В гиперболическом случае характеристические скорости используются для определения нелинейных групповых скоростей. Это естественное обобщение линейного случая. Расщепление двойной характеристической скорости линейной теории на две различные скорости, возможно, является наиболее важным и далеко идущим
Рис. 15.1. Групповое расщепление.
1 – простая волна на характеристике $C_{-}, 2$ – простая волна на характеристике $C_{+}, 3$ – область взаимодействия.

результатом данной теории. Как было указано в § 14.2, это предсказывает неизбежное расщепление модуляций конечных размеров на два независимых возмущения – результат, существенно отличающийся от линейной теории.

В задачах, в которых линейная групповая скорость положительна, обе нелинейные групповые скорости обычно будут также положительны. Тогда модуляции, вносимые расположенным в начале координат источником, будут распространяться по обоим семействам характеристик, как показано на рис. 15.1. В идеале будем считать, что источник, расположенный в точке $x=0$, генерирует сильно нелинейный волновой пакет вплоть до $t=0$, затем он модулирует амплитуду и частоту в течение конечного интервала времени $t_{0}$, после чего опять возвращается к тенерадии исходного волнового пакета. Заметим, что в точке $x=0$ следует наложить

два граничных условия, так что можно ввести независимые распределения для амплитуды $a$ и частоты $\omega$. Согласно обычным рассуждениям части I, будет существовать определенный период взаимодействия, но впоследствии возмущение разделится на две простые волны, распространяющиеся вдоль $C_{+-}$и $C_{-}$-характеристик, как показано на рис. 15.1. Это аналогично задаче Римана с условиями на характеристиках (см. § 6.12).

Можно оценить расстояние до точки разделения через разность характеристических скоростей. Имеем
\[
x \approx \frac{C_{+} C_{-}}{C_{+}-C_{-}} t_{0},
\]

где $C_{ \pm}$- типичные значения характеристических скоростей, а $t_{0}$ время, в течение которого источник производит модуляции. Скорости почти линейной теории (15.5) дают оценку сверху
\[
x \approx \frac{\omega_{0}^{\prime 2} t_{0}}{2 a\left(\omega_{2} \omega_{0}^{\prime \prime}\right)^{1 / 2}}
\]

Было бы чрезвычайно денным иметь экспериментальное свидетельство такого разделения, поскольку оно имеет фундаментальное значение для проверки теории модуляций. Другие родственные нелинейные эффекты наблюдались в нелинейной оптике, но этот, по-видимому, еще не обнаружен.

Простые волны, образующиеся таким образом, как указано выше, или как-либо иначе, можно найти аналитически, используя стандартные методы части I. Один инвариант Римана всюду постоянен, а модулируемые переменные $\omega, k, a$ остаются постоянными вдоль каждой характеристики из соответствующего семейства. В линейной теории $k$ остается постоянным, но $a$ с $t^{-1 / 2}$ вдоль характеристик. Это различие между нелинейным и линейным поведениями, вероятно, не так легко уловимо, как групповое расщепление, и может частично маскироваться эффектами высщего порядка.

Наконец, в рамках гиперболических задач имеется вопрос об опрокидывании и образовании ударных волн. Зависимость характеристических скоростей от модулируемых переменных вводит обычное гиперболическое искажение, и модуляции типа «сжатия» в простой волне приводят к возникновению областей многозначности репения. Что происходит дальше, пока еще не ясно.

В отличие от задач, рассматриваемых в части I, теперь нет возражений против многозначных решений как таковых. Их можно интерпретировать как суперпозицию двух или нескольких волновых пакетов с различными значениями волновых чисел $k$ и амплитуд $a$. Фактические решения не будут корректно описываться уравнениями (15.1) – (15.3), поскольку, эти уравнения были выведены в предположении существования единой фазовой функ-

ции. Но они будут, вероятно, охватываться исходным уравнением. Действительно, именно суперпозиция имеет место в линейном случае. Хотя мы и не задавались этим вопросом в предыдущих обсуждениях, можно представить себе волновой пакет с линейной групповой скоростью $C_{0}(k)$, убывающей по направлению к волновому фронту. Тогда, поскольку значения волнового числа $k$ распространяются со скоростью $C_{0}(k)$, со временем в волновом пакете возникнут области наложения.

В линейной теории суперпозиция не вносит каких-либо трудностей и весь процесс можно изучать при помощи точного решения в виде интеграла Фурье. Хотя в нелинейном случае этот продесс трудно проследить аналитически, качественно поведение кажется вполне доступным анализу. По-видимому, в области наложения понадобится что-то вроде многофазового решения, упоминавшегося в § 14.9, но исследование переходного процесса является трудной задачей.

Вторая возможность состоит в том, что члены высшего порядка модуляционного приближения играют большую роль при ситуации, близкой к опрокудыванию, и препятствуют развитию многозначного решения. В общем случае легко убедиться (и это будет достаточно подробно показано в следующем параграфе), что за счет әффектов высшего порядка в уравнениях (15.2) и (15.3) обычно появляются дополнительные члены, содержащие производные третьего порядка. Внешне эти уравнения становятся подобными уравнениям Буссинеска и Кортевега – де Фриза. По аналогии можно ожидать, что опрокидывание подавляется этими дополнительными членами. Конечно, как и в случае волн на воде, дополнительные члены вводятся как малые поправки к крупномасштабным процессам и являются первыми членами бесконечного ряда высших производных. Было бы непоследовательно считать, что от них во всех случаях зависит, произойдет ли опрокидывание. Похоже на то, что это имеет место для малых симметричных модуляций, которые развиваются в серию уединенных волн, тогда как существенно асимметричные модуляции в некотором смысле опрокидываются.

Теперь к вопросу об ударных волнах. Формально в решениях уравнений (15.2) и (15.3) разрывы переменных $\omega, k, A$ допустимы. Их следует интерпретировать как слабые решения, и условия на разрыве должны определяться соответствующими уравнениями сохранения, как описано в § 5.8. Теоретически это наиболее привлекательная ситуация, но в данном конкретном контексте она, вероятно, менее всего соответствует действительности.

Неуверенность в интерпретации делает менее ясным и выбор подходящих условий на разрыве. Уравнения (15.2) и (15.3) уже имеют форму законов сохранения, но столь же очевидными кандидатами являются уравнения сохранения энергии и сохранения

импульса. Последние имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}\left(\omega \mathscr{L}_{\omega}-\mathscr{L}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\omega \mathscr{L}_{k}\right) & =0, \\
\frac{\partial}{\partial t}\left(k \mathscr{L}_{\omega}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(k \mathscr{L}_{k}-\mathscr{L}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

В действительности существует бесконечно много уравнений сохранения. Однако только уравнения (15.2), (15.3), (15.26) и (15.27) имеют очевидный смысл. Наша система, по существу,- система второго порядка (равенство (15.1) не является дифференциальным уравнением), так что два уравнения сохранения должны быть выбраны для обеспечения двух условий на разрыве. Этот выбор связан с тем, что по натему мнению представляют из себя ударные волны. Если они рассматриваются как приближения к решениям, еще охватываемым исходным подробным уравнением для $\varphi$, то следует выбрать условия на разрыве, исходя из уравнений (15.26) и (15.27). Причина состоит в том, что энергия и импульс сохраняются при более подробном описании $\varphi$ и, следовательно, должны сохраняться в приближении, основанном на предположении о медленном изменении. При этом условия на разрыве записываются так:
\[
\begin{array}{l}
U_{s}\left[\omega \mathscr{L}_{\omega}-\mathscr{L}\right]+\left[\omega \mathscr{L}_{k}\right]=0, \\
U_{s}\left[k \mathscr{L}_{\omega}\right]+\left[k \mathscr{L}_{k}-\mathscr{L}\right]=0,
\end{array}
\]

где $U_{s}$ – скорость ударной волны. Сохранение фазы (15.3) и сохранение волнового действия (15.2) при переходе через разрыв обеспечить нельзя. Они были выведены для решений специального вида в предположении медленных изменений, так что нет возражений против их нарушения в области резких изменений, соответствующей ударной волне. Эти ударные волны, следовательно, будут являться источником осцилляций и содержать скачки адиабатических инвариантов; последнее напоминает квантовые скачки адиабатических инвариантов в квантовой теории!
‘ Следует снова подчеркнуть, что все это просто формализм без позитивной точки зрения на структуру этих ударных волн или даже на необходимость их возникновения. Более того, эти разрывы будут иметь необратимые свойства, в то время как исходное уравнение для ч обратимо. Здесь имеется связь с классическими примерами задач о системах, обратимых на некотором точном уровне описания и оказывающихся необратимыми в макроскопических приближениях.

С другой стороны, если предположить, что разрывы соответствуют явлениям, не описываемым исходным уравнением, но учитываемым некоторым еще более подробным описанием, содержащим какого-либо рода диссипацию, то выбор будет другим. Импульс, вероятно, будет сохраняться, а энергия, по-видимому, нет. Не похо-

же, чтобы уравнение (15.2) было правильной альтернативой, но уравнением (15.3) можно заняться. Как показано в § 13.15, при наличии диссишации в диспергирующих моделях можно построить гладкие осциллирующие изменения между двумя различными постоянными состояниями. В этом случае концевые состояния постоянны, поскольку диссипация гасит осцилляции по обеим сторонам переходной области.

Тажим образом, уравнение (15.3) не описывает изменение состояния внутри осциллирующего волнового пакета, как предполагается здесь. Но оно указывает на существование однозначной фазовой функции, и это является доводом в пользу выбора уравнения (15.3) в качестве возможного условия на разрыве при учете диссипации. Все это опять весьма умозрительно, и бессмысленно двигаться дальше в этом направлении, не имея более определенной информации и результатов.