Подробное обсуждение гиперболических волн мы начнем с изучения уравнений первого порядка. Как уже было указано в гл. 1, простейнее волновое уравнение имеет вид
\[
\rho_{t}+c_{0} \rho_{x}=0, \quad c_{0}=\text { const. }
\]

Когда выводится это уравнение, зависимая переменная обычно оказывается плотностью чего-либо, поэтому вместо общего символа $\varphi$, принятого во введении, мы используем здесь символ $\rho$. Общее решение уравнения (2.1) имеет вид $\rho=f\left(x-c_{0} t\right)$, где $f(x)$ – произвольная функция, так что решение каждой конкретной задачи состоит в выборе функции $f$, удовлетворяющей заданным начальным или граничным условиям. Оно, очевидно, ошисывает волновое движение, поскольку исходный профиль $f(x)$ за время $t$ передвинется без изменения формы вправо на расстояние $c_{0} t$. В двух точках, находящихся на расстоянии $s$ друг от друга, одинаковое возмущение будет зарегистрировано с задержкой по времени, равной $s / c_{0}$.

Хотя этот линейный случай почти тривиален, его нелинейный аналог
\[
\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}=0,
\]

где $c(\rho)$ – заданная функция аргумента $\rho$, несомненно, не таков и его изучение приводит к большинству основных идей нелинейных гиперболических волн. Как указывалось выше, многие классические волновые процессы описываются уравнениями второго или более высокого порядка, такими, как волновое уравнение $c_{0}^{2}
abla^{2} \varphi=\varphi_{t t}$, хотя удивительно больпое число физических задач приводит непосредственно к уравнению (2.2) или его обобщениям. Примеры будут приведены после предварительного обсуждения свойств решения. Даже в задачах более высокого порядка часто ищут частные репения или приближения, связанные с уравнением $(2.2)$.