Уравнения (16.92) или эквивалентную систему (16.94) – (16.95) можно рассматривать как уравнения, описывающие индуцируемые волнами изменения параметров $h$ и $U$. Это длинноволновые уравнения (см. (13.79)) с дополнительным волновым членом $S$. Мы интересуемся здесь изменениями параметров $h$ и $U$, индуцированными волновым пакетом. Для волн, движущихся по спокойной воде глубиной $h_{0}$, можно предноложить, что $U$ и $b=h-h_{0}$ малы, и линеаризовать уравнения; это дает
\[
\begin{aligned}
b_{t}+h_{0} U_{x} & =0, \\
U_{t}+g b_{x} & =-\frac{S_{x}}{\rho h_{0}} .
\end{aligned}
\]

Для многих целей достаточно считать $S$ известным силовым полем, уже определенным с помощью линейной дисперсионной теории для распределений $k$ и $E$. Поскольку в этой теории
\[
k_{t}+C_{0}(k) k_{x}=0, \quad E_{t}+\left(C_{0} E\right)_{x}=0
\]

и $S$ имеет форму $f(k) E$, получаем, что
\[
\{g(k) S\}_{t}+\left\{g(k) C_{0} S\right\}_{x}=0
\]

для любой функции $g(k)$. Тогда легко проверить, что решением системы (16.98) являются
\[
\begin{aligned}
b & =h-h_{0}=-\frac{h_{0}}{g h_{0}-C_{0}^{2}(k)} \cdot \frac{S}{\rho h_{0}}, \\
U & =\beta+\frac{E}{\rho c_{0} h_{0}}=-\frac{C_{0}(k)}{g h_{0}-C_{0}^{2}(k)} \cdot \frac{S}{\rho h_{0}} .
\end{aligned}
\]

К этим выражениям можно добавить решения однородных уравнений, т. е. функции от $x \pm \sqrt{g h_{0}} t$. Из (16.99) видно, что разность групповой скорости и длинноволновой скорости $\sqrt{g h_{0}}$ не должна быть слипком мала по сравнению с $a^{2}$. Но именно это требуется для справедливости разложения Стокса; в пределе $C_{0}^{2} \rightarrow g h_{0}$ мы приходим к уравнению Кортевега – де Фриза.

При образовании волнового пакета неустановившиеся длинные волны распространяются со скоростями $\pm \sqrt{g h_{0}}$, но (опять предполагая, что $C_{0}$ и $\sqrt{g h_{0}}$ достаточно хорошо разделены) среднее течение и средняя высота, сопутствующие волновому пакету, даются равенствами (16.99). Неустановившиеся волны, возникающие за движущимся в воде препятствием, подробно изучены Бенджаменом [2].