Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Удобно выбрать такую нормировку, в которой уравнение принимает вид Для этого уравнения в его настоящем виде вариационный принқип отсутствует и необходимо ввести какое-либо потенциальное представление. Простейший способ — положить $\eta=\varphi_{x}$; тогда уравнение переходит в следующее: и соответствующий лагранжиан таков: Можно было бы в уравнение (16.111) ввести $\chi=\varphi_{x x}$, работать с двумя функциями $\varphi$ и $\chi$ и использовать лагранжиан, содержащий только первые производные. Этот способ обладает тем преимуществом, что к нему применима общая теория § 14.7 , но проще иметь дело с лагранжианом (16.112), пользуясь некоторыми специальными приемами. Необходимость в потенциальном представлении характерна для структуры данной задачи и затрагивает ряд параметров однородного волнового пакета. Мы должны положить и параметр $\beta$ отвечает среднему значению переменной $\eta$. В терминах $\eta$ ретение уравнения (16.110) типа однородного волнового пакета получается из соотношения которое, очевидно, интегрируется, давая здесь $A$ и $B$ — постоянные интегрирования. Для этого решения лагранжиан (16.112) можно сначала выразить через $\eta$ : а затем при помощи (16.114) представить в эквивалентной форме Далее получаем усредненный лагранжиан Согласно (16.113), согласно (16.114), где $\left.{ }^{1}\right)$ Наконец, Вариационные уравнения для тройки $(\gamma, \beta, B)$ имеют вид В силу последних двух уравнений, без потери общности можно положить $\gamma=U \beta-B$, так что имеем II Для тройки $(\omega, k, A$ ) вариационное уравнение для $\delta \theta$ удобно заменить уравнением сохранения импульса Имеем Уравнения (16.118), (16.120) и (16.121) можно рассматривать как три уравнения для $A, B, U$ с переменной $k$, заданной уравнением (16.119). Более симметричная эквивалентная система имеет вид В терминах этих переменных волновое число, частота и среднее значение $\bar{\eta}=\beta$ определяются равенствами Амплитуда $a$ определяется из формул, связывающих нули кубического по $W$ выражения с коэффициентами $A, B, U$. В физических задачах в качестве основных параметров естественно выбрать $k, \beta, a$; тройка $A, B, U$ является эквивалентным набором. Дисперсионное соотношение $\omega=\omega(k, \beta, a)$ неявно задается вторым из уравнений (16.123). Уравнения (16.122) имеют разумно симметричный вид, в то время как исходные вариационные уравнения для $\beta$ и $\gamma$ выглядят неуклюже. Это, по-видимому, связано с гибридной природой уравнения Кортевега — де Фриза как приближения к исходной теории волн на воде. При выводе этого приближения скорость жидкости выражается через глубину (см. (13.102)), так что тройка $\gamma, \beta, B$ перемешивается несимметричным образом. Например, параметр $\beta$ вводится как средняя высота в выражении (16.113), однако в своей естественной роли он равен средней скорости жидкости. В более симметричной системе (16.122) такая двойственность сглаживается. Кроме того, из-за потенциального представления нам сначала пришлось иметь дело с системой четвертого порядка, и более удобное выражение восстановилось только после того, как мы вернулись к системе третьего порядка.
|
1 |
Оглавление
|