Как обычно, ищем решения в движущейся системе координат $X=x-U t$, но теперь допускаем поправочный коэффициент, т. е. допускаем решения вида
\[
u=e^{i r x-i s t} v(X), \quad X=x-U t,
\]

где $r$ и $s$ – постоянные. Это можно интерпретировать как некоторый произвол при выборе экспоненциального множителя в (17.62). Подстановкой получаем обыкновенное дифференциальное уравне-

ние для $v$ :
\[
v^{\prime \prime}+i(2 r-U) v^{\prime}+\left(s-r^{2}\right) v+v|v|^{2} v=0 .
\]

Положим теперь
\[
r=\frac{U}{2}, \quad s=\frac{U^{2}}{4}-\alpha ;
\]

первое условие позволяет исключить чтен с $v^{\prime}$. Теперь можно считать, что $v$ вещественно и удовлетворяет уравнению
\[
v^{\prime \prime}-\alpha v+v v^{3}=0 .
\]

Это типичное уравнение для кноидальных волн. Интегрируя один раз, получаем уравнение
\[
v^{\prime 2}=A+\alpha v^{2}-\frac{v}{2} v^{4},
\]

которое решается в эллиптических функциях. В предельном случае уединенной волны имеем $v>0, \hat{A}=0, \alpha>0$ и
\[
v=\left(\frac{2 \alpha}{v}\right)^{1 / 2} \operatorname{sech} \alpha^{1 / 2}(x-U t) .
\]

Это решение описывает волновой пакет $u$, аналогичный изображенному на рис. 15.2 и распространяющийся без искажения формы с постоянной скоростью.

Интересно, что величина $|\varphi|^{2}$ пропорциональна $\operatorname{sech}^{2}$, т. е. той же функции, которая описывает уединенные волны для уравнения Кортевега – де Фриза. Важное различие, однако, состоит в том, что теперь амплитуда и скорость являются независимыми параметрами.

Следует особо отметить, что решения (17.67) возможны только при $v>0$, т. е. в случае неустойчивости. Это опять указывает на то, что в результате воздействия малых модуляций неустойчивый волновой пакет переходит в серию уединенных волн. Такое заключение подтверждается анализом Захарова и Шабата, приведенным в следующем параграфе.