Удобно выбрать такую нормировку, в которой уравнение принимает вид
$${\eta }_t+6\eta {\eta }_x+{\eta }_{xxx}=0.$$

Для этого уравнения в его настоящем виде вариационный принқип отсутствует и необходимо ввести какое-либо потенциальное представление. Простейший способ — положить $\eta ={\phi }_x$; тогда уравнение переходит в следующее:
$${\phi }_{xt}+6{\phi }_x{\phi }_{xx}+{\phi }_{xxxx}=0$$

и соответствующий лагранжиан таков:
$$L=-\frac{1}{2}{\phi }_t{\phi }_x-{\phi }_x^3+\frac{1}{2}{\phi }_{xx}^2.$$

Можно было бы в уравнение (16.111) ввести $\chi ={\phi }_{xx}$, работать с двумя функциями $\phi$ и $\chi$ и использовать лагранжиан, содержащий только первые производные. Этот способ обладает тем преимуществом, что к нему применима общая теория § 14.7 , но проще иметь дело с лагранжианом (16.112), пользуясь некоторыми специальными приемами.

Необходимость в потенциальном представлении характерна для структуры данной задачи и затрагивает ряд параметров однородного волнового пакета. Мы должны положить
Тогда
$$\phi =\psi +\mathrm{\Phi }(\theta ),\psi =\beta x-\gamma t,\theta =kx-\omega t.$$
$$\eta =\beta +k{\mathrm{\Phi }}_{\theta }$$

и параметр $\beta$ отвечает среднему значению переменной $\eta$. В терминах $\eta$ ретение уравнения (16.110) типа однородного волнового пакета получается из соотношения
$$k^2{\eta }_{\ominus \theta \theta }+6\eta {\eta }_{\theta }-\frac{\omega }{k}{\eta }_{\theta }=0,$$

которое, очевидно, интегрируется, давая
$$\begin{array}{c}{k}^2{\eta }_{\theta \theta }+3{\eta }^2-\frac{\omega }{k}\eta +B=0,\\ k^2{\eta }_{\theta }^2+2{\eta }^3-\frac{\omega }{k}{\eta }^2+2B\eta -2A=0;\end{array}$$

здесь $A$ и $B$ — постоянные интегрирования. Для этого решения лагранжиан (16.112) можно сначала выразить через $\eta$ :
$$L=\frac{1}{2}(\gamma -\frac{\omega }{k}\beta )\eta +\frac{1}{2}\frac{\omega }{k}{\eta }^2-{\eta }^3+\frac{1}{2}{k}^2{\eta }_{\theta }^2,$$

а затем при помощи (16.114) представить в эквивалентной форме
$$L=k^2{\eta }_{\theta }^2+\{B+\frac{1}{2}(\gamma -\frac{\omega }{k})\beta \}\eta —A.$$

Далее получаем усредненный лагранжиан
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }Ld\theta .$$

Согласно (16.113),
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\eta d\theta =\overline{\eta }=\beta$$

согласно (16.114),
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{k}^2{\eta }_{\theta }^{2}d\theta =\frac{1}{2\pi }\oint k^2{\eta }_{\theta }d\eta =kW,$$

где ${}^1)$
$$W(A,B,U)=\frac{1}{2\pi }\oint {\{2A-2B\eta +U{\eta }^2-2{\eta }^3\}}^{1/2}d\eta ,U=\omega /k.$$

Наконец,
$$\mathcal{L}=kW(A,B,U)+\beta B+\frac{1}{2}\beta \gamma -\frac{1}{2}U{\beta }^2-A.$$

Вариационные уравнения для тройки $(\gamma ,\beta ,B)$ имеют вид
$$\begin{array}{rl}\delta B:& \beta =-k{W}_B,\\ \delta \psi :& \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2}\beta \right)+\frac{\partial }{\partial x}(U\beta -\frac{1}{2}\gamma -B)=0,\\ \text{ совместность: }& \frac{\partial \beta }{\partial t}+\frac{\partial \gamma }{\partial x}=0.\end{array}$$

В силу последних двух уравнений, без потери общности можно положить $\gamma =U\beta -B$, так что имеем
$$\beta =-k{W}_B,\gamma =-kU{W}_B-B$$

II
$$\frac{\partial }{\partial t}\left(k{W}_B\right)+\frac{\partial }{\partial x}(kU{W}_B+B)=0$$

Для тройки $(\omega ,k,A$ ) вариационное уравнение для $\delta \theta$ удобно заменить уравнением сохранения импульса
$$\frac{\partial }{\partial t}(k{\mathcal{L}}_{\omega }+\beta {\mathcal{L}}_{\gamma })+\frac{\partial }{\partial x}(\mathcal{L}-k{\mathcal{L}}_k-\beta {\mathcal{L}}_{\beta })=0$$

Имеем
$$\begin{array}{rl}\delta A:& k{W}_A=1,\\ \text{ импульс: }& \frac{\partial }{\partial t}\left(k{W}_U\right)+\frac{\partial }{\partial x}(kU{W}_U-A)=0,\\ \text{ совместность: }& \frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}(kU)=0,\omega =kU.\end{array}$$

Уравнения (16.118), (16.120) и (16.121) можно рассматривать как три уравнения для $A,B,U$ с переменной $k$, заданной уравнением (16.119). Более симметричная эквивалентная система имеет вид
$$\begin{array}{l}\frac{\partial W_B}{\partial t}+U\frac{\partial W_B}{\partial x}+W_A\frac{\partial B}{\partial x}=0,\\ \frac{\partial W_U}{\partial t}+U\frac{\partial W_U}{\partial x}-W_A\frac{\partial A}{\partial x}=0,\\ \frac{\partial W_A}{\partial t}+U\frac{\partial W_A}{\partial x}-W_A\frac{\partial U}{\partial x}=0.\end{array}$$

В терминах этих переменных волновое число, частота и среднее значение $\overline{\eta }=\beta$ определяются равенствами
$$k=\frac{1}{W_A},\omega =\frac{U}{W_A},\beta =-\frac{W_{\beta }}{W_A}.$$

Амплитуда $a$ определяется из формул, связывающих нули кубического по $W$ выражения с коэффициентами $A,B,U$. В физических задачах в качестве основных параметров естественно выбрать $k,\beta ,a$; тройка $A,B,U$ является эквивалентным набором. Дисперсионное соотношение $\omega =\omega (k,\beta ,a)$ неявно задается вторым из уравнений (16.123).

Уравнения (16.122) имеют разумно симметричный вид, в то время как исходные вариационные уравнения для $\beta$ и $\gamma$ выглядят неуклюже. Это, по-видимому, связано с гибридной природой уравнения Кортевега — де Фриза как приближения к исходной теории волн на воде. При выводе этого приближения скорость жидкости выражается через глубину (см. (13.102)), так что тройка $\gamma ,\beta ,B$ перемешивается несимметричным образом. Например, параметр $\beta$ вводится как средняя высота в выражении (16.113), однако в своей естественной роли он равен средней скорости жидкости. В более симметричной системе (16.122) такая двойственность сглаживается. Кроме того, из-за потенциального представления нам сначала пришлось иметь дело с системой четвертого порядка, и более удобное выражение восстановилось только после того, как мы вернулись к системе третьего порядка.