В случае нелинейных систем уравнений, описывающих плоские волны различных порядков, мы, как правило, не имеем полного точного решения уравнений и при аналитическом анализе приходится опираться на аналоги приближенных выражений из предыдущего параграфа. Детали продедуры будут меняться от задачи к задаче, но можно отметить некоторые общие путеводные нити. Для удобства ссылок будем называть полную систему уравнений системой I, а упрощенную систему, получаемую при равенстве нулю некоторого параметра $\eta$, системой II.

Теория характеристик дает характеристические скорости $c_1,\dots ,c_n$ для системы I и характеристические скорости $a_1,\dots$ $\dots ,a_m(m<n)$ для системы II. В случае произвольной нелинейной задачи они будут функциями от зависимых переменных. Однако линеаризованная теория для малых возмущений около некоторого однородного состояния оказывается полезной для подготовки арены дальнейших действий и является источником информации об устойчивости. Если имеются только два порядка, то линеаризованная теория для плоских волн в однородной среде сводится к одному уравнению
$$\begin{array}{rl}\eta (\frac{\partial }{\partial t}+c_1\frac{\partial }{\partial x})\cdots & (\frac{\partial }{\partial t}+c_n\frac{\partial }{\partial x})\phi +\\ & +(\frac{\partial }{\partial t}+a_1\frac{\partial }{\partial x})\cdots (\frac{\partial }{\partial t}+a_m\frac{\partial }{\partial x})\phi =0\end{array}$$

для некоторого потенциала возмущения $\phi$, где постоянные скорости распространения равны своим значениям в однородном состоянии. Стандартное исследование устойчивости приводит к следующему интересному результату: в устойчивом случае порядки связаны формулами $m=n-1$ или $m=n-2$. В первом случае полные требования имеют вид
$$mn-1,\eta ⩾0,c_1>a_1>c_2>a_2>\dots >a_{n-1}>c_n.$$

Это как раз те условия, которые допускают удовлетворительную интерпретацию процесса аппроксимации решений полной системы II решениями системы I. Второй случай $m=n-2$ вводит әффекты, более типичные для диспергирующих волн, и его обсуждение переносится во вторую часть книги. (Условия устойчивости для этого случая были получены Ву [1], исправившим неправильное утверждение автора, считавшего, что (10.42) — единственный допустимый случай.)

Уравнение (10.41) можно решить при помощи преобразования Фурье, но набросок общей картины можно сделать на основе подхода, описанного в предыдущем параграфе. Каждая из $c_i$-волн удовлетворяет приближенному уравнению
$$\eta ({\phi }_t+c_i{\phi }_x)+{\gamma }_i\phi =0,$$

где ${\gamma }_i$ выражается через скорости $a$ и $c$ подобно тому, как это имело место в уравнении (10.36). Из условий устойчивости следует, что ${\gamma }_i>0$, так что происходит экспоненциальное затухание. Аналогичным образом $a_i$-волны удовлетворяют приближенному уравнению
$${\phi }_t+a_i{\phi }_x=\eta {\alpha }_i{\phi }_{xx}$$

аналогичному уравнению (10.28), причем ${\alpha }_i>0$.

Для учета нелинейных эффектов следует стремиться получить взамен уравнения (10.43) уравнение вида
$${\phi }_t+c_i(\phi ){\phi }_x+{\beta }_i\phi =0.$$

Теперь между волнами каждого из порядков существует нетривиальное взаимодействие, и вывод уравнения (10.45) потребует рассуждений типа «обоснования простой волны». В нелинейных задачах обычно удобнее работать с $n$ зависимыми переменными и системой уравнений первого порядка. Метод использования для $c_i$-волн приближенного равенства $\partial /\partial t\simeq -c_i\partial /\partial x$, грубо говоря, эквивалентен предположению, что $n-1$ римановы переменные, соответствующие $n-1$ остальным $c$-волнам, постояшиы.

К уравнешию (10.45) применима теория, изложенная в г.п. 2. Волны, переносящие возрастание $c_i(\phi )$, могут опрокидываться (см. обсуждение формулы (2.72)), и потребуется введение ударных волн. Эти ударные волны будут разрывами системы I, и условия на разрыве выводятся стандартным образом из соответствующей системы уравнений сохранепия. Для ${\beta }_i>0$ даже при наличии ударных волн возмущение обычно затухает и основное возмущение фактически переносится волнами низшего порядка.

Если $\eta =0$, то нелинейная простая волна на $a_i$-характеристике будет удовлетворять уравнению вида
$${\phi }_t+a_i(\phi ){\phi }_x=0.$$

Ударные волпы, входящие в репение этого уравпения, будут удовлетворять условиям на разрыве, выведенным для упрощенной системы II и отличающимся от условий на разрыве для системы I.

Для учета диффузионых эффектов следует стремиться получить уравнение
$${\phi }_t+a_i(\phi ){\phi }_x=v_i{\phi }_{xx},$$

соответствующее уравнению (10.37). Можно сопоставить это уравнение с уравнением Бюргерса для $a_i$ в том же порядке приближения и использовать результаты, изложенные в гл. 4.