Прежде чем приступить к использованию уравнений в характеристической форме и изучению дальнейших свойств характеристик, проиллюстрируем паши идеи несколькими примерами и покажем некоторые трудности, которые могут возникнуть при классификации систем.
Пример 1. Прежде всего рассмотрим волновое уравнение
\[
u_{t t}-\gamma u_{x x}=0 \text {. }
\]

Введя новые функции $v=u_{x}$ и $w=u_{t}$, его можно переписать в виде системы
\[
\begin{array}{c}
v_{t}-w_{x}=0, \\
w_{t}-\gamma v_{x}=0 .
\end{array}
\]

Линейная комбинация
\[
l_{1}\left(v_{t}-w_{x}\right)+l_{2}\left(w_{t}-\gamma v_{x}\right)=0
\]

принимает характеристическую форму

если
\[
\begin{array}{c}
l_{1}\left(v_{t}+c v_{x}\right)+l_{2}\left(w_{t}+c w_{x}\right)=0 \\
-\gamma l_{2}=c l_{1} \\
-l_{1}=c l_{2} .
\end{array}
\]

Нетривиальное репение существует, когда $c^{2}=\gamma$. Если $\gamma>0$, то можно положить
\[
\begin{array}{lll}
c=+\sqrt{\gamma}, & l_{1}=-\sqrt{\gamma}, & l_{2}=1 ; \\
c=-\sqrt{\gamma}, & l_{1}=+\sqrt{\gamma}, & l_{2}=1 .
\end{array}
\]

Два вектора 1 линейно независимы, так что система является гиперболической. Если $\gamma<0$, то не существует вещественных характеристических форм; действительно, в этом случае уравнение является прототипом эллиптических уравнений.
Пример 2. Уравнение теплопроводности
\[
u_{t}-u_{x x}=0
\]

эквивалентно системе
\[
\begin{array}{l}
u_{t}-v_{x}=0, \\
u_{x}-v=0 .
\end{array}
\]

Ясно, что комбинация
\[
l_{1}\left(u_{t}-v_{x}\right)+l_{2}\left(u_{x}-v\right)=0
\]

может иметь характеристическую форму лишь при $l_{1}=0$. Таким образом, единственным решением (с точностью до числового множителя) является $\mathbf{l}=(0,1)$. Поскольку для системы второго порядка существует только один вектор 1 , она не является гиперболической. Если следовать общему формализму, то уравнение (5.6) в данном случае сводится к
\[
\left|\begin{array}{rr}
X^{\prime} & T^{\prime} \\
-T^{\prime} & 0
\end{array}\right|=0, \quad \text { т. е. } T^{\prime 2}=0 .
\]

Таким образом, ось $x$ является двойной характеристикой, но для нее существует единственная характеристическая форма
\[
u_{x}-v=0 .
\]

Пример 3. Простейшее гиперболическое уравнение второго порядка вида
\[
u_{x t}=0
\]

эквивалентно системе
\[
\begin{aligned}
u_{t}-v & =0, \\
v_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

В этом случае обе матрицы $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{a}$ вырожденны, но условие (5.7) выполнено и никаких неприятностей не возникает. Уравнение (5.6) имеет вид
\[
\left|\begin{array}{cc}
X^{\prime} & 0 \\
0 & -T^{\prime}
\end{array}\right|=0, \quad \text { т. е. } X^{\prime} T^{\prime}=0 .
\]

Обе оси $t$ и $x$ являются характеристиками, и исходные уравнения уже имеют характеристическую форму.
Пример 4. Рассмотрим теперь уравнение
\[
u_{t t}-\gamma u_{x x}+u=0 .
\]

Если положить $u_{x}=v, u_{t}=w$, как в примере 1 , то наличие дополнительного недифференциального члена $u$ помешает полному исключению переменной $u$; это наводит на мысль перейти к трем уравнениям. Если в качестве эквивалентной системы выбрать
\[
\begin{aligned}
u_{x}-v & =0, \\
u_{t}-w & =0, \\
w_{t}-\gamma v_{x}+u & =0,
\end{aligned}
\]

то возникнут неприятности, поскольку обе матрицы $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{a}$ вырожденны вместе со всеми их линейными комбинациями. Уравнение (5.6) имеет вид
\[
\left|\begin{array}{ccc}
-T^{\prime} & 0 & 0 \\
X^{\prime} & 0 & 0 \\
0 & \gamma T^{\prime} & X^{\prime}
\end{array}\right|=0
\]

и, очевидно, выполняется для всех пар ( $\left.X^{\prime}, T^{\prime}\right)$. Однако эта система исключается условием (5.7).

По крайней мере при $\gamma>0$ можно выдвинуть указанное выше предположение, тто система, вероятно, содержит лишние неизвестные и может быть упрощена. Возможность такого упрощения можно установить, переписав уравнение в виде
\[
\left(\frac{\partial}{\partial t}-\sqrt{\gamma} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+\sqrt{\gamma} \frac{\partial}{\partial x}\right) u+u=0 .
\]

Тогда, положив
\[
\varphi=u_{t}+V \bar{\gamma} u_{x},
\]

получим систему второго порядка
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{t}-\sqrt{\gamma} \varphi_{x}+u=0, \\
u_{t}+\sqrt{\gamma} u_{x}-\varphi=0 .
\end{array}
\]

Коэффициенты этой системы не имеют особенностей. В действительности она уже записана в характеристической форме, и существуют в точности две характеристики.

Пример 5. Другая система, которую можно предложить для уравнения
\[
u_{t t}-\gamma u_{x x}+u=0,
\]

такова:
\[
\begin{aligned}
u_{t}-w & =0, \\
v_{t}-w_{x} & =0, \\
w_{t}-\gamma v_{x}+u & =0 .
\end{aligned}
\]

Она отличается от системы из примера 4 тем, что уравнение $v_{t}$ $-w_{x}=0$, полученное исключением $u$, подставлено в $u_{x}-v=0$. Теперь $\boldsymbol{A}$ — единичная матрица и нет оснований ожидать неприятностей. Условие (5.6) имеет вид
\[
\left|\begin{array}{ccc}
X^{\prime} & 0 & 0 \\
0 & X^{\prime} & T^{\prime} \\
0 & \gamma T^{\prime} & X^{\prime}
\end{array}\right|=0, \quad \text { т. е. } X^{\prime}\left(X^{\prime 2}-\gamma T^{\prime 2}\right)=0 .
\]

Два корня $X^{\prime}= \pm \sqrt{\gamma} T^{\prime}$, очевидно, являются характеристиками исходного уравнения, но откуда взялась лишняя характеристика $X^{\prime}=0$ ? Предложенная система сама по себе не имеет недостатков, но она уже не эквивалентна исходному уравнению. На самом деле она эквивалентна уравнению
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(u_{t t}-\gamma u_{x x}+u\right)=0 .
\]

Появление дополнительной характеристики отвечает дополнительному дифференцированию по $t$.
Пример 6. Система
\[
\begin{array}{c}
u_{t}+C(u, v) u_{x}=0, \\
v_{t}+C(u, v) v_{x}=u
\end{array}
\]

представляет собой очевидный пример системы с одной характеристикой, на которой $d x / d t=C$, но с двумя независимыми характеристическими формами. Следовательно, она является гиперболической.

Пример 7. В теории диспергирующих волн встречается система
\[
\begin{aligned}
u_{t}+C(u) u_{x} & =0, \\
v_{t}+C(u) v_{x}+C^{\prime}(u) v u_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

Единственной возможной характеристической формой является первое уравнение в исходном виде. Следовательно, система не является гиперболической. Однако в данном исключительном случае первое уравнение можно решить независимо от второго, проинтегрировав его вдоль характеристик $d x / d t=C$. Затем, зная $u$ во всей области, можно вычислить $u_{x}$ и, проинтегрировав второе уравнение вдоль тех же самых характеристик, найти $v$. В этом отношении данная система подобна гиперболической системе с двойной характеристикой, однако формально ее следует классифицировать как параболическую.

В примерах 2-7 классификация требовала разъяснений ${ }^{1}$ ). Теперь мы добавим несколько примеров, в которых нет трудностей в классификации. Это хорошо известные и характерные нелинейные системы. Мы приведем лишь относящиеся к делу сведения с минимумом объяснений.

Пример 8. Газовая динамика. Для сжимаемого невязкого течения газа со скоростью $u$, давлением $p$, плотностью $\rho$ и энтропией $S$ уравнения имеют вид (см. гл. 6)
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{1}{\rho} p_{x} & =0, \\
S_{t}+u S_{x} & =0,
\end{aligned}
\]

где $p=p(\rho, S)$. Уравнения в характеристической форме записываются так:
\[
\begin{aligned}
\frac{d p}{d t} \pm \rho a \frac{d u}{d t} & =0 & \text { на } \quad \frac{d x}{d t}=u \pm a, \\
\frac{d S}{d t} & =0 & \text { на } \quad \frac{d x}{d t}=u,
\end{aligned}
\]

где $a^{2}=(\partial p / \partial \rho)_{S=\text { const }}$. Для газа с постоянными теплоемкостями $p=x \rho^{\gamma} e^{S / c_{n}}$ и $a^{2}=\gamma p / \rho$.

Пример 9. Речные волны и теория мелкой воды. Соответствующие уравнения были получены выше (см. (3.37)); их характери-
1) Общепринято также следующее определение гиперболической системы: система вида (5.9) является гиперболической, если соответствующая задача Коши оказывается корректно поставленной.- Прим. ред.

стическая форма следующая:
\[
\frac{d}{d t}\left(v \pm 2 \sqrt{g^{\prime} h}\right)=g^{\prime} S-C_{f} \frac{v^{2}}{h} \quad \text { на } \quad \frac{d x}{d t}=v \pm \sqrt{g^{\prime} h} .
\]

Пример 9′. Для упрощенной кинематической аппроксимации уравнений (3.38) характеристическая форма сводится к одному уравнению
\[
\frac{d h}{d t}=0 \quad \text { на } \quad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{2}\left(\frac{g^{\prime} S}{C_{f}}\right)^{1 / 2} h^{1 / 2} .
\]

Пример 10. Магнитная газовая динамика. Для проводящего газа в магнитном поле уравнения (в стандартных обозначениях) иногда записывают в виде
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
\rho\left(u_{t}+u u_{x}\right)+p_{x} & =j B, \\
\frac{1}{\gamma-1}\left(p_{t}+u p_{x}\right)-\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right) & =\frac{j^{2}}{\sigma}, \\
B_{t}+E_{x} & =0, \\
\varepsilon_{0} E_{t}+\frac{1}{\mu} B_{x}+j & =0,
\end{aligned}
\]

где $j=\sigma(E-u B)$. Характеристические скорости равны $\pm\left(\varepsilon_{0} \mu\right)^{-1 / 2}$, $u \pm a, u$.

Пример 10′. Если проводимость $\sigma$ очень велика, то предыдущая система приводится к упрощенному виду, часто вполне достаточному для приложений, а именно к виду
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
B_{t}+u B_{x}+B u_{x} & =0, \\
\rho\left(u_{t}+u u_{x}\right)+p_{x}+\frac{1}{\mu} B B_{x} & =0, \\
\frac{1}{\gamma-1}\left(p_{t}+u p_{x}\right)-\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right) & =0 ;
\end{aligned}
\]

характеристические скорости теперь равны $u \pm\left(a^{2}+B^{2} / \mu \rho\right)^{1 / 2}$, $u, u$.

Пример 11. Нелинейные эффекты для электромагнитных волн. При простом, но, возможно, идеализированном описании явлений нелинейной оптики можно положить
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial B}{\partial t}+\frac{\partial E}{\partial x}=0, \\
\frac{\partial D}{\partial t}+\frac{1}{\mu} \frac{\partial B}{\partial x}=0,
\end{array}
\]

причем $D=D(E)$. Характеристическая форма этих уравнений такова
\[
\frac{d B}{d t} \pm \frac{1}{c(E)} \frac{d E}{d t}=0 \quad \text { на } \quad \frac{d x}{d t}= \pm c(E),
\]

где $c(E)=\left\{\mu D^{\prime}(E)\right\}^{-1 / 2}$. Дисперсионные эффекты, как правило, противоречат соотношению $D=D(E)$.

Пример 12. Нелинейные упругие волны в стержне. Взяв в качестве зависимых переменных перемещение $\xi(x, t)$ сечения, первоначально расположенного в точке $x$, и напряжение $\sigma(x, t)$, одномерное уравнение распространения волн в стержне можно записать в следующем виде:
\[
\rho_{0} \xi_{t t}=\sigma_{x},
\]

где $\rho_{0}$ — первоначальная плотность в недеформированном состоянии. Введя деформацию $\varepsilon=\xi_{x}$ и скорость $u=\xi_{t}$, получим эквивалентную систему
\[
\begin{aligned}
\rho_{0} u_{t}-\sigma_{x} & =0, \\
\varepsilon_{t}-u_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

В линейной теории полагают $\sigma$ с $\varepsilon$, но можно учесть и нелинейные эффекты, считая $\sigma$ более общей функцией $\sigma=\sigma(\varepsilon)$. Характеристические скорости равны $\left.\pm\left\{\sigma^{\prime}(\varepsilon) / \rho_{0}\right)\right\}^{1 / 2}$. При надлежащем выборе $\sigma(\varepsilon)$ распространение связано с интересными эффектами; в частности, несколько странно, что ударные волны возникают в разгрузочной фазе возмущения. Этот вопрос рассмотрен в книге Куранта и Фридрихса ([1], стр. 235).