Приложение изложенных выше идей к потоку транспорта было дано независимо Лайтхиллом и Уиземом [1] и Ричардсом [1]. Ясно, что в этом случае скорость потока
\[
V(\rho)=\frac{Q(\rho)}{\rho}
\]

должна быть убывающей функцией $\rho$, начинающейся с конечного максимального значения при $\rho=0$ и стремящейся к нулю при
Рис. 3.1. Зависимость расхода от плотности для потока транспорта.
$\rho \rightarrow \rho_{j}$, значении, при котором мапины упираются бамперами одна в другую. Таким образом, $Q(\rho)$ обращается в нуль при $\rho=0$ и $\rho=\rho_{j}$ и достигает максимального значения $q_{m}$ при некотором промежуточном значении плотности $\rho_{m}$. В общем случае

это выпуклая функция, изображенная на рис. 3.1. Реальные наблюдения за потоком транспорта показывают, что для однорядного движения характерны следующие значения: $\rho_{j} \sim 225$ машин на милю $\left.{ }^{1}\right), \rho_{m} \sim 80$ машин на милю, $q_{m} \sim 1500$ машин в час. Для автострад эти величины в первом приближении можно умножить на число полос движения. Интересно, что, согласно этим цифрам, максимальная величина расхода $q_{m}$ достигается при малой скорости порядка 20 миль в час.
Скорость распространения возмущений равна
\[
c(\rho)=Q^{\prime}(\rho)=V(\rho)+\rho V^{\prime}(\rho) .
\]

Поскольку $V^{\prime}(\rho)<0$, эта скорость меньше скорости движения машин; волны распространяются назад по потоку транспорта, предупреждая водителей о помехах впереди. Скорость $c$ равна наклону $(q, \rho)$-кривой, так что волны распространяются вперед относительно дороги при $\rho<\rho_{m}$ и назад при $\rho>\rho_{m}$. При максимальном расходе $\rho=\rho_{m}$ и волны неподвижны относительно дороги, так что скорость распространения относительно мапин также равна $q_{m} / \rho_{m} \sim 20$ миль в час.

Поведение потока вблизи точки $\rho=\rho_{j}$ можно примерно описать, учтя время реакции. Если предположить, что водителю (и его машине) требуется время $\delta$ для того, чтобы отреагировать на изменение условий движения впереди, то для безопасности движения мапины должны держаться одна от другой на расстоянии $V \delta$. Если $h$ – интервал, определяемый как расстояние между передними бамперами двух соседних машин, а $L$ – характерная длина машины, то приходим к равенству
\[
V=\frac{h-L}{\delta} .
\]

Поскольку $h=1 / \rho, L=1 / \rho_{j}$, имеем
\[
V(\rho)=\frac{L}{\delta}\left(\frac{\rho_{j}}{\rho}-1\right), \quad Q(\rho)=\frac{L}{\delta}\left(\rho_{j}-\rho\right) .
\]

Эти равенства следует рассматривать лишь как оценку наклона кривой $Q(\rho)$ в точке $\rho_{j}$, а не как действительное предсказание линейной зависимости от $\rho$. Во всяком случае, из последнего равенства следует, что в этой точке скорость распространения возмущений $c_{j}=-L / \delta$. Для реального потока транспорта $\delta$ обычно лежит в интервале $0,5-1,5$ секунды, хотя при других обстоятельствах время реакции человека может быть намного меньше. Считая $L$ равной 20 футам ${ }^{2}$ ), а $\delta$ равным одной секунде, получаем $c_{j} \sim-14$ миль в час.
1) Напомним, что сухопутная миля равна примерно 1,6 км.- Прим. nepeв.
2) Напомним, что фут равен примерно 30,5 см.- Прим. перев.

Гринберг [1] показал, что данные, полученные для туннеля Линкольна в Нью-Йорке, хорошо описываются формулой
\[
Q(\rho)=a \rho \ln \left(\rho_{j} / \rho\right),
\]

где $a=17,2$ миль в час, $\rho_{j}=228$ машин на милю. При такой зависимости относительная скорость распространения возмущения $V-c$ равна постоянному значению $a$ при всех значениях
Рис. 3.2. Опрокндывание волны в потоке транспорта.

плотности. Величины $\rho_{m}$ и $q_{m}$ равны 83 машины на милю и 1430 машин в час соответственно. Логарифмическая формула не дает конечного предела для $V$ при $\rho \rightarrow 0$, но справедливость этой теории для очень малой плотности движения сомнительна, так что этот факт сам по себе не важен. В случае конечного максимума $V$ и конечных значений $V^{\prime}(\rho)$ мы имеем $c \rightarrow V$ при $\rho \rightarrow 0$ и следует ожидать, что с уменьшением плотности $V-c$ убывает.

Поскольку функция $Q(\rho)$ выпукла вверх, $Q^{\prime \prime}(\rho)<0$ и $c$ сама является убывающей функцией от $\rho$. Это означает, что локальное увеличение плотности распространяется так, как показано на рис. 3.2 , и разрыв образуется на заднем фронте. Машины движутся быстрее, чем волны, так что каждый водитель попадает в такое локальное увеличение плотности сзади. Он должен резко тормозить в переходной области и постепенно наращивать скорость, покидая затор. Это, видимо, согласуется с практикой. Детали можно проанализировать с помощью теории, развитой в гл. 2. В частности, асимптотически волна принимает треугольную форму, изображенную на последнем из рис. 3.2. Длина волны возрастает как $t^{1 / 2}$, и величина разрыва затухает как $t^{-1 / 2}$. Соответствующие аналитические выражения имеют вид
\[
c \sim \frac{x}{t}, \quad \rho-\rho_{0} \sim \frac{x-c_{0} t}{c^{\prime}\left(\rho_{0}\right) t} \text { при } c_{0} t-\sqrt{2 B t}<x<c_{0} t,
\]

где
\[
B=\left|c^{\prime}\left(\rho_{0}\right)\right| \int_{-\infty}^{\infty}\left(\rho-\rho_{0}\right) d x .
\]

Разрыв находится в точке
\[
x=c_{0} t-\sqrt{2 B t},
\]

а скачки переменных $c$ и $\rho$ в этой точке составляют
\[
c-c_{0} \sim-\sqrt{\frac{2 B}{t}}, \quad \rho-\rho_{0} \sim \frac{1}{\left|c^{\prime}\left(\rho_{0}\right)\right|} \sqrt{\frac{\overline{2} \bar{B}}{t}} .
\]

Задача о светофоре
Более сложной задачей является анализ потока транспорта у светофора. Мы построим характеристики на ( $x, t$ )-диаграмме.
расстояние
Pис. 3.3. Волновая днаграмма для задачи о светофоре.

Они являются линиями постоянной плотности, а их наклоны $c$ ( $\rho$ ) определяют значения $\rho$ на них. Таким образом, задача будет решена, как только будет построена ( $x, t$ )-диаграмма.

Предположим сначала, что зеленый свет горит достаточно долго, так что проходящий транспорт движется свободно с некоторым значением $\rho_{i}<\rho_{m}$. Тогда мы можем начать с характеристик, имеющих наклон $c\left(\rho_{i}\right)$ и пересекающих ось $t$ в интервале $A B$ (рис. 3.3); $A B$ – часть «зеленого периода». (На ( $x, t$ )-диаграмме ось $x$ направлена по вертикали, а ось $t$ по горизонтали, как это принято в литературе по потокам транспорта.) Непосредственно под отрезком $B C$, соответствующим «красному периоду», мащины стоят с плотностью $\rho=\rho_{j}$, так что характеристики имеют отрицательный наклон $c\left(\rho_{j}\right)$. Линия, разделяющая неподвижную очередь перед светофором и свободный поток, должна быть линией разрыва $B P$, и из условия на разрыве следует, что он распространяется со скоростью
\[
-\frac{q\left(\rho_{i}\right)}{\rho_{j}-\rho_{i}} .
\]

Когда в точке $C$ включается зеленый свет, передние машины могут двигаться с максимальной скоростью, поскольку перед ними плот-

Рис. 3.4. Волновая диаграмма для еле двнжущегося потока транспорта у перегруженного светофора.

ность $\rho$ равна 0 . (Можно приближенно учесть конечность ускорения, продлив эффективный «красный период».) Этот этап представлен характеристикой $C S$ с максимальным наклоном $c(0)$. Между лучами $C S$ и $C P$ расположен веер волны разрежения со всеми промежуточными значениями $c$. Точно на перекрестке $C Q$ наклон $c$ должен быть нулевым. Но это соответствует максимуму $q=q_{m}$. Следовательно, справедливо интересное утверждение, что расход $q$ достигает своего максимального значения непосредственно у светофора. Разрыв $B P Q R$ ослабляется волной разрежения и в конце концов ускөряется и проходит перекресток при условии, что «зеленый период» достаточно длителен. Легко вывести критерий прохождений разрыва через перекресток. Полный входящий поток за время $B Q$ равен $\left(t_{r}+t_{s}\right) q_{i}$, где $t_{r}$ – «красный период» $B C$,

а $t_{s}$ – часть «зеленого периода» до момента прохождения разрыва. Поток через перекресток за это время равен $t_{s} q_{m}$. Эти два потока должны быть равны, следовательно,
\[
t_{s}=\frac{t_{r} q_{i}}{q_{m}-q_{i}} .
\]

Для прохождения разрыва через перекресток и свободной работы светофора необходимо, чтобы длительность «зеленого периода» превосходила это критическое значение.

Если разрыв не проходит через перекресток, то поток никогда не становится свободным и возникает пресловутая уличная пробка. Чтобы это понять, достаточно взглянуть на ( $x, t$ )-диаграммуна рис. 3.4. Пояснений не потребуется!
Эффекты высших порядков. Диффузия и время реакции
Существует два очевидных дополнительных эффекта, которые желательно включить в теорию. Один из них был упомянут в § 2.4: зависимость $q$ не только от $\rho$, но и от $\rho_{x}$. Это приближенно описывает учет водителем обстановки впереди и приводит к диффузии волн. Простейшее предположение, правильно отражающее качественное поведение, имеет вид
\[
q=Q(\rho)-v \rho_{x}, \quad v=V(\rho)-\frac{v}{\rho} \rho_{x},
\]

и нет оснований для введения более сложных выражений.
Второй эффект – наличие интервала времени между изменением условий движения и реакцией водителя и его машины. Один из возможных способов учета этого әффекта заключается в том, чтобы рассматривать выражение для $v$ в (3.1) как желаемую скорость, к которой стремится водитель. Следовательно, дяя ускорения можно принять формулу
\[
v_{t}+v v_{x}=-\frac{1}{\tau}\left\{v-V(\rho)+\frac{v}{\rho} \rho_{x}\right\} .
\]

Коэффициент $\tau$ характеризует время реакции и схож с величиной $\delta$, упомянутой выше. Уравнение (3.2) следует решать совместно с уравнением сохранения
\[
\rho_{t}+(\rho v)_{x}=0 .
\]

Когда $v$ и $\tau$, выраженные в подходящих безразмерных единицах, малы, уравнение (3.2) аппроксимируется равенством $v=V(\rho)$, и мы имеем более простую теорию. Когда в уравнении (3.2) учитываются члены высших порядков, следует ожидать появления ударных волн в виде сглаженных ступенек и т. п. Это в целом верно, но в действительности ситуация оказывается более сложной.

Для первого знакомства с нелинейным уравнением всегда полезно рассмотреть сначала линеаризованную теорию, хотя линеаризация и может иметь свои собственные недостатки, как было указано в § 2.10. Линеаризовав уравнения (3.2) и (3.3) для малых возмущений состояния $\rho=\rho_{0}, v=v_{0}=V\left(\rho_{0}\right)$ подстановкой
\[
\rho=\rho_{0}+r, \quad v=v_{0}+w
\]

и сохранением только первых степеней $r$ и $w$, получим
\[
\begin{aligned}
\tau\left(w_{t}+v_{0} w_{x}\right) & =-\left\{w-V^{\prime}\left(\rho_{0}\right) r+\frac{
u}{\rho_{0}} r_{x}\right\}, \\
r_{t}+v_{0} r_{x}+\rho_{0} w_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

Кинематическая волновая скорость равна
\[
c_{0}=\rho_{0} V^{\prime}\left(\rho_{0}\right)+V\left(\rho_{0}\right) ;
\]

отсюда $V^{\prime}\left(\rho_{0}\right)=-\left(v_{0}-c_{0}\right) / \rho_{0}$. Подставляя это выражение и исключая $w$, получаем
\[
\frac{\partial r}{\partial t}+c_{0} \frac{\partial r}{\partial x}=v \frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}}-\tau\left(\frac{\partial}{\partial t}+v_{0} \frac{\partial}{\partial x}\right)^{2} r .
\]

Когда $v=\tau=0$, имеем линеаризованное приближение к кинематическим волнам $r=f\left(x-c_{0} t\right)$. Член, пропорциональный $v$, представляет диффузию, характерную для уравнения теплопроводности. Эффект конечного времени реакции $\tau$ понять не так просто, но наводящие соображения можно получить следующим образом. Основное волновое движение, описываемое левой частью уравнения, имеет вид $r=f\left(x-c_{0} t\right)$, так что производная по $t$ приближенно равна произведению величины $-c_{0}$ и производной по $x$ :
\[
\frac{\partial}{\partial t} \simeq-c_{0} \frac{\partial}{\partial x} .
\]

Если это приближение использовать в правой части (3.4), то уравнение примет вид
\[
\frac{\partial r}{\partial t}+c_{0} \frac{\partial r}{\partial x}=\left\{v-\left(v_{0}-c_{0}\right)^{2} \tau\right\} \frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}} .
\]

Имеет место комбинированная диффузия, если
\[
v>\left(v_{0}-c_{0}\right)^{2} \tau,
\]

и неустойчивость, если
\[
v<\left(v_{0}-c_{0}\right)^{2} \tau .
\]

Это естественно, поскольку в случае устойчивого движения водитель должен смотреть достаточно далеко вперед, учитывая время реакции.

Критерий устойчивости можно вывести обычным способом и непосредственно из полного уравнения (3.4). Уравнение (3.4) имеет

экспоненциальные решения вида
\[
r \propto e^{i k x-i \omega t},
\]

причем выполняется условие
\[
\tau\left(\omega-v_{0} k\right)^{2}+i\left(\omega-c_{0} k\right)-v k^{2}=0 .
\]

Эти экспоненциальные решения будут устойчивы, если $\operatorname{Im} \omega<0$ для обоих корней $\omega$. Легко проверить, что это требование эквивалентно (3.7), так что результат приближенных рассуждений подтверждается и обобщается на волны произвольной длины.
Волны высшего порядка
Следует отметить, что правая часть уравнения (3.4) сама содержит волновой оператор и это уравнение можно переписать в виде
\[
\frac{\partial r}{\partial t}+c_{0} \frac{\partial r}{\partial x}=-\tau\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{+} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{-} \frac{\partial}{\partial x}\right) r
\]

где
\[
c_{+}=v_{0}+\sqrt{v / \tau}, \quad c_{-}=v_{0}-\sqrt{v / \tau} .
\]

Следовательно, можно ожидать, что волны, распространяющиеся со скоростями $c_{+}$и $c_{-}$, также играют некоторую роль. На данной стадии пока еще рано углубляться в этот вопрос, но стоит сделать замечание, весьма существенное для интерпретации условия устойчивости. В дальнейшем при исследовании уравнений высшего порядка мы увидим, что скорости распространения, соответствующие производным высшего порядка, определяют самый быстрый и самый медленный сигналы. В данном случае для сколь угодно малого, но отличного от нуля времени реакции $\tau$ самый быстрый сигнал распространяется со скоростью $c_{+}$, а самый медленный со скоростью $c_{-}$. Таким образом, ясно, что приближение
\[
\frac{\partial r}{\partial t}+c_{0} \frac{\partial r}{\partial x}=0
\]

может иметь смысл лишь при
\[
c_{-}<c_{0}<c_{+} .
\]

Но это в точности совпадает с критерием (3.7). Таким образом, поток устойчив тогда и только тогда, когда выполняется условие (3.12), и в этом случае при малых $\tau$ уравнение (3.9) можно прпближенно заменить уравнением (3.11). Имеется точное соответствие между устойчивостью и взаимодействием волн.

Уравнение (3.9) встречается в различных приложениях и будет подробно изучено в гл. 10.

Более сложная форма поправок высшего порядка приводит к новым возможностям в структуре ударной волны. Для простого диффузионного члена с $v>0$ в § 2.4 было показано, что ударная волна имеет непрерывную структуру. Теперь мы увидим, что этого может и не быть, если в уравнение входят и другие члены высшего порядка. Будем искать решение системы (3.2)-(3.3) со стационарным профилем вида
\[
\rho=\rho(X), \quad v=v(X), \quad X=x-U t,
\]

где $U$ – постоянная скорость перемещения. Уравнение принимает вид
\[
-U \rho_{X}+(v \rho)_{X}=0 .
\]

Проинтегрировав, получим
\[
\rho(U-v)=A,
\]

где $A$ – некоторая постоянная. Уравнение (3.2) принимает вид
\[
\tau \rho(v-U) v_{X}+v \rho_{X}+\rho v-Q(\rho)=0 .
\]

Поскольку $v=U-A / \rho$, это уравнение сводится к
\[
\left(v-\frac{A^{2}}{\rho^{2}} \tau\right) \rho_{X}=Q(\rho)-\rho U+A .
\]

При $\tau=0$ последнее уравнение совпадает с уравнением (2.21), как это и должно быть. При $\tau
eq 0$ возможность обращения в нуль выражения $v-A^{2} \tau / \rho^{2}$ приводит к новым эффектам.
Рис. 3.5. Структура непрерывной ударной волны.
Как и раньше, нас интересуют решения, заключенные между $\rho_{1}$ при $X=+\infty$ и $\rho_{2}$ при $X=-\infty$. Эти значения будут нулями чравой части уравнения (3.16). Для потока транспорта $c^{\prime}(\rho)=$ $=Q^{\prime \prime}(\rho)<0$, так что $\rho_{2}<\rho_{1}$ и правая часть положительна при $\rho_{2}<\rho<\rho_{1}$. Если в этом интервале выражение $v-A^{2} \tau / \rho^{2}$ остается положительным, то $\rho_{X}>0$ и получается гладкий профиль, изображенный на рис. 3.5 . В силу равенства (3.14), условие поло-

жительности $v-A^{2} \tau / \rho^{2}$ можно записать следующим образом:
\[
v>(v-U)^{2} \tau, \text { т.е. } v-\sqrt{v / \tau}<U<v+\sqrt{v / \tau} .
\]

По виду это устовие напоминает линеаризованный критерий устойчивости (3.7), где $v_{0}$ заменено локальной скоростью $v$, а $c_{0}$ заменено скоростью ударной волны $U$. Как и (3.12), его можно рассматривать как предупреждение об осложнениях, возможных в случае,
Рис. 3.6. Структура ударной волны с внутренним разрывом.

когда скорость ударной волны выйдет из интервала, ограниченного скоростями сигналов высшего порядка. Однако это не обязательно приведет к неустойчивости. Устовия устойчивости равномерного потока на $\pm \infty$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
v_{1}-\sqrt{v / \tau}<c_{1}<v_{1}+\sqrt{v / \tau}, \\
v_{2}-\sqrt{v / \tau}<c_{2}<v_{2}+\sqrt{v / \tau} .
\end{array}
\]

В общем случае возможно, что эти условия выполняются, а условие (3.17) все же нарушается. При этом выражение $v-A^{2} \tau / \rho^{2}$ меняет в переходной области знак, как показано на рис. 3.6 , и однозначный непрерывный профиль не может существовать.

В большинстве задач о структуре ударной волны, когда профиль «поворачивает назад», он спрямляется введением подходящего разрыва. Строго говоря, эта ситуация опять соответствует нарушению предположений, лежащих в основе описания процесса на данном уровне. Однако введение разрыва, совместимого с основными уравнениями в интегральной форме, позволяет избежать более строгого исследования эффектов выспих порядков. В случае уравнений (3.2) и (3.3) не ясно, какие законы сохранения пригодны для вывода условия на разрыве или какие дополнительные әффекты стедует учесть. Можно ожидать существования разрывного профиля, изображенного сплошной кривой на рис. 3.6 ; но в этом случае не ясно, как получить точное описание разрыва. В других случаях, которые будут обсуждаться ниже, детальное исследование можно довести до конца. Здесь следует подчеркнуть, что разрывы, получающиеся в простой теории, описываемой

уравнением
\[
\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}=0,
\]

в более строгой теории не всегда удается заменить непрерывной переходной областью.
Замечание о дискретных моделях
Большая работа была проделана по изучению дискретных моделей, в которых движение $n$-й машины зависит от движения остальных машин (см., например, Ньюэлл [1] и шриведенные в этой статье ссылки на более ранние работы). Пусть координата $n$-й машины в момент времени $t$ равна $s_{n}(t)$. Обычно предполагают, что закон движения имеет вид
\[
\dot{s}_{n}(t+\Delta)=G\left\{s_{n-1}(t)-s_{n}(t)\right\},
\]

где $\dot{s}_{n}$ – скорость, $h_{n}=s_{n-1}-s_{n}$ – интервал, а $\Delta$ – время, характеризующее реакцию водителя. Если функция $G\left(h_{n}\right)$ выбрана линейной по $h_{n}$ или уравнение линеаризовано для изучения малых флуктуаций вблизи равномерного движения, то решение можно получить при помощи преобразования Јапласа. В общем случае, однако, приходится обращаться к численному анализу.

В таких моделях внимание концентрируется на движении каждой отдельной машины; в них используются масштабы, иные, чем в непрерывной модели, в которой сложное поведение всей совокупности машин характеризуется функцией $Q(\rho)$ и параметрами $v$ и $\tau$. Но каждая дискретная модель приводит к конкретному виду этих величин, что может оказаться полезным при обработке результатов наблюдения. Кроме того, такие модели могут приводить к дополнительным эффектам, которые нельзя заметить в непрерывной модели.

Чтобы установить соответствие между дискретной моделью, основывающейся на уравнении (3.19), и непрерывной моделью, отметим связь между $G(h)$ и $Q(\rho)$. В однородном потоке с одними и теми же интервалами $h$ все скорости одинаковы и в соответствии c (3.19) определяются соотношением $v=G(h)$. Поскольку $h=$ $=1 / \rho, v=q / \rho$, функция $Q(\rho)$, входящая в непрерывные уравнения, равна
\[
Q(\rho)=\rho G(1 / \rho) .
\]

Если имеется эмпирическая или какая-либо другая информация о $G(h)$, то ее можно перевести в информацию о $Q(\rho)$ при $\rho \approx \rho_{j}$. Конечно, при более низких плотностях величина $Q(\rho)$ будет другой из-за обгона с переходом на другую полосу.

Распространение волны, которое описывается уравнением (3.19) и в котором движение впереди идущей машины передается после-

довательно назад по потоку, должно быть конечно-разностным вариантом результатов, описанных выше для континуума с указанным выбором функции $Q(\rho)$. В конечно-разностной форме (3.19) содержатся также эффекты высшего порядка, эквивалентные эффектам, учтенным в уравнении (3.2), и можно провести подробное сравнение. Если положить
\[
v_{n}(t)=\dot{s}_{n}(t), \quad s_{n-1}(t)-s_{n}(t)=h_{n}(t),
\]

то уравнение (3.19) будет эквивалентным двум уравнениям
\[
\begin{array}{c}
v_{n}(t+\Delta)=G\left(h_{n}\right), \\
\frac{d h_{n}}{d t}=v_{n-1}(t)-v_{n}(t) .
\end{array}
\]

Теперь введем непрерывные функции $v(x, t)$ п $h(x, t)$, такие, что
\[
\begin{array}{c}
v\left(s_{n}, t\right)=v_{n}(t), \\
h\left(\frac{s_{n-1}+s_{n}}{2}, t\right)=h_{n}(t),
\end{array}
\]

и, считая величины $\Delta$ и $h_{n}$ малыми, перейдем к соответствующим уравнениям в частных производных. Уравнение (3.21) можно переписать в виде
\[
v\left\{s_{n}(t+\Delta), t+\Delta\right\}=G\left\{h\left(s_{n}+1 / 2 h_{n}, t\right)\right\}
\]

и приближенно заменить уравнением
\[
v+\left(v_{t}+v v_{x}\right) \Delta=G(h)+1 / 2 h G^{\prime}(h) h_{x},
\]

где все функции вычисляются при $x \leftrightharpoons s_{n}(t)$ и ошибки имеют порядок $\Delta^{2}$ и $h^{2}$. Уравнение (3.22) можно переписать в виде
\[
\frac{d}{d t} h\left(\frac{s_{n-1}+s_{n}}{2}, t\right)=v\left(s_{n-1}, t\right)-v\left(s_{n}, t\right)
\]

и приближенно заменить уравнением
\[
h_{t}+v h_{x}=h v_{x}, \quad \text { где } x=\frac{s_{n-1}+s_{n}}{2} .
\]

В этом уравнении ошибки имеют третий порядок по $h$ (в силу центрирования $h$ в средней точке $\left(s_{n-1}+s_{n}\right) / 2$ ), так что оно верно и в первом и во втором порядках. В переменных $\rho=1 / h, V(\rho)=$ $=G(h)$ уравнения (3.25) и (3.26) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
v+\left(v_{t}+v v_{x}\right) \Delta=V(\rho)+\frac{1}{2} \frac{V^{\prime}(\rho)}{\rho} \rho_{x}, \\
\rho_{t}+(\rho v)_{x}=0 .
\end{array}
\]

В низшем порядке по $\Delta$ и $h$ будем иметь
\[
v=V(\rho), \quad \rho_{t}+(\rho v)_{x}=0,
\]

что в точности совпадает с уравнениями кинематической теории. Разности подобраны таким образом, что поправки следуюцего порядка оставляют неизменным уравнение сохранения (3.28).

Уравнения (3.27) и (3.28) будут эквивалентны уравнениям (3.2) и (3.3), если положить
\[
\tau=\Delta, \quad v=-1 / 2 V^{\prime}(\rho) .
\]

Поскольку $V-c=-\rho V^{\prime}(\rho)$, крптерий устойчивости (3.7) можно записать в виде
\[
2 \rho^{2}\left|V^{\prime}(\rho)\right| \Delta<1,
\]

или, в эквивалентной форме,
\[
2 G^{\prime}(h) \Delta<1 .
\]

Именно это условие было обнаружено в дискретных моделях потока транспорта (Чендлер, Херман и Монтролл [1]; Коментани и Сасаки [1]). Аналогичным образом структура ударной волны, изученная нами на основе уравнения (3.2), должна быть близкой к структуре, полученной Ньюэллом [1] на основе уравнения (3.19).

Одно из явлений, которые нельзя описать в непрерывной модели, это столкновение машин. В цепочке, описываемой уравнением (3.19), это происходит тогда, когда $s_{n-1}-s_{n}$ уменьшается до длины машины $L$. В частном стучае уравнения
\[
\dot{s}_{n}(t+\Delta)=\alpha\left\{s_{n-1}(t)-s_{n}(t)-L\right\},
\]

которое решается при помощи преобразования Лашнаса, можно проверить, что критерий отсутствия столкновений имеет вид
\[
\alpha \Delta<1 / e
\]

это несколько сильнее критерия устойчивости $2 \alpha \Delta<1$, полученного выше. Подробный анализ этих условий завел бы нас слишком далеко, и мы отсылаем читателя к обсуждению вопросов локальной устойчивости в статье Хермана, Монтролла, Поттса и Розери [1].