Уравнение берется в нормированном виде
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+\sin \varphi=0,
\]

и для решений со стационарным профилем $\varphi=\Phi(X), X=x-$ – Ut получаем, что
\[
\frac{1}{2}\left(U^{2}-1\right) \Phi_{X}^{2}+2 \sin ^{2} \frac{1}{2} \Phi=A,
\]

где $A$ – постоянная интегрирования, связанная с амплитудой. Можно выделить следующие случаи.
1. $0<A<2, \quad U^{2}-1>0$. Это периодические решения, в которых $\Phi$ осциллирует около $\Phi=0$ в интервале $-\Phi_{0}<\Phi<$ $<\Phi_{0}$, где
\[
\Phi_{0}=2 \arcsin \left(\frac{A}{2}\right)^{1 / 2} .
\]
2. $0<A<2$, $U^{2}-1<0$. Это периодические решения, в которых Ф осциллирует около $Ф=\pi$ в интервале
\[
\pi-\Phi_{0}<\Phi<\pi+\Phi_{0} .
\]
3. $A<0, U^{2}-1<0$. Это спиральные волиы с
\[
\Phi_{x}= \pm\left\{\frac{2}{1-U^{2}}\left(|A|+2 \sin ^{2} \frac{1}{2} \Phi\right)\right\}^{1 / 2} ;
\]

Ф монотонно возрастает или убывает.
4. $A>2, U^{2}-1>0$. Это также спиральные волны с
\[
\Phi_{X}= \pm\left\{\frac{2}{U^{2}-1}\left(A-2 \sin ^{2} \frac{1}{2} \Phi\right)\right\}^{1 / 2} .
\]
5. Предельный случай $A=0, U^{2}-1<0$. Решения имеют вид
\[
-\operatorname{tg}\left(\frac{\Phi}{4}\right)= \pm \exp \left\{ \pm\left(1-U^{2}\right)^{-1 / 2}\left(X-X_{0}\right)\right\} .
\]

Они описывают одиночные петли величиной в $2 \pi$. Когда в обоих случаях взят знак плюс, получается положительная петля с $\Phi=$ $=0$ при $x=-\infty$ и $\Phi=2 \pi$ при $x=+\infty$; когда в обоих случаях взят знак минус, по-прежнему получается положительная петля, но с $\Phi=-2 \pi$ при $x=-\infty$ и $\Phi=0$ при $x=+\infty$. Противоположные знаки дают отрицательные петли.
6. Предельный случай $A=2, U^{2}-1>0$. Решение имеет вид
\[
\operatorname{tg}\left(\frac{\Phi+\pi}{4}\right)=\exp \left\{ \pm\left(U^{2}-1\right)^{-1 / 2}\left(X-X_{0}\right)\right\}
\]

и описывает петлю, заключенную между $\Phi=-\pi$ и $\Phi=\pi$.
Соображения устойчивости из § 14.2 и 15.3 показывают, что периодические волны, описанные выше в случае 1 , неустойчивы по отношению к модуляциям. Эти соображения можно обобщить на другие типы решений и показать, что случаи 1 и 2 неустойчивы, тогда как спиральные волны 3 и 4 устойчивы.

Следует помнить, что эти соображения устойчивости применимы только к относительно длительным модуляциям. Они не позволяют полностью судить об устойчивости, а также не применимы к предельным случаям 5 и 6 . Следует ожидать, что случай 6 неустойчив, поскольку $\Phi= \pm \pi$ на бесконечности. Например, в маятниковой модели Скотта это соответствует маятнику в верхнем вертикальном положении. Обратимся теперь к уединенным волнам (случай 5).