Понятие групповой скорости настолько важно для понимания волнового движения, что возникает следующая мысль: это понятие не должно быть только конечным результатом применения преобразования Фурье п метода стационарной фазы. Для неоднородной среды или для нелинейных задач, где преобразование Фурье неприменимо, подобное понятие, несомненно, также должно существовать и играть столь же важную роль. Но каким же образом можно обойтись без преобразования Фурье?

Чтобы увидеть, как обобщить предыдущие результаты, рассмотрим их вывод, основанный на более интуитивных рассуждениях. Эти рассуждения всегда можно сравнить с предыдущим изложением или в конце концов оправдать прямыми асимптотическими методами. Преимущества огромны, поскольку при этом можно добиться успеха в приближенном подходе к задачам, для которых точные решения неизвестны. В то же самое время мы получим возможность быстрее и глубже понять даже те задачи, для которых можно найти точные решения.

Рассмотрим сначала роль групповой скорости в описании распространения волнового числа и частоты. Пересмотрев предыдущие рассуждения, видим, что нам требовалось очень мало. Прежде всего если мы предположим, что имеется медленно меняющийся волновой пакет и определена фазовая функция $\theta(x, t)$, то локальные волновое число и частоту можно определить равенствами
\[
k=\theta_{x}, \quad \omega=-\theta_{t} .
\]

Далее, если мы знаем или можем задать дисперсионное соотношение
\[
\omega=W(k),
\]

то оно дает уравнение для $\theta$, которое можно решить и найти геометрию волнового процесса. Однако обычно удобнее исключить из равенств (11.36) функцию $\theta$, перейти к уравнению
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0,
\]

шодставить в него выражение (11.37) для $\omega$ и найти сначала $k(x, t)$, а затем $\omega(x, t)$. Заметим, что такая формулировка является исходной для нелинейных волн, рассмотренных в гл. 2. Действи-

тельно, $k$ представляет собой плотность волн, а $\omega$ – потск волн и уравнение (11.38) описывает закон сохранения волн! Подставляя в это уравнение дисперсионное соотношение (11.37), получаем
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+C(k) \frac{\partial k}{\partial x}=0, \quad C(k)=W^{\prime}(k) .
\]

Следовательно, групповая скорость $C$ (k) яеляется скоростью распространения возмущений волнового числа $k$.

Согласно анализу, проведенному в гл. 2 , общее решение уравнения (11.39) с начальным условием $k=f(x)$ при $t=0$ имеет вид
\[
k=f(\xi), \quad x=\xi+\mathscr{C}(\xi) t,
\]

где
\[
\mathscr{C}(\xi)=C\{f(\xi)\} .
\]

Специфический случай центрированной простой волны возникает тогда, когда область изменения значений функции $k$ первоначально сконцентрирована в начале координат. При этом $k(x, t)$ находится из условия
\[
x=C(k) t .
\]

Это совпадает с определением $k$, данным соотношениями (11.25) и графически представленным на рис. 11.1 и рис. 11.2. Для справедливости асимптотического разложения (11.24), согласно (11.23), требуются настолько большие значения $x$ и $t$, чтобы исходное возмущение представлялось сконцентрированным в начале координат.

Однако обобщение понятий уже проведено. Медленно меняющийся волновой пакет, определяемый функцией $\theta(x, t)$, не обязан образовываться из возмущения, скондентрированного в начале координат, и распределение $k(x, t)$ может иметь более общий вид (11.40). Далее, решение $\varphi$ не обязательно должно быть синусоидальным по $\theta$; допускается любой осциллирующий волновой пакет, для которого можно выделить фазу $\theta$ и ввести дисперсионное соотношение между $k$ и $\omega$.

Интересно и показательно, что уравнение (11.39) для $k$ нелинейно даже в том случае, когда исходная задача линейна, и что оно является гиперболическим, хотя исходное уравнение для 4 в общем случае таковым не является. Это первый пример, когда гиперболические уравнения получаются при описании распространения важных общих величин типа $k$. В этом смысле можно сохранить связь распространения волн с гиперболическими уравнениями, но имеется и существенная негиперболическая подструктура.

Обобщения
Упрощенный вывод групповой скорости легко обобщить на тинейные задачи с бо́льпим числом измерений и неоднородной средой. С обобщением на нелинейные задачи пока следует подождать, поскольку для таких задач дисперсионное соотношение будет содержать также и амплитуду. Для многомерных уравнений с постоянными коэффициентами точное решение все еще можно найти с помощью кратных интегралов Фурье, а методом стационарной фазы можно получить асимптотическое разложение. Легко показать, что в случае $n$ пространственных измерений решение имеет следующий вид
\[
\begin{aligned}
\varphi & =\int_{-\infty}^{\infty} F(\boldsymbol{x}) e^{i \varkappa \cdot \mathbf{x}-i W(\boldsymbol{x}) t} d \boldsymbol{x} \sim \\
& \sim F(\mathbf{k})\left(\frac{2 \pi}{t}\right)^{n / 2}\left(\operatorname{det}\left|\frac{\partial W}{\partial \hat{k}_{i} \partial k_{j}}\right|\right)^{-1 / 2} \exp \{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-i W(\mathbf{k}) t+i \zeta\},
\end{aligned}
\]

где
\[
\frac{x_{i}}{t}=\frac{\partial W(\mathbf{k})}{\partial k_{i}},
\]

а $\zeta$ зависит от числа множителей $\pi i / 4$, получающихся при повороте контура интегрирования. Однако мы будем использовать более простой кинематический вывод и рассмотрим также случай неоднородной среды.

Описание медленно меняющейся волны, скажем в трех измерениях, включает фазовую функцию $\theta(\mathbf{x}, t)$, где $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. Определим частоту $\omega$ и волновой вектор $\mathbf{k}$ формулами
\[
\omega=-\frac{\partial \theta}{\partial t}, \quad k_{i}=\frac{\partial \theta}{\partial x_{i}} .
\]

Будем считать, что дисперсионное соотношение известно и что его можно записать в виде
\[
\omega=W(\mathbf{k}, \mathbf{x}, t) .
\]

Для однородной среды это соотношение можно получить при помощи элементарного решения (11.1). Для слегка неоднородной среды представляется разумным найти дисперсионное соотнопение сначала для постоянных значений параметров среды и затем учесть их зависимость от $\mathbf{x}$ и $t$. Например, если в примерах (11.6) – (11.9) $\alpha, \beta$ и $\gamma$ являются медленно меняющимися функциями от $\mathbf{x}$ или $t$, то можно использовать те же самые дисперсионные соотношения, что и приведенные в этих примерах, но с $\alpha, \beta, \gamma$ в виде заданных функций от $\mathbf{x}$ и $t$. Интуитивно этот метод кажется

удовлетворительным при условии, что $\alpha, \beta$ и $\gamma$ мало изменяются на протяжении одной длины волны и одного периода. Это будет подтверждено в § 11.7 и 11.8.
Исключив из равенств (11.42) фазу $\theta$, имеем
\[
\frac{\partial k_{i}}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x_{i}}=0, \quad \frac{\partial k_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial k_{j}}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Подставив в первое из этих уравнений $\omega=W(\mathbf{k}, \mathbf{x}, t)$, получим
\[
\frac{\partial k_{i}}{\partial t}+\frac{\partial W}{\partial k_{j}} \frac{\partial k_{j}}{\partial x_{i}}=-\frac{\partial W}{\partial x_{i}} .
\]

Поскольку $\partial k_{j} / \partial x_{i}=\partial k_{i} / \partial x_{j}$, это можно переписать в виде
\[
\frac{\partial k_{i}}{\partial t}+C_{j} \frac{\partial k_{i}}{\partial x_{j}}=-\frac{\partial W}{\partial x_{i}},
\]

где
\[
C_{j}(\mathbf{k}, \mathbf{x}, t)=\frac{\partial W(\mathbf{k}, \mathbf{x}, t)}{\partial k_{j}} .
\]

Для трех измерений групповая скорость $\mathrm{C}$ определяется равенством (11.45) и является скоростью распространения возмущений в уравнениях (11.44), определяющих $k_{i}$. Уравнения (11.44) можно переписать в характеристической форме
\[
\frac{d k_{i}}{d t}=-\frac{\partial W}{\partial x_{i}} \quad \text { при } \quad \frac{d x_{i}}{d t}=\frac{\partial W}{\partial k_{i}} .
\]

Заметим, что для однородной среды вектор $\mathbf{k}$ постоянен и характеристики являются прямыми в $(\mathbf{x}, t)$-пространстве. Каждое значение вектора $\mathbf{k}$ распространяется с соответствующей постоянной групповой скоростью $\mathbf{C}(\mathbf{k})$. Но это не имеет места для неоднородной среды, поскольку в этом случае значения вектора $\mathbf{k}$ изменяются при распространении вдоль характеристик, а сами характеристики больше не являются прямыми. Стоит также заметить, что
\[
\frac{d \omega}{d t}=\frac{\partial \omega}{\partial t}+C_{j} \frac{\partial \omega}{\partial x_{j}}=\frac{\partial W}{\partial t} .
\]

Частота на каждой характеристике постоянна, если свойства среды не меняются со временем, и переменна в противном случае.

Интересно, что уравнения (11.46) совпадают с уравнениями Гамильтона в механике, если $\mathbf{x}$ и $\mathbf{k}$ интерпретировать как координаты и импульсы, а $W(\mathbf{k}, \mathbf{x}, t)$ принять за гамильтониан! Если не исключать $\theta$, а вместо этого подставить в дисперсионное соотношение $\omega$ и $\mathbf{k}$, выраженные через $\theta$, то получим
\[
\frac{\partial \theta}{\partial \boldsymbol{t}}+W\left(\frac{\partial \theta}{\partial \mathbf{x}}, \mathbf{x}, t\right)=0 .
\]

Это уравнение Гамильтона – Якоби с фазой $\theta$ в качестве действия.

Если $W$ не зависит от $\mathbf{x}$ и $t$, то решение уравнения (11.46) с начальным условием $k_{i}=f_{i}(\mathbf{x})$ имеет вид
\[
k_{i}=f_{i}(\xi), \quad x_{i}=\xi_{i}+\mathscr{C}_{i}(\xi) t,
\]

где
\[
\mathscr{C}_{i}(\xi)=C_{i}\{\mathbf{f}(\xi)\} .
\]

Центрированное решение, соответствующее случаю, когда при $t=0$ вся область изменения вектора $\mathrm{k}$ сосредоточена в начале координат, можно получить, определив $\mathbf{k}(\mathbf{x}, t)$ из уравнения
\[
x_{i}=C_{i}(\mathbf{k}) t .
\]

Этот частный случай соответствует асимптотическому представлению (11.41) кратного интеграла Фурье.

Примеры использования полученных уравнений будут приведены в гл. 12.