Для малых возмущений первоначально покоящейся жидкости величины $\eta$ и $\varphi$ малы и уравнения при первом рассмотрении можно линеаризовать. Линеаризованные условия на свободной поверхности (13.12) имеют вид
\[
\eta_{t}=\varphi_{y}, \quad \varphi_{t}+g \eta=0,
\]

и можно провести дальнейшую линеаризацию, наложив эти условия на поверхности $y=0$ вместо $y=\eta$. После этой дальнейшей линеаризации $\eta$ можно исключить, что дает
\[
\varphi_{t t}+g \varphi_{y}=0 \quad \text { на } y=0 .
\]

Уравнение Лапласа и граничное условие на дне (13.13) уже линейны и не зависят от $\eta$. Таким образом, мы имеем линейную задачу для одной функции $\varphi$ :
\[
\begin{aligned}
\varphi_{x_{1} x_{1}}+\varphi_{x_{2} x_{2}}+\varphi_{y y} & =0, & & -h_{0}<y<0, \\
\varphi_{t t}+g \varphi_{y} & =0, & & y=0, \\
\varphi_{y}+h_{0 x_{1}} \varphi_{x_{1}}+h_{0 x_{2}} \varphi_{x_{2}} & =0, & & y=-h_{0} .
\end{aligned}
\]

Пасле того как решение $\varphi$ найдено, уравнение поверхности, сог ласно (13.21), определяется формулой
\[
\eta\left(x_{1}, x_{2}, t\right)=-\frac{1}{g} \varphi_{t}\left(x_{1}, x_{2}, 0, t\right) .
\]

Задачу (13.22) следует дополнить подходящими начальными условиями.