Этот подход первоначально был развит для гораздо более сложного случая нелинейных волновых пакетов и является довольно разносторонним. Полное изложение будет дано после дальнейшего развития рассматриваемых воцросов, но здесь мы можем изложить его в степени, достаточной для того, чтобы завершить предыдущее обсуждение.

Напомним сначала некоторые детали вариационного исчисления. Вариационный принцип
\[
\delta J=\delta \int_{R} \int_{R} L\left(\varphi_{t}, \varphi_{\mathbf{x}}, \varphi\right) d t d \mathbf{x}=0
\]

утверждает, что интеграл $J[\varphi]$ по конечной области $R$ должен быть стационарным при малых изменениях функции $\varphi$ в следующем смысле. Рассмотрим две близкие функции $\varphi(\mathbf{x}, t)$ и $\varphi(\mathbf{x}, t)+$ $+h(\mathbf{x}, t)$, где $h$ «мало»; поскольку в выражении (11.71) фигурируют первые производные, обе функции считаются непрерывно дифференцируемыми. Малость функции $h$ в этом контексте измеряется «нормой»
\[
\|h\|=\max |h|+\max \left|h_{t}\right|+\max \left|h_{x_{i}}\right| .
\]

Функция $L$ обычно довольно проста, и заведомо можно считать, что она имеет ограниченные непрерывные вторые производные. Разложив ее в ряд Тейлора, получим
\[
J[\varphi+h]-J[\varphi]=\iint_{R}\left\{L_{\varphi_{t}} h_{t}+L_{\varphi, j} h_{x_{j}}+L_{\varphi} h\right\} d t d \mathbf{x}+O\left(\|h\|^{2}\right),
\]

где символ $\varphi_{0 j}$ означает $\partial \varphi / \partial x_{j}$. Линейное по $h$ выражение называется первой вариацией $\delta J[\varphi, h]$. Вариационный принцип (11.71) требует, чтобы $\delta J[\varphi, h]=0$ для всех допустимых функций $h$. Если ограничиться функциями $h$, обращающимися в нуль на границе области $R$, то после интегрирования по частям (с использованием теоремы о дивергенции) мы получим
\[
\delta J[\varphi, h]=\iint_{R}\left\{-\frac{\partial}{\partial t} L_{\varphi_{t}}-\frac{\partial}{\partial x_{j}} L_{\varphi_{, j}}+L_{\varphi}\right\} h d t d \mathbf{x} .
\]

Потребуем теперь, чтобы выражение (11.73) обращалось в нуль для всех таких $h$. Согласно обычным соображениям непрерывности, отсюда следует, что
\[
\frac{\partial}{\partial t} L_{\varphi_{t}}+\frac{\partial}{\partial x_{j}} L_{\varphi, j}-L_{\varphi}=0 .
\]
(Если выражение (11.74) отлично от нуля, скажем положительно, в какой-либо точке, то найдется малая окрестность, в которой оно оставалось бы положительным; выбрав функцию $h$ положительной в этой области и равной нулю в остальных точках, получим проти- ‘ воречие с требованием обращения в нуль выражения (11.73).)

Эти рассуждения естественным образом обобщаются на случай, когда $L$ содержит производные функции $\varphi$ второго или более

высокого порядка. Соответствующее вариационное уравнение ${ }^{1}$ ) имеет вид
\[
\begin{aligned}
L_{\varphi}-\frac{\partial}{\partial t} L_{\varphi_{t}}-\frac{\partial}{\partial x_{j}} L_{\varphi, j} & +\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} L_{\varphi_{t t}}+ \\
& +\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial x_{j}} L_{\varphi_{t, j}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{j} \partial x_{k}} L_{\varphi, j k}-\ldots=0,
\end{aligned}
\]

в котором легко узнать результат повторного интегрирования по частям. Уравнения (11.74) и (11.75) являются уравнениями в частных производных для $\varphi(\mathbf{x}, t)$, причем уравнениям такого вида можно дать эквивалентную вариационную формулировку. Вариационный принцип в случае нескольких функций $\varphi^{(\alpha)}(\mathbf{x}, t)$ приведет к уравнению (11.75) для каждой $\varphi^{(\alpha)}(\mathbf{x}, t)$ (поскольку их можно варьировать независимо) и, следовательно, к системе уравнений. Вопрос о нахождении вариационного принципа для данной системы уравнений может оказаться трудным, но обычно тривиален, когда имеется только одно уравнение. Отметим, что лагранжианы $L$ для примеров (11.6) – (11.8) соответственно равны
\[
\begin{array}{l}
L=\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}-\frac{1}{2} \alpha^{2} \varphi_{x_{i}}^{2}-\frac{1}{2} \beta^{2} \varphi^{2}, \\
L=\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}-\frac{1}{2} \alpha^{2} \varphi_{x_{i}}^{2}+\frac{1}{2} \beta^{2} \varphi_{t x_{i}}^{2}, \\
L=\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}-\frac{1}{2} \gamma^{2} \varphi_{x x}^{2},
\end{array}
\]

а пример (11.9) включается в эту схему подстановкой $\varphi=\psi_{x}$ и выбором
\[
L=\frac{1}{2} \psi_{t} \psi_{x}+\frac{1}{2} \alpha \psi_{x}^{2}-\frac{1}{2} \beta \psi_{x x}^{2} .
\]

Для изучения медленно меняющихся волновых пакетов, для которых
\[
\varphi \sim a \cos (\theta+\eta)
\]

вычислим теперь лагранжиан $L$ в точности таким же образом, как в предыдущем параграфе вычислялись плотность и поток энергии. Это значит, что в лагранжиан подставляется выражение (11.77), производными от $a, \eta, \omega, \mathbf{k}$ пренебрегают как малыми и осуществляется усреднение по периоду. Результат в каждом случае будет функцией $\mathscr{L}(\omega, \mathbf{k}, a)$; в частности, для примеров (11.76) имеем
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left(\omega^{2}-\alpha^{2} k^{2}-\beta^{2}\right) a^{2}, \\
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left(\omega^{2}-\alpha^{2} k^{2}+\beta^{2} \omega^{2} k^{2}\right) a^{2}, \\
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left(\omega^{2}-\gamma^{2} k^{4}\right) a^{2} .
\end{array}
\]
1) Обычно это уравнение называют уравнением Эйлера.- Прим. перев.

Постулируем теперь «усредненный вариационный принцип»
\[
\delta \iint \mathscr{L}\left(-\theta_{t}, \theta_{\mathbf{x}}, a\right) d t d \mathbf{x}=0
\]

для функций $a(\mathbf{x}, t), \theta(\mathbf{x}, t)$. Мы поступили аналогичным образом, рассматривая закон сохранения (11.59), но предложенный принцип гораздо менее нагляден и его еще нужно детально изучить. Однако, приняв этот принцип, мы немедленно увидим, что он дает общий и чрезвычайно мощный подход.

Поскольку производные от а отсутствуют, вариационное уравнение (11.75) для вариации функции $a$ сводится к следующему:
\[
\delta a: \mathscr{L}_{a}=0 .
\]

Вариационное уравнение для $\theta$ имеет вид
\[
\delta \theta: \quad \frac{\partial}{\partial t} \mathscr{L}_{\theta_{t}}+\frac{\partial}{\partial x_{j}} \mathscr{L}_{\theta, j}=0 .
\]

В эти выражения входят только производные от $\theta$. Вследствие этого, после того как получены вариационные уравнения, обычно удобно работать снова с $\omega, \mathbf{k}$ и $a$, взяв за основу систему уравнений
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{a} & =0, \\
\frac{\partial}{\partial t} \mathscr{L}_{\omega}-\frac{\partial}{\partial x_{j}} \mathscr{L}_{k_{j}} & =0, \\
\frac{\partial k_{i}}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x_{i}}=0, \quad \frac{\partial k_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial k_{j}}{\partial x_{i}} & =0 .
\end{aligned}
\]

Уравнения (11.82) являются условиями совместности и необходимы для существования фазы $\theta$.

Уравнение (11.80) является функциопальным соотношением между $\omega, \mathbf{k}, a$ и не может быть ничем, кроме дисперсионного соотношения. Для примеров (11.78) легко проверить, что это действительно так. Для любой линейной задачи лагранжиан $L$ является квадратичной функцией от $\varphi$ и ее производных, и как следствие $\mathscr{L}$ выглядит так:
\[
\mathscr{L}=G(\omega, \mathbf{k}) a^{2} .
\]

Тогда, согласно (11.80), дисперсионное соотношение должно иметь вид
\[
G(\omega, \mathbf{k})=0,
\]

и функция $G(\omega, \mathbf{k})$ в $\mathscr{L}$ есть не что иное, как дисперсионная функция. Не нужно даже вычислять $\mathscr{L}$ в каждом случае!

Это все неожиданные выгоды. Основная цель – найти общий способ вывода амплитудного уравнения, и фактически мы уже включили кинематическую теорию, предложенную в § 11.5 для описания геометрии волнового процесса. Уравнения (11.80) и (11.82) дают в точности такую же теорию.

Заметим, что стационарное значение для $\mathscr{L}$, как мы показали, равно нулю. Для тех простых случаев, когда лагранжиан $L$ равен разности кинетической и потенциальной энергий, это доказывает (с учетом последующего обоснования принципа (11.79)), что их средние значения совпадают. Это хорошо известное равнораспределение энергии для линейных задач.

Переходя теперь к амплитудному уравнению (11.81), замечаем, что его монно записать в виде
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(G_{\omega} a^{2}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(G_{k_{j}} a^{2}\right)=0 .
\]

В принципе уравнение (11.84) дает нам $\omega=W(\mathbf{k})$, так что равенство
\[
G\{W(\mathbf{k}), \mathbf{k}\}=0
\]

выполняется тождественно. Следовательно,
\[
G_{\omega} \frac{\partial W}{\partial k_{j}}+G_{k_{j}}=0,
\]

и групповая скорость выражается формулой
\[
C_{j}=\frac{\partial W}{\partial k_{j}}=-\frac{G_{k_{j}}}{G_{\omega}} .
\]

Обозначим $G_{\omega}^{3}(W, \mathbf{k})$ через $g(\mathbf{k})$; тогда уравнение (11.85), можно записать так:
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left\{g(\mathbf{k}) a^{2}\right\}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{g(\mathbf{k}) C_{j}(\mathbf{k}) a^{2}\right\}=0 .
\]

В сину (11.82), имеем
\[
\frac{\partial k_{i}}{\partial t}+C_{j} \frac{\partial k_{i}}{\partial x_{j}}=0, \quad \frac{\partial k_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial k_{j}}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Используя эти соотношения, исключим из уравнения множитель $g(\mathbf{k})$ и получим амплитудное уравнение
\[
\frac{\partial a^{2}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(C_{j} a^{2}\right)=0 .
\]

Таким образом вариационная система (11.80)-(11.82) дает в точности систему уравнений, рассмотренную в последних двух параграфах.

На первый взгляд можно ожидать, что уравнение (11.87) представляет собой усредненное энергетическое уравнение (11.70). Но примеры показывают, что множитель $f(\mathbf{k})$ в $\mathscr{E}$ и множитель $g(\mathbf{k})$ не совнадают. В то же время существует стандартный метод, ассоциирующий с вариационным принципом соответствующее энергетическое уравнение. Теорема Нётер утверждает, что каждой группе преобразований, относительно которой лагранжиан инва-

риантен, соответствует свое уравнение сохранения (см. Гельфанд и Фомин [1], стр. 177). Если лагранжиан инвариантен относительно сдвига по $t$, то соответствующее уравнение всегда является энергетическим уравнением или кратным ему. Поскольку лагранжиан в (11.79) инвариантен относите.тьно сдвига по $t$, это утверждение к нему применимо и соответствующее энергетическое уравнение оказывается таким:
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\omega \mathscr{L}_{\omega}-\mathscr{L}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(-\omega \mathscr{L}_{k_{j}}\right)=0 .
\]

В данном случае вместо того, чтобы проследить во всех деталях применение теоремы Нётер, достаточно заметить, что уравнение (11.88) вытекает из системы (11.80) – (11.82). Это и есть энергетическое уравнение. Легко проверить, что оно согласуется с предыдущими примерами.

Для рассматриваемых здесь линейных задач мы обнаружили, что стационарное значение $\mathscr{L}$ равно нулю. Отсюда для плотности энергии $\mathscr{E}$ и вектора потока энергии $\mathscr{F}$ имеем
\[
\mathscr{E}=\omega \mathscr{L}_{\omega}, \quad \mathscr{F}_{j}=-\omega \mathscr{L}_{k_{j}} .
\]

Поэтому величина $\mathscr{L}_{\omega}$ фактически равна
\[
\mathscr{L}_{\omega}=\frac{\mathscr{E}}{\omega},
\]

и уравнение (11.81) или (11.87) можно записать в виде
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\mathscr{E}}{\omega}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{C_{j} \mathscr{E}}{\omega}\right)=0 .
\]

Из (11.83) и (11.89) имеем
\[
\begin{aligned}
\mathscr{E} & =\omega G_{\omega} a^{2}, \\
\mathscr{F}_{j} & =-\omega G_{h_{j}} a^{2}=C_{j} \mathscr{E},
\end{aligned}
\]

что является общим доказательством соотношения между $\mathscr{F}$ и $\mathscr{E}$.
Рассматриваемый общий подход имеет еще одно преимущество. Он привлекает особое внимание к величине (11.90) и к уравнениям (11.81) и (11.91). Величина $\mathscr{E} / \omega$ хорошо известна в классической механике как адиабатический инвариант для медленных модуляций линейной колебательной системы. В дальнейшем мы покажем, что $\mathscr{L}_{\omega}$ является аналогичной величиной в нелинейном случае. Таким образом, эти понятия обобщаются на случай волнового движения. Вместо инварианта мы имеем уравнение сохранения (11.81), характеризуемое времениподобной адиабатической величиной $\mathscr{L}_{\omega}$ и пространственноподобными величинами $-\mathscr{L}_{k_{j}}$. Это уравнение сохранения получило название закона сохранения «волнового действия».

Существует также уравнение сохранения «волнового импульса», аналогичное уравнению (11.88), где $x_{i}$ и $t$ поменялись ролями
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(k_{i} \mathscr{L}_{\omega}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(-k_{i} \mathscr{L}_{k_{j}}+\mathscr{L} \delta_{i j}\right)=0 .
\]

Его легко проверить при помощи системы (11.80)-(11.82). Отметим, что плотность импульса равна
\[
k_{i} \mathscr{L}_{\omega}=\frac{k_{i}}{\omega} \mathscr{E} ;
\]

это вектор, направленный вдоль $\mathbf{k}$ и имеющий длину $\mathscr{E} / c$, где $c$ – фазовая скорость. Мы опять получили общее доказательство знакомого результата, который трудно установить другими методами.
Неоднородная среда
Другое преимущество вариационного подхода состоит в том, что основные уравнения (11.80) – (11.82) остаются неизменными, если среда медленно изменяется с изменением $\mathbf{x}$ и $t$. Это имеет место, например, в том случае, когда параметры $\alpha, \beta, \gamma$ в выражениях (11.76) зависят от $\mathbf{x}$ и $t$. Если изменение за один период мало, то усредненный лагранжиан можно получить так же, как и раньше, пренебрегая изменениями параметров $\alpha, \beta$ и $\gamma$ за один период (и вкладами производных от $\omega, \mathbf{k}, a$ и $\eta$ ). Тогда усредненный вариационный принцип (11.79) предлагается в прежнем виде с единственным исключением: теперь $\mathscr{L}$ зависит от $\mathbf{x}$ и $t$ явно, а не только через функции $a(\mathbf{x}, t)$ и $\theta(\mathbf{x}, t)$. Однако вариационные уравнения остаются без изменения; следует только быть внимательным и учитывать дополнительные производные, возникающие при преобразованиях уравнений. В частности, энергетическое уравненне, как легко проверить, принимает вид
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\omega \mathscr{L}_{\omega}-\mathscr{L}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(-\omega \mathscr{L}_{k_{j}}\right)=-\mathscr{L}_{t} .
\]

Аналогичным образом в правой части уравнения (11.92) для импульса добавляется член $\mathscr{L}_{x_{i}}$. Если параметры среды зависят от $t$, то энергия уже не сохраняется. Если они зависят от $\mathbf{x}$, то импульс уже не сохраняется. Заметим, однако, что волновое действие сохраняется во всех случаях. Это снова указывает на преимущество уравнения (11.81) над энергетическим уравнением в теории модуляций.
Нелинейные волновые пакеты
Отметим в заключение, что в вариационном подходе требуются лишь очень незначительные изменения при изучении модуляций нелинейных волновых пакетов. Основные вопросы связаны с видом функционального выражения, заменяющего (11.77), с деталями

усреднения для нахождения функции $\mathscr{L}$ и в общем случае с появлением в полном описании других общих величин, аналогичных $\omega, \mathbf{k}$ и $a$. В простейтих случаях, однако, последние не появляются и, как только функция $\mathscr{L}(\omega, \mathbf{k}, a)$ найдена, система (11.80)-(11.82) остается применимой. Основное существенное отличие состоит в том, что функция $\mathscr{L}$ уже не пропорциональна $a^{2}$ и уравнения (11.80) и (11.82) неотделимы от (11.81). Этим вопросам и тщательному обоснованию изложенной выше теории будет посвящена гл. 14.