Выше было указано, что величины $\mathscr{L}_{\omega}, \mathscr{L}_{k_{j}}$ аналогичны адиабатическим инвариантам классической механики. Тешерь можно исследовать это соответствие. Механическим аналогом служит теория медленных модуляций в колебательных системах. Единственной независимой переменной является время, так что в этом случае модуляции можно производить только налагаемыми извне изменениями какого-либо параметра $\lambda(t)$. (В случае волн это соответствует вариации параметров среды.) Классическая теория обычно строится в гамильтоновом формализме, нецосредственно к волнам неприменимом, но вместо этого мы можем вывести простейшие классические результаты развитыми выше методами. Для осциллятора с одной степенью свободы $q(t)$ и одним медленно меняющим-

ся параметром $\lambda(t)$ вариационный принцип записывается как
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q, \dot{q}, \lambda) d t=0
\]

и вариационное уравнение имеет вид
\[
\frac{d}{d t} L_{\dot{q}}-L_{q}=0 .
\]

Этот случай охватывается методами § 14.3 и 14.4 после отбрасывания зависимости от $x$. Но полезно наметить независимый вывод, используя обычные обозначения механики. Мы будем следовать простому интуитивному подходу § 14.3 , который обосновывается B $\$ 14.4$.

Вычислим сначала усредненный лагранжиан для периодического движения при фиксированном значении параметра $\lambda$. Если ъериод равен $\tau=2 \pi / v$, то
\[
\mathscr{L}=\frac{v}{2 \pi} \int_{0}^{\tau} L d t .
\]

Для периодического движения ( $\lambda=$ const) уравнение
имеет интеграл энергии
\[
\dot{q} L_{\dot{q}}-L=E .
\]

Разрешив это уравнение, можно в принципе найти $\dot{q}$ как функцию от $q, E$ и $\lambda$, а затем обобщенный импульс $p=L_{\dot{q}}$ также представить в виде
\[
p=p(q, E, \lambda) .
\]

Если в выражение (14.77) подставить $L$ из (14.78), то получим
\[
\mathscr{L}=\frac{v}{2 \pi} \int_{0}^{\tau} \dot{q} d t-E=\frac{v}{2 \pi} \oint p(q, E, \lambda) d q-E,
\]

где $\oint p d q$ означает интеграл по полному периоду осцилляции (замкнутый контур в $(p, q$ )-плоскости). Допустим теперь медленные изменения параметра $\lambda$ с соответствующими медленными изменениями величин $v$ и $E$ и используем усредненный вариационный принцип
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} \mathscr{L}(v, E, \lambda) d t=0
\]

Решающий шаг снова заключается в определении $v$ как производной $\dot{\theta}$ фазы $\theta(t)$, которая за одну осцилляцию возрастает на постоянную нормированную величину. Этот шаг, возможно, выглядит менее естественным, чем в случае волн, но становится ясным при использовании двух масптабов времени. Вариации выражения (14.80) по $E$ и $\theta$ дают
\[
\mathscr{L}_{E}=0, \quad \frac{d}{d t} \mathscr{L}_{v}=0
\]

соответственно. Первое из этих уравнений соответствует дисперсионному соотношению (14.28), а второе – уравнению сохранения (14.29). В силу (14.79), имеем
\[
\mathscr{L}_{v}=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q=\text { const },
\]
т. е. в точности классический результат об адиабатическом инварианте. Когда система модулируется, переменные $v$ и $E$ изменяются индивидуально, но так, что
\[
I(v, E)=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q
\]

остается постоянным. Согласно (14.79) и (14.81), период равен
\[
\tau=\frac{2 \pi}{
u}=I_{E},
\]

что также является классическим результатом. (Превосходный обзор обычной теории можно найти в книге Ландау и Лифшица [1] стр. 193.)

В двухмасштабной форме (14.59) величина П определяется как $\partial L / \partial \Phi_{\theta}$, тогда как обобщенный импульс $p$ равен $\partial L_{i} \partial \varphi_{t}$. Поскольку в низшем порядке $\varphi_{t}=v \Phi_{\theta}$, то $\Pi=v p$ и выражения (14.59) и (14.79) согласуются.

Из этого сравнения ясно, что в случае волн производная $\mathscr{L}_{\omega}$ родственна адиабатическому инварианту и что производные $\mathscr{L}_{k_{j}}$ играют роль пространственных модуляций. Для волн нет необходимости в утечке энергии, поскольку модуляции по времени могут компенсироваться пространственными модулядиями. Однако, если среда неоднородна, имеется дополнительный эффект за счет параметров, аналогичных $\lambda$. Тем не менее уравнение
\[
\frac{\partial}{\partial t} \mathscr{L}_{\omega}-\frac{\partial}{\partial x_{j}} \mathscr{L}_{k_{j}}=0
\]

все еще остается в силе. Это уравнение известно под названием уравнения сохранения волнового действия.

В частном случае волнового пакета, однородного в пространстве, но изменяющегося за счет изменений параметров среды во време-

ни, имеем
\[
\mathscr{L}_{\omega}=\text { const. }
\]

Аналогичным образом для волнового пакета фиксированной частоты, движущегося в среде, параметры которой зависят от одной пространственной переменной $x$, имеем
\[
\mathscr{L}_{k}=\text { const. }
\]

Эти уравнения позволяют простым способом определять амплитуду. В общем случае модуляции в пространстве и по времени компенсируются, согласно (14.85), и происходит распространение модуляций.

Величины $\mathscr{L}_{\gamma}$ и $\mathscr{L}_{\beta_{j}}$ в (14.71) подобны производным $\mathscr{L}_{\omega}$ и $\mathscr{L}_{k_{j}}$. Они появляются из-за наличия дополнительных зависимых переменных в точности так же, как для обычных динамических систем (с одной независимой переменной – временем) с числом степеней свободы большим единицы могут иметь место дополнительные адиабатические инварианты. Рассматриваемые волновые системы имеют только одну существенную частоту и, таким образом, соответствуют вырожденным случаям равных частот в динамике.