1}{2}{\gamma }^2{\phi }_{xx}^2,\end{array}$$

а пример (11.9) включается в эту схему подстановкой $\phi ={\psi }_x$ и выбором
$$L=\frac{1}{2}{\psi }_t{\psi }_x+\frac{1}{2}\alpha {\psi }_x^2-\frac{1}{2}\beta {\psi }_{xx}^2.$$

Для изучения медленно меняющихся волновых пакетов, для которых
$$\phi \sim a\cos (\theta +\eta )$$

вычислим теперь лагранжиан $L$ в точности таким же образом, как в предыдущем параграфе вычислялись плотность и поток энергии. Это значит, что в лагранжиан подставляется выражение (11.77), производными от $a,\eta ,\omega ,\mathbf{k}$ пренебрегают как малыми и осуществляется усреднение по периоду. Результат в каждом случае будет функцией $\mathcal{L}(\omega ,\mathbf{k},a)$; в частности, для примеров (11.76) имеем
$$\begin{array}{l}\mathcal{L}=\frac{1}{4}({\omega }^2-{\alpha }^2{k}^2-{\beta }^2)a^2,\\ \mathcal{L}=\frac{1}{4}({\omega }^2-{\alpha }^2{k}^2+{\beta }^2{\omega }^2{k}^2)a^2,\\ \mathcal{L}=\frac{1}{4}({\omega }^2-{\gamma }^2{k}^4)a^2.\end{array}$$
1) Обычно это уравнение называют уравнением Эйлера.- Прим. перев.

Постулируем теперь «усредненный вариационный принцип»
$$\delta \iint \mathcal{L}(-{\theta }_t,{\theta }_{\mathbf{x}},a)dtd\mathbf{x}=0$$

для функций $a(\mathbf{x},t),\theta (\mathbf{x},t)$. Мы поступили аналогичным образом, рассматривая закон сохранения (11.59), но предложенный принцип гораздо менее нагляден и его еще нужно детально изучить. Однако, приняв этот принцип, мы немедленно увидим, что он дает общий и чрезвычайно мощный подход.

Поскольку производные от а отсутствуют, вариационное уравнение (11.75) для вариации функции $a$ сводится к следующему:
$$\delta a:{\mathcal{L}}_a=0.$$

Вариационное уравнение для $\theta$ имеет вид
$$\delta \theta :\frac{\partial }{\partial t}{\mathcal{L}}_{{\theta }_t}+\frac{\partial }{\partial x_j}{\mathcal{L}}_{\theta ,j}=0.$$

В эти выражения входят только производные от $\theta$. Вследствие этого, после того как получены вариационные уравнения, обычно удобно работать снова с $\omega ,\mathbf{k}$ и $a$, взяв за основу систему уравнений
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_a& =0,\\ \frac{\partial }{\partial t}{\mathcal{L}}_{\omega }-\frac{\partial }{\partial x_j}{\mathcal{L}}_{k_j}& =0,\\ \frac{\partial k_i}{\partial t}+\frac{\partial \omega }{\partial x_i}=0,\frac{\partial k_i}{\partial x_j}-\frac{\partial k_j}{\partial x_i}& =0.\end{array}$$

Уравнения (11.82) являются условиями совместности и необходимы для существования фазы $\theta$.

Уравнение (11.80) является функциопальным соотношением между $\omega ,\mathbf{k},a$ и не может быть ничем, кроме дисперсионного соотношения. Для примеров (11.78) легко проверить, что это действительно так. Для любой линейной задачи лагранжиан $L$ является квадратичной функцией от $\phi$ и ее производных, и как следствие $\mathcal{L}$ выглядит так:
$$\mathcal{L}=G(\omega ,\mathbf{k})a^2.$$

Тогда, согласно (11.80), дисперсионное соотношение должно иметь вид
$$G(\omega ,\mathbf{k})=0,$$

и функция $G(\omega ,\mathbf{k})$ в $\mathcal{L}$ есть не что иное, как дисперсионная функция. Не нужно даже вычислять $\mathcal{L}$ в каждом случае!

Это все неожиданные выгоды. Основная цель — найти общий способ вывода амплитудного уравнения, и фактически мы уже включили кинематическую теорию, предложенную в § 11.5 для описания геометрии волнового процесса. Уравнения (11.80) и (11.82) дают в точности такую же теорию.

Заметим, что стационарное значение для $\mathcal{L}$, как мы показали, равно нулю. Для тех простых случаев, когда лагранжиан $L$ равен разности кинетической и потенциальной энергий, это доказывает (с учетом последующего обоснования принципа (11.79)), что их средние значения совпадают. Это хорошо известное равнораспределение энергии для линейных задач.

Переходя теперь к амплитудному уравнению (11.81), замечаем, что его монно записать в виде
$$\frac{\partial }{\partial t}\left(G_{\omega }{a}^2\right)-\frac{\partial }{\partial x_j}\left(G_{k_j}{a}^2\right)=0.$$

В принципе уравнение (11.84) дает нам $\omega =W(\mathbf{k})$, так что равенство
$$G\{W(\mathbf{k}),\mathbf{k}\}=0$$

выполняется тождественно. Следовательно,
$$G_{\omega }\frac{\partial W}{\partial k_j}+G_{k_j}=0,$$

и групповая скорость выражается формулой
$$C_j=\frac{\partial W}{\partial k_j}=-\frac{G_{k_j}}{G_{\omega }}.$$

Обозначим $G_{\omega }^3(W,\mathbf{k})$ через $g(\mathbf{k})$; тогда уравнение (11.85), можно записать так:
$$\frac{\partial }{\partial t}\{g(\mathbf{k})a^2\}+\frac{\partial }{\partial x_j}\{g(\mathbf{k})C_j(\mathbf{k})a^2\}=0.$$

В сину (11.82), имеем
$$\frac{\partial k_i}{\partial t}+C_j\frac{\partial k_i}{\partial x_j}=0,\frac{\partial k_i}{\partial x_j}-\frac{\partial k_j}{\partial x_i}=0.$$

Используя эти соотношения, исключим из уравнения множитель $g(\mathbf{k})$ и получим амплитудное уравнение
$$\frac{\partial a^2}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x_j}\left(C_j{a}^2\right)=0.$$

Таким образом вариационная система (11.80)-(11.82) дает в точности систему уравнений, рассмотренную в последних двух параграфах.

На первый взгляд можно ожидать, что уравнение (11.87) представляет собой усредненное энергетическое уравнение (11.70). Но примеры показывают, что множитель $f(\mathbf{k})$ в $\mathcal{E}$ и множитель $g(\mathbf{k})$ не совнадают. В то же время существует стандартный метод, ассоциирующий с вариационным принципом соответствующее энергетическое уравнение. Теорема Нётер утверждает, что каждой группе преобразований, относительно которой лагранжиан инва-

риантен, соответствует свое уравнение сохранения (см. Гельфанд и Фомин [1], стр. 177). Если лагранжиан инвариантен относительно сдвига по $t$, то соответствующее уравнение всегда является энергетическим уравнением или кратным ему. Поскольку лагранжиан в (11.79) инвариантен относите.тьно сдвига по $t$, это утверждение к нему применимо и соответствующее энергетическое уравнение оказывается таким:
$$\frac{\partial }{\partial t}(\omega {\mathcal{L}}_{\omega }-\mathcal{L})+\frac{\partial }{\partial x_j}(-\omega {\mathcal{L}}_{k_j})=0.$$

В данном случае вместо того, чтобы проследить во всех деталях применение теоремы Нётер, достаточно заметить, что уравнение (11.88) вытекает из системы (11.80) — (11.82). Это и есть энергетическое уравнение. Легко проверить, что оно согласуется с предыдущими примерами.

Для рассматриваемых здесь линейных задач мы обнаружили, что стационарное значение $\mathcal{L}$ равно нулю. Отсюда для плотности энергии $\mathcal{E}$ и вектора потока энергии $\mathcal{F}$ имеем
$$\mathcal{E}=\omega {\mathcal{L}}_{\omega },{\mathcal{F}}_j=-\omega {\mathcal{L}}_{k_j}.$$

Поэтому величина ${\mathcal{L}}_{\omega }$ фактически равна
$${\mathcal{L}}_{\omega }=\frac{\mathcal{E}}{\omega },$$

и уравнение (11.81) или (11.87) можно записать в виде
$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\mathcal{E}}{\omega }\right)+\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{C_j\mathcal{E}}{\omega }\right)=0.$$

Из (11.83) и (11.89) имеем
$$\begin{array}{rl}\mathcal{E}& =\omega G_{\omega }{a}^2,\\ {\mathcal{F}}_j& =-\omega G_{h_j}{a}^2=C_j\mathcal{E},\end{array}$$

что является общим доказательством соотношения между $\mathcal{F}$ и $\mathcal{E}$.
Рассматриваемый общий подход имеет еще одно преимущество. Он привлекает особое внимание к величине (11.90) и к уравнениям (11.81) и (11.91). Величина $\mathcal{E}/\omega$ хорошо известна в классической механике как адиабатический инвариант для медленных модуляций линейной колебательной системы. В дальнейшем мы покажем, что ${\mathcal{L}}_{\omega }$ является аналогичной величиной в нелинейном случае. Таким образом, эти понятия обобщаются на случай волнового движения. Вместо инварианта мы имеем уравнение сохранения (11.81), характеризуемое времениподобной адиабатической величиной ${\mathcal{L}}_{\omega }$ и пространственноподобными величинами $-{\mathcal{L}}_{k_j}$. Это уравнение сохранения получило название закона сохранения «волнового действия».

Существует также уравнение сохранения «волнового импульса», аналогичное уравнению (11.88), где $x_i$ и $t$ поменялись ролями
$$\frac{\partial }{\partial t}\left(k_i{\mathcal{L}}_{\omega }\right)+\frac{\partial }{\partial x_j}(-k_i{\mathcal{L}}_{k_j}+\mathcal{L}{\delta }_{ij})=0.$$

Его легко проверить при помощи системы (11.80)-(11.82). Отметим, что плотность импульса равна
$$k_i{\mathcal{L}}_{\omega }=\frac{k_i}{\omega }\mathcal{E};$$

это вектор, направленный вдоль $\mathbf{k}$ и имеющий длину $\mathcal{E}/c$, где $c$ — фазовая скорость. Мы опять получили общее доказательство знакомого результата, который трудно установить другими методами.
Неоднородная среда
Другое преимущество вариационного подхода состоит в том, что основные уравнения (11.80) — (11.82) остаются неизменными, если среда медленно изменяется с изменением $\mathbf{x}$ и $t$. Это имеет место, например, в том случае, когда параметры $\alpha ,\beta ,\gamma$ в выражениях (11.76) зависят от $\mathbf{x}$ и $t$. Если изменение за один период мало, то усредненный лагранжиан можно получить так же, как и раньше, пренебрегая изменениями параметров $\alpha ,\beta$ и $\gamma$ за один период (и вкладами производных от $\omega ,\mathbf{k},a$ и $\eta$ ). Тогда усредненный вариационный принцип (11.79) предлагается в прежнем виде с единственным исключением: теперь $\mathcal{L}$ зависит от $\mathbf{x}$ и $t$ явно, а не только через функции $a(\mathbf{x},t)$ и $\theta (\mathbf{x},t)$. Однако вариационные уравнения остаются без изменения; следует только быть внимательным и учитывать дополнительные производные, возникающие при преобразованиях уравнений. В частности, энергетическое уравненне, как легко проверить, принимает вид
$$\frac{\partial }{\partial t}(\omega {\mathcal{L}}_{\omega }-\mathcal{L})+\frac{\partial }{\partial x_j}(-\omega {\mathcal{L}}_{k_j})=-{\mathcal{L}}_t.$$

Аналогичным образом в правой части уравнения (11.92) для импульса добавляется член ${\mathcal{L}}_{x_i}$. Если параметры среды зависят от $t$, то энергия уже не сохраняется. Если они зависят от $\mathbf{x}$, то импульс уже не сохраняется. Заметим, однако, что волновое действие сохраняется во всех случаях. Это снова указывает на преимущество уравнения (11.81) над энергетическим уравнением в теории модуляций.
Нелинейные волновые пакеты
Отметим в заключение, что в вариационном подходе требуются лишь очень незначительные изменения при изучении модуляций нелинейных волновых пакетов. Основные вопросы связаны с видом функционального выражения, заменяющего (11.77), с деталями

усреднения для нахождения функции $\mathcal{L}$ и в общем случае с появлением в полном описании других общих величин, аналогичных $\omega ,\mathbf{k}$ и $a$. В простейтих случаях, однако, последние не появляются и, как только функция $\mathcal{L}(\omega ,\mathbf{k},a)$ найдена, система (11.80)-(11.82) остается применимой. Основное существенное отличие состоит в том, что функция $\mathcal{L}$ уже не пропорциональна $a^2$ и уравнения (11.80) и (11.82) неотделимы от (11.81). Этим вопросам и тщательному обоснованию изложенной выше теории будет посвящена гл. 14.