В почти линейной теории можно поступать точно так же, как и в § 14.2. В оптике более принято, чтобы дисперсионное соотношение выражало $k$ или $n$ как функцию от $\omega$, так что в теории модуляций мы примем за основные переменные (1) и $a$. Дисперсионное соотношение можно записать в виде ${ }^{1}$ )
\[
k=k_{0}(\omega)+k_{n}(\omega) a^{2},
\]

где
\[
k_{0}(\omega)=\frac{\omega n_{0}(\omega)}{c_{0}}, \quad k_{n}(\omega)=\frac{\omega n_{2}(\omega)}{2 c_{0}} .
\]

В низшем порядке уравнения модуляций, соответствующие уравнениям (14.18) $-(14.19)$, имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial a^{2}}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}\left\{k_{0}^{\prime}(\omega) a^{2}\right\} & =0, \\
\frac{\partial \omega}{\partial x}+k_{0}^{\prime}(\omega) \frac{\partial \omega}{\partial t}+k_{n}(\omega) \frac{\partial a^{2}}{\partial t} & =0 .
\end{aligned}
\]

Характеристические скорости определяются равенствами
\[
\frac{1}{C}=k_{0}^{\prime}(\omega) \pm\left\{k_{n}(\omega) k_{0}^{\prime \prime}(\omega)\right\}^{1 / 2} a .
\]

Уравнения являются гиперболическими, если $k_{n} k_{0}^{\prime \prime}>0$, и эллиптическими, если $k_{n} k_{0}^{\prime \prime}<0$. В силу дисперсионного соотношения (16.11), знак $k_{0}^{\prime \prime}$ совпадает со знаком $v_{0}^{2}-\omega^{2}$, а знак $k_{n}$ совпадает со знаком $\alpha$. Отсюда видим, что уравнения
\[
\begin{aligned}
\text { гиперболические: } & \alpha\left(v_{0}^{2}-\omega^{2}\right)>0, \\
\text { эллиптические: } & \alpha\left(v_{0}^{2}-\omega^{2}\right)<0 . \text {. }
\end{aligned}
\]

Эти результаты впервые были получены Островским [1]. Обычно в оптике $\omega^{2}<v_{0}^{2}, \alpha>0$, так что уравнения оказываются гиперболическими. Однако Островский [2] сообщает об экспериментах на радиочастотах с ферритами и полупроводниковыми диодами, где можно получить оба случая. Обнаружены как гиперболическое искажение, так и эллиптическая неустойчивость, и, по-видимому, в результате образуются устойчивые модуляции (ср. с обсуждением әффектов более высокого порядка в § 15.5).

Эффекты следующего порядка приводят к тому, что в выражении (16.17) для $\mathscr{L}$ появляются квадратичные по производным от $a$ п $b$ члены. Тогда уравнения модуляций оказываются по структу-
1) Для обозначений нелинейного коэффициента мы используем $k_{n}$ вместо $k_{2}$, поскольку $k_{2}$ потребуется в дальнейпем для обозначения $x_{2}$-компоненты вектора $\mathbf{k}$.

ре подобными уравнениям, рассмотренным в § 15.5. Качественно явления одинаковы, так что детали для этого случая приводить не будем. Основные результаты были получены Островским [1], а Смолл [1] показал, как можно использовать вариационный подход. Мы, однако, изучим в следующем параграфе аналогичную задачу о пространственных модуляциях и самофокусировке пучка. Для них важны эффекты высшего порядка, так что мы кратко обрисуем теорию.

Полностью нелинейные результаты, соответствующие выражениям (16.26) – (16.27), можно получить из § 15.2 , используя подходящий лагранжиан. Для простой модели, рассмотренной выше, такой лагранжиан дается равенством (16.15).