Для малых возмущений в несжимаемой жидкости, поступательно движущейся со скоростью $U$ вдоль оси $x_{3}$ и вращающейся как твердое тело вокруг этой оси с угловой скоростью $\Omega$, линеаризованные уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{rlrl}
\frac{D u_{1}}{D t}-2 \Omega u_{2} & =-\frac{\partial P}{\partial x_{1}}, & \frac{\partial u_{2}}{D t}+2 \Omega u_{1}=-\frac{\partial P}{\partial x_{2}}, \\
\frac{D u_{3}}{D t} & =-\frac{\partial P}{\partial x_{3}}, \quad \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}=0,
\end{array}
\]
где
\[
P=\frac{p-p_{0}}{\rho}-\frac{1}{2} \Omega^{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right), \quad \frac{D}{! D t}=\frac{\partial}{\partial t}+U \frac{\partial}{\partial x_{3}} .
\]
Исключив возмущения скорости, получим для $P$ уравнение
\[
\left(\frac{\partial}{\partial t}+U \frac{\partial}{\partial x^{3}}\right)^{2}
abla^{2} P+4 \Omega^{2} \frac{\partial^{2} P}{\partial x_{3}^{2}}=0 .
\]
В случае $U=0$ приведенное уравнение для периодических возмущений $P=\mathscr{P} e^{-i \omega t}$ имеет вид
\[
\frac{\partial^{2} \mathscr{P}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} \mathscr{O}}{\partial x_{2}^{2}}+\left(1-\frac{4 \Omega^{2}}{\omega^{2}}\right) \frac{\partial^{2} \mathscr{S}}{\partial x_{3}^{2}}=0 .
\]
Переход типа этого уравнения из эллиптического при $\omega>2 \Omega$ в гиперболический при $\omega<2 \Omega$ приводит как к интересному физическому явлению, так и к интересным математическим задачам. При $\omega>2 \Omega$ возмущение от источника затухает как $1 / r^{2}$, что характерно для дипольного решения уравнения Лапласа, тогда как при $\omega<2 \Omega$ оно сосредоточено внутри характеристического конуса, ось которого совпадает с осью $x_{3}$, а угол полураствора равен $\operatorname{arctg}\left(4 \Omega^{2} / \omega^{2}-1\right)^{-1 / 2}$. Для течения внутри сосуда граничные условия являются эллиптическими, что приводит к необычным задачам на собственные значения в гиперболическом случае
$\omega<2 \Omega$. Решения были найдены для специальных форм сосудов (Гринспән [1], Барсилон [1], Франклин [1] ) $\mathbf{1}$ ).
Когда существует поступательное течение со скоростью $U$, дисперсионное соотношение для уравнения (12.47) принимает вид
\[
\left(\omega-U k_{3}\right)^{2} k^{2}-4 \Omega^{2} k_{3}^{2}=0 .
\]
Волны возможны лишь в том случае, когда ( $\left.\omega-U k_{3}\right)^{2}<4 \Omega^{2}$; для $U=0$ это согласуется с условием гиперболичности уравнения (12.48). Две моды определяются как
\[
\omega=U k_{3} \pm \frac{2 \Omega k_{3}}{k},
\]
а групповая скорость имеет компоненты
\[
\begin{array}{l}
C_{1}=\mp 2 \Omega \frac{k_{1} k_{3}}{k^{3}}, \quad C_{2}=\mp 2 \Omega \frac{k_{2} k_{3}}{k^{3}}, \\
C_{3}=U \pm 2 \Omega \frac{\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}\right)}{k^{3}} .
\end{array}
\]
Для точечного источника с постоянной частотой $\omega$ на оси $x_{3}$ распределение волнового вектора $\mathbf{k}$ находится из уравнения
\[
\frac{x_{3}}{\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{1 / 2}}=\frac{C_{3}}{\left(C_{1}^{2}+C_{2}^{2}\right)^{1 / 2}} .
\]
При $U=0$ это дает
\[
\frac{x_{3}}{\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{1 / 2}}= \pm \frac{\left(k^{2}-k_{3}^{2}\right)^{1 / 2}}{k_{3}}= \pm\left(\frac{4 \Omega^{2}}{\omega^{2}}-1\right)^{1 / 2} .
\]
Возмущение находится на характеристическом конусе в соответствии с уравнением (12.48).
При $U
eq 0$ имеется дисперсия даже для фиксированной частоты $\omega$, и различные значения вектора $\mathbf{k}$, удовлетворяющие соотношению (12.49), распределены по различным конусам. Описанным выше методом можно получить полную картину волн; результаты приведены в статье Нигема и Нигема [1]. Но, пожалуй, самые интересные вопросы распространения волн связаны с задачей, поставленной Тейлором (столб Тейлора).
В своем знаменитом эксперименте Тейлор [2] обнаружил, что если сфера медленно проталкивается вдоль оси вращения, то весь цилиндрический столб жидкости, в который вписана эта сфера, движется вместе с ней. Полный анализ этого явления сложен (см. Гринспән [1], стр. 192), но некоторую информацию о нем может дать кинематика волнового процесса. Выберем стационарную систему отсчета, связанную с основным течением $U$. Для того
1) Основополагающей здесь является работа С. Л. Соболева «Об одной новой задаче математической физики», Изв. АН СССР, сер. матем., 18, № 1 (1954), 3-50.- Прим. ред.
чтобы впереди по течению могли возникнуть волны, необходимо выполнение неравенства $C_{3}<0$, или – что то же самое – неравенства
\[
\frac{2 \Omega\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}\right)}{k^{3}}>U
\]
Наиболее благоприятный случай получается при $k_{3}=0$, что соответствует поверхности столба Тейлора. Чтобы волны распространялись вверх по течению, они должны иметь $2 \Omega / k>U$, или, эквивалентно, $\lambda>U \pi / \Omega$. Следует ожидать, что главными являются волны с $\lambda=O(a)$, где $a$ – радиус сферы. Действительно, Тейлор обнаружил столб при $\Omega a /(\pi U)>1$, и это в точности согласуется с выбором $\lambda=a$. Дальнейшие исследования (как экспериментальные, так и теоретические) показывают, что резкого перехода нет, а существует переходная область, и сформулированный выше результат следует рассматривать как первое приближение, когда столб Тейлора выражен достаточно отчетливо.
