Обобщение на большее число пространственных измерений очевидно. Для плоской периодической волны решение имеет вид $\varphi=$ $=\Psi(\theta)$, где $\theta=\theta(\mathbf{x}, t)$ зависит от вектора $\mathbf{x}$, и распространение происходит в направлении волнового вектора $\mathbf{k}=\theta_{\mathbf{x}}$. Усредненный лагранжиан переходит в $\mathscr{L}(\omega, \mathbf{k}, A)$, и становятся возможными модуляции в пространстве (т. е. медленно пзгибающиеся фазовые поверхности). Уравнения модуляций имеют впд (11.80) (11.82). В обосновании, проведенном в предыдущем параграфе, потребуются только очевидные изменения, состоящие в замене $x$, $X, k$ на $x_{i}, X_{i}, k_{i}$ и — в случае необходимости — соответствующих суммированиях.

Случай одного уравнения высшего порядка рассматривается аналогично, лишь с незначительными обобщениями. В вариапионном принципе (14.31) и на всех поспедующих этапах появятся производные высших порядков, но необходимые обобщения очевидны.

Случай большего числа зависимых переменных требует подробного рассмотрения. Прежде всего для линейной системы относительно неизвестных функций $\varphi^{(\alpha)}(\mathbf{x}, t)$ периодическпе волновые пакеты можно описывать выражениями
\[
\varphi^{(\alpha)}=a_{\alpha} \cos \theta+b_{\alpha} \sin \theta .
\]

Полученный при их помощи усредненный лагранжиан является функцией от двух наборов $a_{\alpha}, b_{\alpha}$, а также от $\omega$ in $\mathbf{k}$. Соответствующий вариационный принцип
\[
\delta \iint \mathscr{L}\left(\theta_{t}, \theta_{x_{i}}, a_{\alpha}, b_{\alpha}\right) d \mathbf{x} d t=0
\]

приводит к вариационным уравнениям
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{a_{\alpha}} & =0, \quad \mathscr{L}_{b_{\alpha}}=0, \\
\frac{\partial}{\partial t} \mathscr{L}_{\omega}-\frac{\partial}{\partial x_{j}} \mathscr{L}_{k_{j}} & =0, \\
\frac{\partial k_{i}}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x_{i}} & =0, \quad \frac{\partial k_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial k_{j}}{\partial x_{i}}=0 .
\end{aligned}
\]

Система уравнений $\mathscr{L}_{a_{\alpha}}=\mathscr{L}_{b_{\alpha}}=0$ линейна и однородна (поскольку $\mathscr{L}$ квадратичен по $a_{\alpha}$ и $b_{\alpha}$ ), и в общем случае ее можно решить, выразив $a_{\alpha}$ и $b_{\alpha}$ через единую амплитуду $a$. Эти выражения можно снова подставить в лагранжиан и представить $\mathscr{L}$ в виде функции $\mathscr{L}_{1}(\omega, \mathbf{k}, a)$, так что уравнения модуляций будут такими же, как и в случае одной переменной. Данная подстановка допустима, поскольку ограничения, наложенные на выбор величин $a_{\alpha}$ и $b_{\alpha}$, удовлетворяют условиям стационарности. Эту эквива-

лентность можно проверить и нешосредственно, так как
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{L}_{1 a}=\frac{\partial a_{\alpha}}{\partial a} \mathscr{L}_{a_{\alpha}}+\frac{\partial b_{\alpha}}{\partial a} \mathscr{L}_{b_{\alpha}}=0, \\
\mathscr{L}_{1 \omega}=\mathscr{L}_{\omega}+\frac{\partial a_{\alpha}}{\partial \omega} \mathscr{L}_{a_{\alpha}}+\frac{\partial b_{\alpha}}{\partial \omega} \mathscr{L}_{b_{\alpha}}=\mathscr{L}_{\omega}
\end{array}
\]

и аналогично $\mathscr{L}_{1 k_{j}}=\mathscr{L}_{k_{j}}$. В результате подстановок в зависимости от конкретного выбора соотношений могут получиться различные выражения для $\mathscr{L}_{1}$, но окончательные уравнения будут одни и те же. Это доказывается использованием двух масштабов времени так же, как иा выше.

В нелинейном случае обычно имеется система уравнений с соответствующим лагранжианом $L\left\{\varphi_{t}^{(\alpha)}, \varphi_{x}^{(\alpha)}, \varphi^{(\alpha)}\right\}$, содержащим только функции $\varphi^{(\alpha)}$ и их первые производные. Однако характерно, что для некоторых функций $ч$ в лагранжиане $L$ фигурируют только производные; такие функции являются «нотенциалами» в том смысле, что лишь производные $\varphi_{t}, \varphi_{\mathrm{x}}$ являются физическими величинами. Это требует далеко нетривиального обобщения с важными математическими и физическими следствиями. Для решения в виде однородного волнового пакета любую потенциальную переменную $\widetilde{\varphi}$ следует представить в виде
\[
\widetilde{\varphi}=\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{x}-\gamma t+\widetilde{\Phi}(\theta), \quad \theta=\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-\omega t
\]

для того, чтобы обеспечить полную общность. Физические величины содержат только
\[
\tilde{\varphi}_{t}=-\gamma-\omega \widetilde{\Phi}_{\theta}, \quad \tilde{\varphi}_{\mathbf{x}}=\boldsymbol{\beta}+\mathbf{k} \widetilde{\Phi}_{\theta},
\]

где $-\boldsymbol{\gamma}$ и $\boldsymbol{\beta}$ являются средними значениями. Это важные физические величины; например, в случае жидкости они дают среднюю скорость жидкости и среднюю высоту. Более того, наиболее важный нелинейный эффект состоит во взаимодействии модуляций волнового пакета с аналогичными медленными изменениями этих средних величин. Таким образом, в теории модуляций обобщением члена $\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{x}-\gamma t$ следует считать функцию $\widetilde{\theta}(\mathbf{x}, t)$, а $\gamma, \boldsymbol{\beta}$ определить равенствами
\[
\gamma=-\widetilde{\theta}_{t}, \quad \boldsymbol{\beta}=\widetilde{\theta}_{\mathbf{x}} .
\]

Функция $\tilde{\theta}$ аналогична функции $\theta$ и играет в задаче роль псевдофазы. Величины $\gamma$ и $\boldsymbol{\beta}$ являются псевдочастотой и псевдоволновым вектором. Далее, для каждого потенциала $\tilde{\varphi}$ в соответствующем уравнении Эйлера
\[
\frac{\partial}{\partial t} L_{\widetilde{\varphi}_{t}}+\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}} \cdot L_{\widetilde{\varphi}_{\mathbf{x}}}=0
\]

отсутствует член $L_{\widetilde{\varphi}}$, и в процессе анализа это всегда приводит к дополнительному интегралу и к дополнительному параметру $B$, аналогичному $A$. Тройки $(\gamma, \boldsymbol{\beta}, B)$, хотя и вспомогательные, подобны основной тройке $(\omega, \mathbf{k}, A)$.
Аналог формулы (14.34) для функции (14.62) имеет вид
\[
\tilde{\varphi}(\mathbf{x}, t)=\varepsilon^{-1} \widetilde{\Theta}(\mathbf{X}, T)+\widetilde{\Phi}(\theta, \mathbf{X}, T ; \varepsilon),
\]

где
\[
\gamma(\mathbf{X}, T)=-\widetilde{\Theta}_{T}, \quad \boldsymbol{\beta}(\mathbf{X}, T)=\widetilde{\Theta}_{\mathbf{X}}, \quad \mathbf{X}=\varepsilon \mathbf{x}, \quad T=\varepsilon t
\]

и $\widetilde{\Phi}$ выбирается периодической по $\theta$. Для лагранжпана
\[
L\left(\varphi_{t}, \varphi_{\mathbf{x}}, \varphi, \tilde{\varphi}_{t}, \tilde{\varphi}_{\mathbf{x}}\right)
\]

можно показать, что уравнения с двумя масштабами времени и условия 2л-периодичности по $\theta$ функций Ф и Ф эквивалентны точному вариационному принципу, аналогичному (14.44). В низшем порядке он имеет вид
\[
\delta \iint \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} L\left(-\omega \Phi_{\theta}, \mathbf{k} \Phi_{\theta}, \Phi,-\gamma-\omega \widetilde{\Phi}_{\theta}, \boldsymbol{\beta}+\mathbf{k} \widetilde{\Phi}_{\theta}\right) d \theta d \mathbf{X} d T=0 .
\]

Вариационные уравнения, соответствующие вариациям $\delta Ф$ и $\delta \widetilde{\Phi}$, определяют функции Ф и $\widetilde{\Phi}$, и мы имеем два интеграла
\[
\begin{aligned}
\left(-\omega L_{1}+\mathbf{k} \cdot L_{2}-\omega L_{4}+\mathbf{k} \cdot L_{5}\right) \Phi_{\theta}-L & =A(\mathbf{X}, T), \\
-\omega L_{4}+\mathbf{k} \cdot L_{5} & =B(\mathbf{X}, T) .
\end{aligned}
\]

Вариации $\delta \Theta$ и $\delta \widetilde{\Theta}$ приводят к двум вековым условиям
\[
\frac{\partial}{\partial t} \bar{L}_{\omega}-\frac{\partial}{\partial \mathbf{X}} \cdot \bar{L}_{\mathbf{k}}=0, \quad \frac{\partial}{\partial T} \bar{L}_{\gamma}-\frac{\partial}{\partial \mathbf{X}} \cdot \bar{L}_{\beta}=0 .
\]

Наконец, можно, как и ранее, ввести преобразование Гамильтона, основанное на обобщенных импульсах $\partial L / \partial \Phi_{\theta}, \partial L / \partial \widetilde{\Phi}_{\theta}$, и, используя равенства (14.67) — (14.68), исключить явную зависимость Тогда получим
\[
\delta \iint \mathscr{L}(\omega, \mathbf{k}, A, \gamma, \boldsymbol{\beta}, B) d \mathbf{X} d T=0 .
\]

Соответствующие вариационные уравнения
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{A} & =0, \quad \mathscr{L}_{B}=0, \\
\frac{\partial}{\partial T} \mathscr{L}_{\omega}-\frac{\partial}{\partial X_{j}} \mathscr{L}_{k_{j}} & =0, \quad \frac{\partial}{\partial T} \mathscr{L}_{\gamma}-\frac{\partial}{\partial X_{j}} \mathscr{L}_{\beta_{j}}=0
\end{aligned}
\]

дополняются условиями совместности
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial k_{i}}{\partial T}-\frac{\partial \omega}{\partial \bar{X}_{i}}=0, \quad \frac{\partial \beta_{i}}{\partial T}-\frac{\partial \gamma}{\partial X_{i}}=0, \\
\frac{\partial k_{i}}{\partial \bar{X}_{j}}-\frac{\partial k_{j}}{\partial X_{i}}=0, \quad \frac{\partial \beta_{i}}{\partial \bar{X}_{j}}-\frac{\partial \beta_{j}}{\partial \bar{X}_{i}}=0 .
\end{array}
\]

Дальнейшие детали и примеры приведены в статьях автора (Уизем $[10,11,13])$. Приложение к волнам на воде конечной глубины, где дополнительные параметры являются определяющими, будет дано в гл. 16.

В рассматриваемом более общем случае закон сохранения энергии, соответствующий, в силу теоремы Нётер, инвариантности лагранжиана в вариационном принципе (14.69) относительно сдвигов по $T$, имеет вид
\[
\frac{\partial}{\partial T}\left(\omega \mathscr{L}_{\omega}+\gamma \mathscr{L}_{\gamma}-\mathscr{L}\right)+\frac{\partial}{\partial X_{j}}\left(-\omega \mathscr{L}_{k_{j}}-\gamma \mathscr{L}_{\beta_{j}}\right)=0 .
\]

Закон сохранения импульса, соответствующий инвариантности относительно сдвигов по $X_{i}$, записывается в виде
\[
\frac{\partial}{\partial T}\left(k_{i} \mathscr{L}_{\omega}+\beta_{i} \mathscr{L}_{\gamma}\right)+\frac{\partial}{\partial X_{j}}\left(-k_{i} \mathscr{L}_{k_{j}}-\beta_{i} \mathscr{L}_{\beta_{j}}+\mathscr{L} \delta_{i j}\right)=0 .
\]

Чтобы получить дальнейщие обобщения, заметим, что если параметры среды не постоянны, а зависят от $\mathbf{X}$ и $T$, то $\mathbf{X}$ и $T$ в явном виде войдут в лагранжиан и, следовательно, в $\mathscr{L}$. Вариационные уравнения (14.70) — (14.73) при этом останутся без изменения. Однако в правых частях законов сохранения (14.74) — (14.75) появятся члены $-\mathscr{L}_{T}$ и $\mathscr{L}_{X_{i}}$ соответственно. (Это можно проверить непосредственно при помощи (14.70) — (14.73).)