Удобно выбрать такую нормировку, в которой уравнение принимает вид
\[
\eta_{t}+6 \eta \eta_{x}+\eta_{x x x}=0 .
\]

Для этого уравнения в его настоящем виде вариационный принқип отсутствует и необходимо ввести какое-либо потенциальное представление. Простейший способ – положить $\eta=\varphi_{x}$; тогда уравнение переходит в следующее:
\[
\varphi_{x t}+6 \varphi_{x} \varphi_{x x}+\varphi_{x x x x}=0
\]

и соответствующий лагранжиан таков:
\[
L=-\frac{1}{2} \varphi_{t} \varphi_{x}-\varphi_{x}^{3}+\frac{1}{2} \varphi_{x x}^{2} .
\]

Можно было бы в уравнение (16.111) ввести $\chi=\varphi_{x x}$, работать с двумя функциями $\varphi$ и $\chi$ и использовать лагранжиан, содержащий только первые производные. Этот способ обладает тем преимуществом, что к нему применима общая теория § 14.7 , но проще иметь дело с лагранжианом (16.112), пользуясь некоторыми специальными приемами.

Необходимость в потенциальном представлении характерна для структуры данной задачи и затрагивает ряд параметров однородного волнового пакета. Мы должны положить
Тогда
\[
\varphi=\psi+\Phi(\theta), \psi=\beta x-\gamma t, \quad \theta=k x-\omega t .
\]
\[
\eta=\beta+k \Phi_{\theta}
\]

и параметр $\beta$ отвечает среднему значению переменной $\eta$. В терминах $\eta$ ретение уравнения (16.110) типа однородного волнового пакета получается из соотношения
\[
k^{2} \eta_{\ominus \theta \theta}+6 \eta \eta_{\theta}-\frac{\omega}{k} \eta_{\theta}=0,
\]

которое, очевидно, интегрируется, давая
\[
\begin{array}{c}
k^{2} \eta_{\theta \theta}+3 \eta^{2}-\frac{\omega}{k} \eta+B=0, \\
k^{2} \eta_{\theta}^{2}+2 \eta^{3}-\frac{\omega}{k} \eta^{2}+2 B \eta-2 A=0 ;
\end{array}
\]

здесь $A$ и $B$ – постоянные интегрирования. Для этого решения лагранжиан (16.112) можно сначала выразить через $\eta$ :
\[
L=\frac{1}{2}\left(\gamma-\frac{\omega}{k} \beta\right) \eta+\frac{1}{2} \frac{\omega}{k} \eta^{2}-\eta^{3}+\frac{1}{2} k^{2} \eta_{\theta}^{2},
\]

а затем при помощи (16.114) представить в эквивалентной форме
\[
L=k^{2} \eta_{\theta}^{2}+\left\{B+\frac{1}{2}\left(\gamma-\frac{\omega}{k}\right) \beta\right\} \eta–A .
\]

Далее получаем усредненный лагранжиан
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} L d \theta .
\]

Согласно (16.113),
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \eta d \theta=\bar{\eta}=\beta
\]

согласно (16.114),
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} k^{2} \eta_{\theta}^{2} d \theta=\frac{1}{2 \pi} \oint k^{2} \eta_{\theta} d \eta=k W,
\]

где $\left.{ }^{1}\right)$
\[
W(A, B, U)=\frac{1}{2 \pi} \oint\left\{2 A-2 B \eta+U \eta^{2}-2 \eta^{3}\right\}^{1 / 2} d \eta, U=\omega / k .
\]

Наконец,
\[
\mathscr{L}=k W(A, B, U)+\beta B+\frac{1}{2} \beta \gamma-\frac{1}{2} U \beta^{2}-A .
\]

Вариационные уравнения для тройки $(\gamma, \beta, B)$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
\delta B: & \beta=-k W_{B}, \\
\delta \psi: & \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2} \beta\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(U \beta-\frac{1}{2} \gamma-B\right)=0, \\
\text { совместность: } & \frac{\partial \beta}{\partial t}+\frac{\partial \gamma}{\partial x}=0 .
\end{aligned}
\]

В силу последних двух уравнений, без потери общности можно положить $\gamma=U \beta-B$, так что имеем
\[
\beta=-k W_{B}, \quad \gamma=-k U W_{B}-B
\]

II
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(k W_{B}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(k U W_{B}+B\right)=0
\]

Для тройки $(\omega, k, A$ ) вариационное уравнение для $\delta \theta$ удобно заменить уравнением сохранения импульса
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(k \mathscr{L}_{\omega}+\beta \mathscr{L}_{\gamma}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\mathscr{L}-k \mathscr{L}_{k}-\beta \mathscr{L}_{\beta}\right)=0
\]

Имеем
\[
\begin{aligned}
\delta A: & k W_{A}=1, \\
\text { импульс: } & \frac{\partial}{\partial t}\left(k W_{U}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(k U W_{U}-A\right)=0, \\
\text { совместность: } & \frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(k U)=0, \quad \omega=k U .
\end{aligned}
\]

Уравнения (16.118), (16.120) и (16.121) можно рассматривать как три уравнения для $A, B, U$ с переменной $k$, заданной уравнением (16.119). Более симметричная эквивалентная система имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial W_{B}}{\partial t}+U \frac{\partial W_{B}}{\partial x}+W_{A} \frac{\partial B}{\partial x}=0, \\
\frac{\partial W_{U}}{\partial t}+U \frac{\partial W_{U}}{\partial x}-W_{A} \frac{\partial A}{\partial x}=0, \\
\frac{\partial W_{A}}{\partial t}+U \frac{\partial W_{A}}{\partial x}-W_{A} \frac{\partial U}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]

В терминах этих переменных волновое число, частота и среднее значение $\bar{\eta}=\beta$ определяются равенствами
\[
k=\frac{1}{W_{A}}, \quad \omega=\frac{U}{W_{A}}, \quad \beta=-\frac{W_{\beta}}{W_{A}} .
\]

Амплитуда $a$ определяется из формул, связывающих нули кубического по $W$ выражения с коэффициентами $A, B, U$. В физических задачах в качестве основных параметров естественно выбрать $k, \beta, a$; тройка $A, B, U$ является эквивалентным набором. Дисперсионное соотношение $\omega=\omega(k, \beta, a)$ неявно задается вторым из уравнений (16.123).

Уравнения (16.122) имеют разумно симметричный вид, в то время как исходные вариационные уравнения для $\beta$ и $\gamma$ выглядят неуклюже. Это, по-видимому, связано с гибридной природой уравнения Кортевега – де Фриза как приближения к исходной теории волн на воде. При выводе этого приближения скорость жидкости выражается через глубину (см. (13.102)), так что тройка $\gamma, \beta, B$ перемешивается несимметричным образом. Например, параметр $\beta$ вводится как средняя высота в выражении (16.113), однако в своей естественной роли он равен средней скорости жидкости. В более симметричной системе (16.122) такая двойственность сглаживается. Кроме того, из-за потенциального представления нам сначала пришлось иметь дело с системой четвертого порядка, и более удобное выражение восстановилось только после того, как мы вернулись к системе третьего порядка.