Прежде чем приступить к использованию уравнений в характеристической форме и изучению дальнейших свойств характеристик, проиллюстрируем паши идеи несколькими примерами и покажем некоторые трудности, которые могут возникнуть при классификации систем.
Пример 1. Прежде всего рассмотрим волновое уравнение
$$u_{tt}-\gamma u_{xx}=0\text{. }$$

Введя новые функции $v=u_x$ и $w=u_t$, его можно переписать в виде системы
$$\begin{array}{c}{v}_t-w_x=0,\\ w_t-\gamma v_x=0.\end{array}$$

Линейная комбинация
$$l_1(v_t-w_x)+l_2(w_t-\gamma v_x)=0$$

принимает характеристическую форму

если
$$\begin{array}{c}{l}_1(v_t+c{v}_x)+l_2(w_t+c{w}_x)=0\\ -\gamma l_2=c{l}_1\\ -l_1=c{l}_2.\end{array}$$

Нетривиальное репение существует, когда $c^2=\gamma$. Если $\gamma >0$, то можно положить
$$\begin{array}{lll}c=+\sqrt{\gamma },& l_1=-\sqrt{\gamma },& l_2=1;\\ c=-\sqrt{\gamma },& l_1=+\sqrt{\gamma },& l_2=1.\end{array}$$

Два вектора 1 линейно независимы, так что система является гиперболической. Если $\gamma <0$, то не существует вещественных характеристических форм; действительно, в этом случае уравнение является прототипом эллиптических уравнений.
Пример 2. Уравнение теплопроводности
$$u_t-u_{xx}=0$$

эквивалентно системе
$$\begin{array}{l}{u}_t-v_x=0,\\ u_x-v=0.\end{array}$$

Ясно, что комбинация
$$l_1(u_t-v_x)+l_2(u_x-v)=0$$

может иметь характеристическую форму лишь при $l_1=0$. Таким образом, единственным решением (с точностью до числового множителя) является $\mathbf{l}=(0,1)$. Поскольку для системы второго порядка существует только один вектор 1 , она не является гиперболической. Если следовать общему формализму, то уравнение (5.6) в данном случае сводится к
$$\left|\begin{array}{rr}{X}^{\prime }& T^{\prime }\\ -T^{\prime }& 0\end{array}\right|=0,\text{ т. е. }{T}^{\prime 2}=0.$$

Таким образом, ось $x$ является двойной характеристикой, но для нее существует единственная характеристическая форма
$$u_x-v=0.$$

Пример 3. Простейшее гиперболическое уравнение второго порядка вида
$$u_{xt}=0$$

эквивалентно системе
$$\begin{array}{rl}{u}_t-v& =0,\\ v_x& =0.\end{array}$$

В этом случае обе матрицы $\mathit{A}$ и $\mathit{a}$ вырожденны, но условие (5.7) выполнено и никаких неприятностей не возникает. Уравнение (5.6) имеет вид
$$\left|\begin{array}{cc}{X}^{\prime }& 0\\ 0& -T^{\prime }\end{array}\right|=0,\text{ т. е. }{X}^{\prime }{T}^{\prime }=0.$$

Обе оси $t$ и $x$ являются характеристиками, и исходные уравнения уже имеют характеристическую форму.
Пример 4. Рассмотрим теперь уравнение
$$u_{tt}-\gamma u_{xx}+u=0.$$

Если положить $u_x=v,u_t=w$, как в примере 1 , то наличие дополнительного недифференциального члена $u$ помешает полному исключению переменной $u$; это наводит на мысль перейти к трем уравнениям. Если в качестве эквивалентной системы выбрать
$$\begin{array}{rl}{u}_x-v& =0,\\ u_t-w& =0,\\ w_t-\gamma v_x+u& =0,\end{array}$$

то возникнут неприятности, поскольку обе матрицы $\mathit{A}$ и $\mathit{a}$ вырожденны вместе со всеми их линейными комбинациями. Уравнение (5.6) имеет вид
$$\left|\begin{array}{ccc}-T^{\prime }& 0& 0\\ X^{\prime }& 0& 0\\ 0& \gamma T^{\prime }& X^{\prime }\end{array}\right|=0$$

и, очевидно, выполняется для всех пар ( $X^{\prime },T^{\prime })$. Однако эта система исключается условием (5.7).

По крайней мере при $\gamma >0$ можно выдвинуть указанное выше предположение, тто система, вероятно, содержит лишние неизвестные и может быть упрощена. Возможность такого упрощения можно установить, переписав уравнение в виде
$$(\frac{\partial }{\partial t}-\sqrt{\gamma }\frac{\partial }{\partial x})(\frac{\partial }{\partial t}+\sqrt{\gamma }\frac{\partial }{\partial x})u+u=0.$$

Тогда, положив
$$\phi =u_t+V\overline{\gamma }{u}_x,$$

получим систему второго порядка
$$\begin{array}{l}{\phi }_t-\sqrt{\gamma }{\phi }_x+u=0,\\ u_t+\sqrt{\gamma }{u}_x-\phi =0.\end{array}$$

Коэффициенты этой системы не имеют особенностей. В действительности она уже записана в характеристической форме, и существуют в точности две характеристики.

Пример 5. Другая система, которую можно предложить для уравнения
$$u_{tt}-\gamma u_{xx}+u=0,$$

такова:
$$\begin{array}{rl}{u}_t-w& =0,\\ v_t-w_x& =0,\\ w_t-\gamma v_x+u& =0.\end{array}$$

Она отличается от системы из примера 4 тем, что уравнение $v_t$ $-w_x=0$, полученное исключением $u$, подставлено в $u_x-v=0$. Теперь $\mathit{A}$ — единичная матрица и нет оснований ожидать неприятностей. Условие (5.6) имеет вид
$$\left|\begin{array}{ccc}{X}^{\prime }& 0& 0\\ 0& X^{\prime }& T^{\prime }\\ 0& \gamma T^{\prime }& X^{\prime }\end{array}\right|=0,\text{ т. е. }{X}^{\prime }(X^{\prime 2}-\gamma T^{\prime 2})=0.$$

Два корня $X^{\prime }=\pm \sqrt{\gamma }{T}^{\prime }$, очевидно, являются характеристиками исходного уравнения, но откуда взялась лишняя характеристика $X^{\prime }=0$ ? Предложенная система сама по себе не имеет недостатков, но она уже не эквивалентна исходному уравнению. На самом деле она эквивалентна уравнению
$$\frac{\partial }{\partial t}(u_{tt}-\gamma u_{xx}+u)=0.$$

Появление дополнительной характеристики отвечает дополнительному дифференцированию по $t$.
Пример 6. Система
$$\begin{array}{c}{u}_t+C(u,v)u_x=0,\\ v_t+C(u,v)v_x=u\end{array}$$

представляет собой очевидный пример системы с одной характеристикой, на которой $dx/dt=C$, но с двумя независимыми характеристическими формами. Следовательно, она является гиперболической.

Пример 7. В теории диспергирующих волн встречается система
$$\begin{array}{rl}{u}_t+C(u)u_x& =0,\\ v_t+C(u)v_x+C^{\prime }(u)v{u}_x& =0.\end{array}$$

Единственной возможной характеристической формой является первое уравнение в исходном виде. Следовательно, система не является гиперболической. Однако в данном исключительном случае первое уравнение можно решить независимо от второго, проинтегрировав его вдоль характеристик $dx/dt=C$. Затем, зная $u$ во всей области, можно вычислить $u_x$ и, проинтегрировав второе уравнение вдоль тех же самых характеристик, найти $v$. В этом отношении данная система подобна гиперболической системе с двойной характеристикой, однако формально ее следует классифицировать как параболическую.

В примерах 2-7 классификация требовала разъяснений ${}^1$ ). Теперь мы добавим несколько примеров, в которых нет трудностей в классификации. Это хорошо известные и характерные нелинейные системы. Мы приведем лишь относящиеся к делу сведения с минимумом объяснений.

Пример 8. Газовая динамика. Для сжимаемого невязкого течения газа со скоростью $u$, давлением $p$, плотностью $\rho$ и энтропией $S$ уравнения имеют вид (см. гл. 6)
$$\begin{array}{rl}{\rho }_t+u{\rho }_x+\rho u_x& =0,\\ u_t+u{u}_x+\frac{1}{\rho }{p}_x& =0,\\ S_t+u{S}_x& =0,\end{array}$$

где $p=p(\rho ,S)$. Уравнения в характеристической форме записываются так:
$$\begin{array}{rlr}\frac{dp}{dt}\pm \rho a\frac{du}{dt}& =0& \text{ на }\frac{dx}{dt}=u\pm a,\\ \frac{dS}{dt}& =0& \text{ на }\frac{dx}{dt}=u,\end{array}$$

где $a^2=(\partial p/\partial \rho {)}_{S=\text{ const }}$. Для газа с постоянными теплоемкостями $p=x{\rho }^{\gamma }{e}^{S/c_n}$ и $a^2=\gamma p/\rho$.

Пример 9. Речные волны и теория мелкой воды. Соответствующие уравнения были получены выше (см. (3.37)); их характери-
1) Общепринято также следующее определение гиперболической системы: система вида (5.9) является гиперболической, если соответствующая задача Коши оказывается корректно поставленной.- Прим. ред.

стическая форма следующая:
$$\frac{d}{dt}(v\pm 2\sqrt{g^{\prime }h})=g^{\prime }S-C_f\frac{v^2}{h}\text{ на }\frac{dx}{dt}=v\pm \sqrt{g^{\prime }h}.$$

Пример 9′. Для упрощенной кинематической аппроксимации уравнений (3.38) характеристическая форма сводится к одному уравнению
$$\frac{dh}{dt}=0\text{ на }\frac{dx}{dt}=\frac{3}{2}{\left(\frac{g^{\prime }S}{C_f}\right)}^{1/2}{h}^{1/2}.$$

Пример 10. Магнитная газовая динамика. Для проводящего газа в магнитном поле уравнения (в стандартных обозначениях) иногда записывают в виде
$$\begin{array}{rl}{\rho }_t+u{\rho }_x+\rho u_x& =0,\\ \rho (u_t+u{u}_x)+p_x& =jB,\\ \frac{1}{\gamma -1}(p_t+u{p}_x)-\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p}{\rho }({\rho }_t+u{\rho }_x)& =\frac{j^2}{\sigma },\\ B_t+E_x& =0,\\ {\epsilon }_0{E}_t+\frac{1}{\mu }{B}_x+j& =0,\end{array}$$

где $j=\sigma (E-uB)$. Характеристические скорости равны $\pm {\left({\epsilon }_0\mu \right)}^{-1/2}$, $u\pm a,u$.

Пример 10′. Если проводимость $\sigma$ очень велика, то предыдущая система приводится к упрощенному виду, часто вполне достаточному для приложений, а именно к виду
$$\begin{array}{rl}{\rho }_t+u{\rho }_x+\rho u_x& =0,\\ B_t+u{B}_x+B{u}_x& =0,\\ \rho (u_t+u{u}_x)+p_x+\frac{1}{\mu }B{B}_x& =0,\\ \frac{1}{\gamma -1}(p_t+u{p}_x)-\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p}{\rho }({\rho }_t+u{\rho }_x)& =0;\end{array}$$

характеристические скорости теперь равны $u\pm {(a^2+B^2/\mu \rho )}^{1/2}$, $u,u$.

Пример 11. Нелинейные эффекты для электромагнитных волн. При простом, но, возможно, идеализированном описании явлений нелинейной оптики можно положить
$$\begin{array}{c}\frac{\partial B}{\partial t}+\frac{\partial E}{\partial x}=0,\\ \frac{\partial D}{\partial t}+\frac{1}{\mu }\frac{\partial B}{\partial x}=0,\end{array}$$

причем $D=D(E)$. Характеристическая форма этих уравнений такова
$$\frac{dB}{dt}\pm \frac{1}{c(E)}\frac{dE}{dt}=0\text{ на }\frac{dx}{dt}=\pm c(E),$$

где $c(E)={\{\mu D^{\prime }(E)\}}^{-1/2}$. Дисперсионные эффекты, как правило, противоречат соотношению $D=D(E)$.

Пример 12. Нелинейные упругие волны в стержне. Взяв в качестве зависимых переменных перемещение $\xi (x,t)$ сечения, первоначально расположенного в точке $x$, и напряжение $\sigma (x,t)$, одномерное уравнение распространения волн в стержне можно записать в следующем виде:
$${\rho }_0{\xi }_{tt}={\sigma }_x,$$

где ${\rho }_0$ — первоначальная плотность в недеформированном состоянии. Введя деформацию $\epsilon ={\xi }_x$ и скорость $u={\xi }_t$, получим эквивалентную систему
$$\begin{array}{rl}{\rho }_0{u}_t-{\sigma }_x& =0,\\ {\epsilon }_t-u_x& =0.\end{array}$$

В линейной теории полагают $\sigma$ с $\epsilon$, но можно учесть и нелинейные эффекты, считая $\sigma$ более общей функцией $\sigma =\sigma (\epsilon )$. Характеристические скорости равны ${\pm \{{\sigma }^{\prime }(\epsilon )/{\rho }_0)\}}^{1/2}$. При надлежащем выборе $\sigma (\epsilon )$ распространение связано с интересными эффектами; в частности, несколько странно, что ударные волны возникают в разгрузочной фазе возмущения. Этот вопрос рассмотрен в книге Куранта и Фридрихса ([1], стр. 235).