В случае нелинейных систем уравнений, описывающих плоские волны различных порядков, мы, как правило, не имеем полного точного решения уравнений и при аналитическом анализе приходится опираться на аналоги приближенных выражений из предыдущего параграфа. Детали продедуры будут меняться от задачи к задаче, но можно отметить некоторые общие путеводные нити. Для удобства ссылок будем называть полную систему уравнений системой I, а упрощенную систему, получаемую при равенстве нулю некоторого параметра $\eta$, системой II.
Теория характеристик дает характеристические скорости $c_{1}, \ldots, c_{n}$ для системы I и характеристические скорости $a_{1}, \ldots$ $\ldots, a_{m}(m<n)$ для системы II. В случае произвольной нелинейной задачи они будут функциями от зависимых переменных. Однако линеаризованная теория для малых возмущений около некоторого однородного состояния оказывается полезной для подготовки арены дальнейших действий и является источником информации об устойчивости. Если имеются только два порядка, то линеаризованная теория для плоских волн в однородной среде сводится к одному уравнению
\[
\begin{aligned}
\eta\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{1} \frac{\partial}{\partial x}\right) \cdots & \left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{n} \frac{\partial}{\partial x}\right) \varphi+ \\
& +\left(\frac{\partial}{\partial t}+a_{1} \frac{\partial}{\partial x}\right) \cdots\left(\frac{\partial}{\partial t}+a_{m} \frac{\partial}{\partial x}\right) \varphi=0
\end{aligned}
\]
для некоторого потенциала возмущения $\varphi$, где постоянные скорости распространения равны своим значениям в однородном состоянии. Стандартное исследование устойчивости приводит к следующему интересному результату: в устойчивом случае порядки связаны формулами $m=n-1$ или $m=n-2$. В первом случае полные требования имеют вид
\[
m \quad n-1, \quad \eta \geqslant 0, \quad c_{1}>a_{1}>c_{2}>a_{2}>\ldots>a_{n-1}>c_{n} .
\]
Это как раз те условия, которые допускают удовлетворительную интерпретацию процесса аппроксимации решений полной системы II решениями системы I. Второй случай $m=n-2$ вводит әффекты, более типичные для диспергирующих волн, и его обсуждение переносится во вторую часть книги. (Условия устойчивости для этого случая были получены Ву [1], исправившим неправильное утверждение автора, считавшего, что (10.42) – единственный допустимый случай.)
Уравнение (10.41) можно решить при помощи преобразования Фурье, но набросок общей картины можно сделать на основе подхода, описанного в предыдущем параграфе. Каждая из $c_{i}$-волн удовлетворяет приближенному уравнению
\[
\eta\left(\varphi_{t}+c_{i} \varphi_{x}\right)+\gamma_{i} \varphi=0,
\]
где $\gamma_{i}$ выражается через скорости $a$ и $c$ подобно тому, как это имело место в уравнении (10.36). Из условий устойчивости следует, что $\gamma_{i}>0$, так что происходит экспоненциальное затухание. Аналогичным образом $a_{i}$-волны удовлетворяют приближенному уравнению
\[
\varphi_{t}+a_{i} \varphi_{x}=\eta \alpha_{i} \varphi_{x x}
\]
аналогичному уравнению (10.28), причем $\alpha_{i}>0$.
Для учета нелинейных эффектов следует стремиться получить взамен уравнения (10.43) уравнение вида
\[
\varphi_{t}+c_{i}(\varphi) \varphi_{x}+\beta_{i} \varphi=0 .
\]
Теперь между волнами каждого из порядков существует нетривиальное взаимодействие, и вывод уравнения (10.45) потребует рассуждений типа «обоснования простой волны». В нелинейных задачах обычно удобнее работать с $n$ зависимыми переменными и системой уравнений первого порядка. Метод использования для $c_{i}$-волн приближенного равенства $\partial / \partial t \simeq-c_{i} \partial / \partial x$, грубо говоря, эквивалентен предположению, что $n-1$ римановы переменные, соответствующие $n-1$ остальным $c$-волнам, постояшиы.
К уравнешию (10.45) применима теория, изложенная в г.п. 2. Волны, переносящие возрастание $c_{i}(\varphi)$, могут опрокидываться (см. обсуждение формулы (2.72)), и потребуется введение ударных волн. Эти ударные волны будут разрывами системы I, и условия на разрыве выводятся стандартным образом из соответствующей системы уравнений сохранепия. Для $\beta_{i}>0$ даже при наличии ударных волн возмущение обычно затухает и основное возмущение фактически переносится волнами низшего порядка.
Если $\eta=0$, то нелинейная простая волна на $a_{i}$-характеристике будет удовлетворять уравнению вида
\[
\varphi_{t}+a_{i}(\varphi) \varphi_{x}=0 .
\]
Ударные волпы, входящие в репение этого уравпения, будут удовлетворять условиям на разрыве, выведенным для упрощенной системы II и отличающимся от условий на разрыве для системы I.
Для учета диффузионых эффектов следует стремиться получить уравнение
\[
\varphi_{t}+a_{i}(\varphi) \varphi_{x}=v_{i} \varphi_{x x},
\]
соответствующее уравнению (10.37). Можно сопоставить это уравнение с уравнением Бюргерса для $a_{i}$ в том же порядке приближения и использовать результаты, изложенные в гл. 4.
