Когда в среде имеются выделенные направления, уравнение эйконала может быть несимметричным по ${\sigma }_{x_i}$. Вследствие этого лучи, определяемые как характеристики уравнения эйконала, уже не ортогональны волновому фронту. Если считать, что среда однородна, так что $\mathbf{x}$ не входит явно в уравнение эйконала, то уравнение эйконала можно записать следующим образом:
$$H(p_1,p_2,p_3)=0_s{p}_i={\sigma }_{x_i}.$$

Характеристическими уравнениями в этом случае являются
$$\frac{d{x}_i}{d\lambda }=H_{p_i},\frac{d{p}_i}{d\lambda }=0,\frac{d\sigma }{d\lambda }=p_i{H}_{p_i}.$$

На лучах величины $p_i$ постоянны, поэтому направления лучей $H_{p_i}$ постоянны и лучи являются прямыми линиями. Однако направления лучей ортогональны волновому фронту тогда и только тогда, когда
$$H_{p_i}\propto p_i,$$

Это верно тогда и только тогда, когда $H$ представляет собой функцию от $p_1^2+p_2^2+p_3^2$, т. е. в изотропном случае.

Простой пример анизотропии дает волновое уравнение в движущейся среде. Если среда имеет скорость $U$ в направлении оси $x_1$ и если $a_0$ — скорость распространения в покоящейся среде, то
\[

abla^{2} \varphi=\frac{1}{a_{0}^{2}}\left(\frac{\partial}{\partial t}+U \frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)^{2} \varphi .
\]

〈Символ $c$ зарезервирован для нормальной скорости волнового фронта, которая не равна $a_0$ ). Уравнение эйконала имеет вид
$${\sigma }_{x_i}^2=\frac{1}{a_0^2}{(1-U{\sigma }_{x_1})}^2,$$

и мы полагаем
$$H=\frac{1}{2}\{p_i^2-a_0^{-2}{(1-U{p}_1)}^2\}.$$

Направление луча определяется соотношениями
$$\frac{d{x}_1}{d\lambda }=\frac{\zeta U}{a_0^2}+(1-\frac{U^2}{a_0^2})p_1,\frac{d{x}_2}{d\lambda }=p_2,\frac{d{x}_3}{d\lambda }=p_3.$$

Оно, очевидно, не совпадает с направлением нормали р к волновому фронту. Для точечного источника волновой фронт является,

Рпс. 7.12. Волновой фронт и лучи для акустического импульса в движущейся среде.

очевидно, сферой радиуса $a_{0}t$, снесенной вниз по течению на расстояние Ut. Лучи показаны на рис. 7.12.

То, что лучи не ортогональны волновому фронту, несомненно, сначала кажется удивительным. Интуитивное представление, что волновой фронт движется по нормалям, естественно, и как следствие можно ожидать, что ортогональные траектории играют в геометрии движения основную роль. Но это совсем не так. Дело в том, что лучи связаны с распространением энергии, и ни скорость, ни направление их не обязаны совпадать с нормальной скоростью волнового фронта. Это первое проявление в ограниченной форме важного различия между фазовой скоростью и групповой скоростью. В общем виде это различие будет обсуждаться в гл. 11, и более подробное изучение лежащих в его основе понятий мы пока отложим.

Вернемся к общему случаю системы (7:81). Поскольку величины $p_i$ постоянны, уравнения интегрируются. Рассмотрим случай точечного источника, расположенного в начале координат. Пусть $s$ — расстояние от источника; тогда решение системы (7.81) имеет вид
$$x_i=l_{i}s,\sigma =p_i{l}_{i}s,$$

где $\mathbf{l}$ — единичный вектор, направленный вдоль луча и имеющий компоненты
$$l_i=\frac{H_{p_i}}{\sqrt{H_{p_j}^2}}.$$

Семейство лучей получается варьированием $p_i$ по всем значениям, удовлетворяющим уравнению
$$H(p_1,p_2,p_3)=0.$$

Каждый выбор $p_i$ определяет луч, и в момент времени $t$ волновой фронт $\sigma =t$ находится на расстоянии
$$s=\frac{t}{p_i{l}_i}$$

вдоль луча. Координаты соответствующей точки волнового фронта равны
$$x_i=\frac{l_i}{p_j{l}_j}t$$

изменяя параметры $p_1,p_2,p_3$, удовлетворяющие уравнению (7.85), получаем весь волновой фронт.

Подставляя в (7.63) приведенную форму $S=t-\sigma (\mathbf{x})$, получаем для нормальной скорости волнового фронта следующее выражение:
$$c=\frac{1}{|abla\sigma |}=\frac{1}{p}.$$

В силу этого, единичная нормаль к волновому фронту имеет компоненты
$$n_i=c{p}_i,$$

и угол $\mu$ между вектором l п нормалью определяется уравнением
$$\cos \mu =l_j{n}_j=c{l}_j{p}_j.$$

Поэтому (7.86) можно переписать как
$$s=\frac{c}{\cos \mu }t.$$

Волновой фронт движется вдоль луча с увеличенной скоростью $c/\cos \mu$, а его скорость вдоль нормали равна $c$. Иногда в качестве параметров удобнее использовать не $p_1,p_2,p_3$, а $c=1/p$ и единичную нормаль $n_i=c{p}_i$. Тогда уравнение эйконала (7.85) определяет $c$ как функцию от $\mathbf{n}$. Эта функция $c(\mathbf{n})$ описывает анизотропную среду и геометрию лучей и полностью определяет волновой фронт. Такое описание особенно удобно для плоских и осесимметричных задач. Мы описываем эти случаи в переменных $(x_1,x_2$ ), причем в осесимметричном случае переменная $x_2$ является расстоянием от оси симметрии.
Плоские и осесимметричные задачи
Пусть нормаль $\mathbf{n}$ образует угол $\psi$ с осью $x_1$; тогда уравнение эйконала определяет скорость распространения в виде $c=c(\psi )$. Чтобы описать лучи и волновой фронт в терминах $c(\psi )$, необходимо найти выражение для направленного вдоль луча единичного

Pис. 7.13. Геометрия волнового фронта, лучей п нормалей в анизотропной среде.

вектора 1 как функции от $c(\psi )$. Оказывается, что удобнее всего найти угол $\mu$ между вектором 1 и нормалью $\mathbf{n}$ (см. рис. 7.13). Поскольку $\mathbf{l}$ имеет направление $\partial H/\partial \mathbf{p}$ и $\mathbf{n}$ имеет такое же направление, что и $\mathbf{p}$, этот угол можно найти, проведя рассуждения в p-пространстве. Сначала представим вектор $H_{p_i}$ в $\mathbf{p}$-пространстве в полярных координатах $p$ и $\psi$. Он имеет компоненту $\partial H/\partial p$ в направлении $\mathbf{p}$ и компоненту $\partial H/(p\partial \psi )$, перпендикулярную к p. Отсюда
$$\mathrm{tg}\mu =\frac{1}{p}\frac{\partial H/\partial \psi }{\partial H/\partial p}.$$

С помощью функции $c(\psi )$ можно написать эквивалент уравнения эйконала для $H(p,\psi )$ :
$$H\equiv pc(\psi )-1=0.$$

Следовательно,
$$\mathrm{tg}\mu =\frac{c^{\prime }(\psi )}{c(\psi )}.$$

Это основная формула, связывающая направления векторов $\mathbf{l}$ и $\mathbf{n}$.

Лучи определяются равенствами
$$x_1=s\cos (\mu +\psi )t,x_2=s\sin (\mu +\psi )t.$$

Волновой фронт (7.88) находится на расстоянии
$$s=\frac{c(\psi )t}{\cos \mu }=t\sqrt{c^{\prime 2}+c^2}$$

вдоль луча с параметром $\psi$. Следовательно, в декартовых координатах волновой фронт определяется равенствами
$$x_1=\frac{c(\psi )t}{\cos \mu }\cos (\mu +\psi ),x_2=\frac{c(\psi )t}{\cos \mu }\sin (\mu +\psi ).$$

Исключив $\mu$ с помощью формулы (7.90), после несложных преобразований получим
$$\begin{array}{l}{x}_1=\{c(\psi )\cos \psi -c^{\prime }(\psi )\sin \psi \}t,\\ x_2=\{c(\psi )\sin \psi +c^{\prime }(\psi )\cos \psi \}t\end{array}$$

Соответствующая геометрия показана на рис. 7.13.
Формулы (7.92) и (7.93) можно вывести иначе, заметив, что волновой фронт является огибающей элементарных плоских волн
$$x_1\cos \psi +x_2\sin \psi =c(\psi )t.$$

Такая огибающая находится совместным решением этого уравнения и уравнения, полученного из него дифференцированием по $\psi$ :
$$-x_1\sin \psi +x_2\cos \psi =c^{\prime }(\psi )t.$$

Решение имеет вид (7.92), (7.93). Этот вывод проще, но он ограничен однородной средой и не выявляет каких-либо свойств лучей. Мы предпочли объединить все случаи одним методом, а именно методом характеристик для уравнения эйконала.
Источник в движущейся среде
Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, применим их к уравнению (7.82). При $p_1=\cos \psi /c,p_2=\sin \psi /c$ уравнение эйконала дает
$$\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a_0^2}{(1-\frac{U\cos \psi }{c})}^2\text{. }$$

Следовательно,
$$c(\psi )=U\cos \psi +a_0$$

для уходящей волны. Волновой фронт (7.92)-(7.93) ошисывается уравнениями
$$\begin{array}{l}{x}_1=(U+a_0\cos \psi )t,\\ x_2=(a_0\sin \psi )t.\end{array}$$

Это окружность радиуса $a_{0}t$ с центром в точке, смещенной на $Ut$ вниз по течению, как и требуется.
Магнитная газовая динамика
Снова сравнительно безобидные на вид задачи приводят к удивительно сложной геометрии. Интересный пример подобной ситуации возникает в магнитной газовой динамике. В среде с бесконечной проводимостью и однородным магнитным полем, направленным вдоль оси $x_1$, возмущения удовлетворяют уравнению
$$\frac{{\partial }^4\phi }{\partial t^4}-(a^2+b^2)\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}abl{a}^2\phi +a^2{b}^2\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}abl{a}^2\phi =0.$$

Уравнение эйконала имеет вид
$$1-(a^2+b^2)p^2+a^2{b}^2{p}_1^2{p}^2=0.$$

Полагая $p_1=\cos \psi /c,p=1/c$, получаем
$$c^4-(a^2+b^2)c^2+a^2{b}^2{\cos }^2\psi =0.$$

Существуют два расходящихся волновых фронта (быстрые и медленные волны) в соответствии с увеличением порядка уравнения (7.94).

В данном случае удобно работать в полярных координатах; в силу (7.91), волновой фронт находится на расстоянии
$$s=t\sqrt{c^{\prime 2}+c^2}$$

вдоль направления
$$\xi (\psi )=\mu (\psi )+\psi ,\mathrm{tg}\mu =\frac{c^{\prime }(\psi )}{c(\psi )}.$$

В силу (7.95), производная $c^{\prime }(\psi )$ удовлетворяет соотнопению
$$\{2c^3-(a^2+b^2)c\}{c}^{\prime }-a^2{b}^2\sin \psi \cos \psi =0.$$

Пусть теперь параметр $\psi$ меняется в интервале $0⩽\psi ⩽\pi /2$, и пусть для определенности $a>b$.

Согласно (7.95)-(7.98), имеем при $\psi \to 0$ и $\psi \to \pi /2$ следующие соотношения:
$$\psi \to 0:$$
$$\begin{array}{l}c\to a,b,\\ c^{\prime }\to 0,0,\\ \mu \to 0,0,\\ \xi \to 0,0,\\ s\to at,bt\end{array}$$

$$\begin{array}{rlrl}\psi \to \pi /2:& & \sqrt{a^2+b^2},& 0,\\ c^{\prime \prime }& \to 0,& & -\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}},\\ \mu & \to 0,& & -\frac{\pi }{2},\\ & \xi \to \frac{\pi }{2},& & 0,\\ & s\to \sqrt{a^2+b^2}t,& \frac{abt}{\sqrt{a^2+b^2}}.\end{array}$$

Решение, соответствующее первому столбцу, имеет точки $A,B$ на осях $x_1$ и $x_2$ и дает искаженный, но представляющийся естест-
Рис. 7.14. Волновые фронты в магнитной газовой динамике.

венным расходящийся волновой фронт ${\mathcal{I}}_1$, изображенный на рис. 7.14. Второе решение странное. Для обоих пределов $\psi \to 0$ п $\psi \to \pi /2$ имеем $\xi \to 0$, а $s$ является конечной величиной. Это дает точки $P$ и $Q$ на оси $x_1$. В точке $P$ мы имеем $\psi =\pi /2$, так что волновой фронт проходит по касательной к оси; в точке $Q$ мы имеем $\psi =0$ и волновой фронт перпендикулярен оси. Между $\psi =$ $=0$ и $\pi /2$ должен достигаться максимум или минимум функции $\xi$. Поскольку $\xi =\mu +\psi$, это происходит при значении $\psi$, определяемом уравнением
$$\frac{d\mu }{d\psi }+1=0$$

используя равенство $\mathrm{tg}\mu =c^{\prime }/c$, это условие можно переписать в виде
$$c^{\prime \prime }(\psi )+c(\psi )=0.$$

Можно показать, что волновой фронт имеет в этой точке заострение. Можно показать также, что $\xi$ отрицательно. Таким образом, второй фронт имеет удивительную форму ${\mathcal{I}}_2$, изображенную на
Рис. 7.15. Полные волновыө фронты в магнитной газовой динамике.

рис. 7.14. Несмотря на то что при $\psi >0$ волновой фронт локально движется в положительном направлении оси $x_2$, энергия распространяется в отрицательном направлении оси $x_2$ и как следствие волновой фронт появляется ниже оси $x_1$. Это удивительный пример различия между скоростью волнового фронта и скоростью вдоль луча, между фазовой скоростью и групповой скоростью.

Полные волновые фронты симметричны относительно осей $x_1$ и $x_2$, и полная их картина изображена на рис. 7.15.