Посмотрим теперь, как в теорию мелкой воды можно включить дисперсионные эффекты. Это можно сделать, продолжив формальное разложение по малому параметру $\left(h_{0} / l\right)^{2}$ и учтя члены следующего порядка по сравнению с теорией мелкой воды. Однако, прежде чем проделать это, для лучшего понимания общей ситуации полезно применить более простую интуитивную процедуру. Рассмотрим случай одномерных волн при постоянной глубине $h_{0}$. Линеаризованный вариант искомых уравнений должен дать дисперсионное соотношение (13.25) в следующем после (13.73) приближении:
\[
\omega^{2}=c_{0}^{2} x^{2}-\frac{1}{3} c_{0}^{2} h_{0}^{2} x^{4} .
\]

Уравнение для $\eta$ с таким дисперсионным соотношением имеет вид
\[
\eta_{t t}-c_{0}^{2} \eta_{x x}-\frac{1}{3} c_{0}^{2} h_{0}^{2} \eta_{x x x x}=0 .
\]

Уравнения мелкой воды (13.79) после линеаризации дают (13.74). Если к уравнениям (13.79) мы смогли бы добавить дополнительный линейный член так, чтобы их линейный вариант давал уравнение (13.90), то получили бы систему, включающую как нелинейные эффекты относительного порядка $a / h_{0}$ (где $a$ – характерная амплитуда), так и дисперсионные эффекты относительного порядка $h_{0}^{2} / l^{2}$. Это легко сделать, причем существуют различные формы, которые в желаемом приближении эквивалентны. Если мы предпочтем добавить член $v h_{x x x}$ во второе из уравнений (13.79), то линеаризованные уравнения дадут
\[
\begin{aligned}
\eta_{t}+h_{0} u_{x} & =0, \\
u_{t}+g \eta_{x}+v \eta_{x x_{x}} & =0,
\end{aligned}
\]

и, исключая $u$, получаем
\[
\eta_{t t}-c_{0}^{2} \eta_{x x}-v h_{0} \eta_{x x x x}=0 .
\]

Следовательно, выбор $v=1 / 3 c_{0}^{2} h_{0}$ согласуется с (13.90). Таким образом, утверждение заключается в том, что система
\[
\begin{aligned}
h_{t}+(u h)_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+g h_{x}+\frac{1}{3} c_{0}^{2} h_{0} h_{x x x} & =0,
\end{aligned}
\]

как и требуется, сводится к (13.90) в пределе при $a / h_{0} \rightarrow 0$ и к (13.79) в пределе при $h_{0}^{2} / l^{2} \rightarrow 0$ и, следовательно, объединяет поправки первого порядка к (13.74) как по $a / h_{0}$, так и по $h_{0}^{2} / l^{2}$.

В поправочный член всегда можно подставить низшее приближение (13.74). Поэтому эквивалентная в рассматриваемом порядке система имеет вид
\[
\begin{aligned}
h_{t}+(u h)_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+g h_{x}+\frac{1}{3} h_{0} h_{x t t} & =0 .
\end{aligned}
\]

Такую систему избрал Буссинеск, впервые получивший эти уравнения. Линеаризованный вариант системы (13.92) приводит к уравнению
\[
\eta_{t t}-c_{0}^{2} \eta_{x x}-\frac{1}{3} h_{0}^{2} \eta_{x x t t}=0
\]

и дисперсионному соотношению
\[
\omega^{2}=\frac{c_{0}^{2} x^{2}}{1+1 / 3 x^{2} h_{0}^{2}} .
\]

Первые два члена разложения этого дисперсионного соотношения по малым $\left(x h_{0}\right)^{2}$ согласуются с (13.89), и, следовательно, две рассматриваемые системы әквивалентны в этом приближении. Однако, если уравнения использовать в случае, когда $h_{0}^{2} / l^{2}$ не мало, то система (13.92) предпочтительнее системы (13.91). Согласно (13.89), малые возмущения с $\left(x h_{0}\right)^{2}>3$ действительно будут усиливаться, поскольку $\omega$ становится мнимой, тогда как (13.93) сохраняет вещественную частоту $\omega$, хотя в рассматриваемой области эти рассуждения и некорректны. При численных расчетах различные эффекты перехода к конечным разностям и округления вводят малые осцилляции малой длины волны даже в том случае, когда решаемая аналитическая задача удовлетворяет условию $h_{0}^{2} / l^{2} \ll 1$, и поэтому система (13.92) предпочтительнее.

Уравнения Буссинеска включают волны, движущиеся как влево, так и вправо. Повторяя те же рассуждения и ограничиваясь только волнами, движущимися вправо, получим уравнение Кортевега – де Фриза. Для волн, движущихся вправо, первые два

члена дисперсионного соотношения дают
\[
\omega=c_{0} x-\gamma x^{3}, \quad \gamma=\frac{1}{6} c_{0} h_{0}^{2},
\]

и соответствуют уравнению
\[
\eta_{t}+c_{0} \eta_{x}+\gamma \eta_{x x x}=0
\]

Для нелинейных уравнений мелкой воды (13.79) волны, движущиеся вправо в невозмущенную воду глубины $h_{0}$, имеют инвариант Римана
\[
u=2 \sqrt{g\left(h_{0}+\eta\right)}-2 \sqrt{g h_{0}},
\]

подстановка которого в любое из уравнений (13.79) дает
\[
\eta_{t}+\left\{3 \sqrt{g\left(h_{0}+\eta\right)}-2 \sqrt{g h_{0}}\right\} \eta_{x}=0 .
\]

Объединяя уравнения (13.95) и (13.97), имеем
\[
\eta_{t}+\left\{3 \sqrt{g\left(h_{0}+\eta\right)}-2 \sqrt{g h_{0}}\right\} \eta_{x}+\gamma \eta_{x x x}=0 .
\]

Если нелинейные члены аппроксимировать с точностью до членов второго порядка по $a / h_{0}$, то получим
\[
\eta_{t}+c_{0}\left(1+\frac{3}{2} \frac{\eta}{h_{0}}\right) \eta_{x}+\gamma \eta_{x x x}=0 .
\]

Это уравнение Кортевега – де Фриза. Нет оснований полагать, что предпочтительнее сохранять уравнение (13.98), поскольку другие члены, например пропорциональные произведению $a / h_{0}$ на $h_{0}^{2} / l^{2}$, могут оказаться важными в той же степени, что и нелинейные члены порядка $a^{2} / h_{0}^{2}$. Опять в дисперсионном поправочном члене можно положить $\eta_{t} \simeq-c_{0} \eta_{x}$ и взять
\[
\eta_{t}+c_{0}\left(1+\frac{3}{2} \frac{\eta}{h_{0}}\right) \eta_{x}-\frac{\gamma}{c_{0}} \eta_{x x t}=0 .
\]

Тогда линеаризованному уравнению соответствует дисперсионное соотношение
\[
\omega=\frac{c_{0} x}{1+\gamma x^{2} / c_{0}} .
\]

При малых $x$ это согласуется с (13.94) и в отличие от (13.94) имеет ограниченные фазовую и групповую скорости, если $x$ становится большим. Поскольку $\omega$ остается вещественной в обоих случаях, потребность в модификации менее настоятельна, чем в случае уравнения Буссинеска, но тем не менее желательна по тем же причинам (Бенджамен и др. [1]). Однако для уравнения (13.99) было найдено много восхитительных точных аналитических решений, и в общем случае его можно свести к линейному интегральному уравнению; в настоящее время эти его свойства доминируют над всеми остальными.

Предыдущие выводы обладают большой гибкостью, и такой подход естественным образом допускает различные альтернативы, рассмотренные нами. Становится также ясным, что данные уравнения применимы ко многим задачам о диспергирующих волнах, совершенно не связанных с волнами на воде. Любое дисперсионное соотношение с нечетной функцией $\omega(x)$ с точностью до двух первых членов можно представить в виде (13.89) или (13.94), а тогда уравнения (13.90) и (13.95) будут описывать линеаризованную теорию. После этого остается лишь обсудить вид нелинейных членов, и члены в (13.91) или (13.99) довольно типичны. Например, именно так получаются эти уравнения в физике плазмы.

Формальное разложение по малому параметру имеет свои преимущества и позволяет надеяться найти оценки остаточных членов. Если расстояние от горизонтального дна временно обозначить через $Y$, то будет нужно решить уравнение Лапласа
\[
\varphi_{x x}+\varphi_{Y Y}=0
\]

с $\varphi_{\mathbf{Y}}=0$ при $Y=0$. Теория мелкой воды с производной $\varphi_{x}$, приближенно не зависящей от $Y$, и малой полной глубиной предлагает разложение
\[
\varphi=\sum_{0}^{\infty} Y^{n} f_{n}(x, t) .
\]

Подставив это разложение в уравнение Лапласа и в граничное условие при $Y=0$, получим, что
\[
\varphi=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{m} \frac{Y^{2 m}}{(2 m) !} \frac{\partial^{2 m} f}{\partial x^{2 m}},
\]

где $f=f_{0}$. Последний шаг состоит в подстановке этого разложения в граничные условия на свободной поверхности. Поскольку они нелинейные и применяются при $Y=h_{0}+\eta$, дальнейшие выкладки оказываются довольно запутанными, и в разложениях члены следует упорядочивать по двум параметрам: $\alpha=a / h_{0}$ и $\beta=$ $=h_{0}^{2} / l^{2}$. Лучше всего нормировать переменные с самого начала, считая исходные переменные равными
\[
\begin{array}{ll}
x^{\prime}=l x, \quad Y^{\prime}=h_{0} Y, \quad t^{\prime}=\frac{l t}{c_{0}}, \\
\eta^{\prime}=a \eta, \quad \varphi^{\prime}=\frac{g l a \varphi}{c_{0}} .
\end{array}
\]

Различные растяжения по $Y$ и $x$ являются решающим шагом. В нормированных переменных задача формулируется следующим

образом:
\[
\left.\begin{array}{rlrl}
\beta \varphi_{x x}+\varphi_{Y Y} & =0, & 0<Y<1+\alpha \eta, \\
\varphi_{Y} & =0, \quad Y=0, \\
\eta_{t}+\alpha \varphi_{x} \eta_{x}-\frac{1}{\beta} \varphi_{Y} & =0, \\
\eta+\varphi_{t}+\frac{1}{2} \alpha \varphi_{x}^{2}+\frac{1}{2} \frac{\alpha}{\beta} \varphi_{Y}^{2} & =0
\end{array}\right\} \quad \begin{array}{l}
Y=1+\alpha \eta .
\end{array}
\]

Ряд для функции $\varphi$ теперь является разложением по степеням $\beta$, но из уравнения Лапласа и условия $\varphi_{Y}=0$ при $Y=0$ снова следует, что
\[
\varphi=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{m} \frac{Y^{2 m}}{(2 m) !} \frac{\partial^{2 m} f}{\partial x^{2 m}} \beta^{m} .
\]

Подставляя это выражение в условия на свободной поверхности, находим
\[
\begin{array}{c}
\eta_{t}+\left\{(1+\alpha \eta) f_{x}\right\}_{x}-\left\{\frac{1}{6}(1+\alpha \eta)^{3} f_{x x x x}+\frac{1}{2} \alpha(1+\alpha \eta)^{2} \eta_{x} f_{x x x}\right\} \beta+ \\
+O\left(\beta^{2}\right)=0, \\
\eta+f_{t}+\frac{1}{2} \alpha f_{x}^{2}-\frac{1}{2}(1+\alpha \eta)^{2}\left\{f_{x x t}+\alpha f_{x} f_{x x x}-\alpha f_{x x}^{2}\right\} \beta+O\left(\beta^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Если опустить все члены с $\beta$ и продифференцировать второе уравнение по $x$, то получатся нелинейные уравнения мелкой воды
\[
\begin{aligned}
\eta_{t}+\{(1+\alpha \eta) w\}_{x} & =0, \\
w_{t}+\alpha w w_{x}+\eta_{x} & =0, \quad w=f_{x} .
\end{aligned}
\]

Если сохранить члены первой степени по $\beta$, но для упрощения опустить члены порядка $O(\alpha \beta)$, то получим
\[
\begin{aligned}
\eta_{t}+\{(1+\alpha \eta) w\}_{x}-\frac{1}{6} \beta w_{x x x}+O\left(\alpha \beta, \beta^{2}\right) & =0, \\
w_{t}+\alpha w w_{x}+\eta_{x}-\frac{1}{2} \beta w_{x x t}+O\left(\alpha \beta, \beta^{2}\right) & =0, \quad w=f_{x} .
\end{aligned}
\]

Это вариант уравнений Буссинеска. Величина $w$ является первым членом разложения скорости $\varphi_{x}$, имеющего вид
\[
\varphi_{x}=w-\beta \frac{Y^{2}}{2} w_{x x}+O\left(\beta^{2}\right) .
\]

Усреднение по глубине дает
\[
\tilde{u}=w-\frac{1}{6} \boldsymbol{\beta} w_{x x}+O\left(\boldsymbol{\alpha} \beta, \boldsymbol{\beta}^{2}\right),
\]

или, что то же самое,
\[
w=\tilde{u}+\frac{1}{6} \beta \tilde{u}_{x x}+O\left(\alpha \beta, \beta^{2}\right)
\]

Подставив эти выражения в уравнения (13.101), получим
\[
\begin{aligned}
\eta_{t}+\{(1+\alpha \eta) \tilde{u}\}_{x}+O\left(\alpha \beta, \beta^{2}\right) & =0, \\
\tilde{u}_{t}+\alpha \tilde{u} \tilde{u}_{x}+\eta_{x}-\frac{1}{3} \beta \tilde{u}_{x x t}+O\left(\alpha \beta, \beta^{2}\right) & =0
\end{aligned}
\]

Наконец, подставив справедливое в низшем порядке выражение $\tilde{u}_{x}=-\eta_{t}+O(\alpha, \beta)$ из первого уравнения в член с $\tilde{u}_{x x t}$, придем к уравнениям Буссинеска (13.92) в нормированной форме.

Уравнение Кортевега – де Фриза выводится из любой из этих систем рассмотрением только волн, движущихся вправо. В низшем приближении (без учета членов первого порядка по $\alpha$ и $\beta$ ) такое решение системы (13.101) дает
\[
w=\eta, \quad \eta_{t}+\eta_{x}=0 .
\]

Будем искать решение, подправленное членами первого порядка по $\alpha$ и $\beta$, в виде
\[
w=\eta+\alpha A+\beta B+O\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right),
\]

где $A$ и $B$ – функции от $\eta$ и ее производных по $x$. Тогда уравнения (13.101) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\eta_{t}+\eta_{x}+\alpha\left(A_{x}+2 \eta \eta_{x}\right)+\beta\left(B_{x}-\frac{1}{6} \eta_{x x x}\right)+O\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)=0, \\
\eta_{t}+\eta_{x}+\alpha\left(A_{t}+\eta \eta_{x}\right)+\beta\left(B_{t}-\frac{1}{2} \eta_{x x t}\right)+O\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Поскольку $\eta_{t}=-\eta_{x}+O(\alpha, \beta)$, все производные по $t$ в членах первого порядка можно заменить производными по $x$ с противоположным знаком. Тогда эти два уравнения совместны, если
\[
A=-\frac{1}{4} \eta^{2}, \quad B=\frac{1}{3} \eta_{x x} .
\]

Отсюда имеем
\[
\begin{array}{c}
w=\eta-\frac{1}{4} \alpha \eta^{2}+\frac{1}{3} \beta \eta_{x x}+O\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right), \\
\eta_{t}+\eta_{x}+\frac{3}{2} \alpha \eta \eta_{x}+\frac{1}{6} \beta \eta_{x x x}+O\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Второе уравнение является нормированной формой уравнения Кортевега – де Фриза (13.99). Первое аналогично инварианту Римана.