Чтобы лучше понять сущность различных членов в уравнениях сохранения (6.7) — (6.9), выясним, что они представляют собой с точки зрения молекулярной теории. Скорости молекул распределены в некотором интервале, и параметры течения связаны с функцией распределения $f(\mathbf{x}, \mathbf{v}, t)$, которая определяется так, что величина
\[
f(\mathbf{x}, \mathbf{v}, t) d x_{1} d x_{2} d x_{3} d v_{1} d v_{2} d v_{3}
\]

представляет собой вероятное число молекул в элементе объема $d x_{1} d x_{2} d x_{3}$ с дентром в точке $\mathbf{x}$ и со скоростями в области $d v_{1} d v_{2} d v_{3}$ c центром в точке v. Плотность и макроскопическая скорость u определяются равенствами
\[
\rho=\int_{-\infty}^{\infty} m f d \mathbf{v}, \quad \rho u_{i}=\int_{-\infty}^{\infty} m v_{i} f d \mathbf{v},
\]

тде $m$ — масса одной молекулы и $\int d \mathbf{v}$ — тройной интеграл по всем значениям $v_{1}, v_{2}, v_{3}$. Полный поток $i$-й компоненты импульса

через поверхность с вектором нормали 1 составляет
\[
\int_{-\infty}^{\infty} m v_{i}\left(l_{j} v_{j}\right) f d \mathbf{v}
\]

Положим $\mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{c}$, так что $\mathbf{c}$ равно отклонению молекудярной скорости от средней скорости $\mathbf{u}$, определяемой равенством (6.13); тогда последнее выражение можно записать так:
\[
l_{j}\left(u_{i} u_{j} \int_{-\infty}^{\infty} m f d \mathbf{c}+u_{i} \int_{-\infty}^{\infty} m c_{j} f d \mathbf{c}+u_{j} \int_{-\infty}^{\infty} m c_{i} f d \mathbf{c}+\int_{-\infty}^{\infty} m c_{i} c_{j} f d \mathbf{c}\right) .
\]

В силу определения с как отклонения от средней скорости второй и третий члены равны нулю и остается
\[
l_{j}\left(\rho u_{i} u_{j}+\int_{-\infty}^{\infty} m c_{i} c_{j} f d \mathbf{c}\right) .
\]

Для идеализированного газа, у которого межмолекулярные силы ограничены практически мгновенными соударениями молекул, это единственный вклад в интеграл по поверхности, входящий в уравнение (6.3), и, следовательно,
\[
-p_{i}=l_{j} \int_{-\infty}^{\infty} m c_{i} c_{j} f d \mathbf{c} .
\]

Это равенство согласуется с формулой (6.1) и позволяет записать тензор напряжений в следующем виде:
\[
-p_{j i}=\int_{-\infty}^{\infty} m c_{i} c_{j}^{\prime} d \mathbf{c}
\]

условие симметрии (6.12), очевидно, выполняется. Таким образом, вклад поверхностных напряжений в (6.3) можно интерпретировать как дополнительный поток импульса, создаваемый движением молекул относительно среднего.

Каждая молекула обладает кинетической энергией поступательного движения, равной $1 / 2 m v_{i}^{2}$. Молекулы также могут обладать колебательной или вращательной энергией, но здесь мы рассмотрим одноатомный газ, для которого эти дополнительные формы энергии отсутствуют. В этом случае полная энергия на единицу объема составляет
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} m v_{i}^{2} f d \mathbf{v}=\frac{1}{2} \rho u_{i}^{2}+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} m c_{i}^{2} f d \mathbf{c} .
\]

Следовательно, в интеграле по объему в уравнении (6.4) член, описывающий внутреннюю энергию, можно интерпретировать как дополнительную энергию движения молекул относительно среднего, так что
\[
\rho e=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} m c_{i}^{2} f d \mathbf{c} .
\]

Поток энергии через элемент поверхности с нормалью I равен
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} m v_{i}^{2} l_{j} v_{j} f d \mathbf{v} .
\]

При помощи уже введенных величин это выражение можно представить в виде
\[
l_{j}\left(\frac{1}{2} \rho u_{i}^{2} u_{j}+\rho e u_{j}-p_{j i} u_{i}+q_{j}\right),
\]

где
\[
q_{j}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} m c_{i}^{2} c_{j} f d \mathbf{c} .
\]

Сравнивая этот результат с уравнением (6.4), видим, что выражение (6.20) совпадает с выражением для потока энергии в (6.4) и что тепловой поток $q$ интерпретируется как перенос молекулами излишка молекулярной энергии.

Даже при рассмотрении идеального газа важно включить в рассмотрение колебательную и вращательную энергию, которсй обладают двухатомные и более сложные молекулы. Следует добавить әту энергию к выражению (6.19), а также учесть соответствующий вклад в вектор теплового потока (6.21). Основной результат статистической механики состоит в том, что различные формы әнергии достигают равновесия с равными вкладами от каждой степени свободы. Это позволит нам при необходимости обобщить результат (6.19), не вдаваясь в подробности.

Такая интерпретация напряжения, внутренней энергии и теглового потока в терминах случайного молекулярного движения показывает, что различные величины, введенные в равенствах (6.7) — (6.9), не только являются специально подобранными переменными, отражающими все важные эффекты, которые только пришли к нам в голову, но и укладываются в содержательную схему все более и более высоких моментов функции распределения по скоростям. Действительно, в собственно кинетической теории основное уравнение формулируется для $f$, а затем уравнения сохранения (6.7) — (6.9) выводятся как его следствия. В качестве

уравнения для $f$ обычно принимают уравнение Больцмава или жакое-либо приближение к нему.
Вернемся теперь к уравнениям сплошной среды.