В тех случаях, когда волны опрокидываются, а не заостряются, результирующая бора принимает две различные формы. Они наблюдались в приливных борах и могут быть воспроизведены экспериментально с помощью аналога ударной трубы, используемой в газовой динамике. В экспериментах, впервые описанных Фавром [1], заслонка, разделяющая воду с различными уровнями, внезапно выдергивается и образуются боры различной силы, зависящей от разности уровней.
Более слабые боры имеют гладкую, но осциллирующую структуру, как показано на рис. 13.6 , тогда как более сильные характеризуются быстрым турбулентным изменением без видимой осцил-
ляции. В обоих случаях конечные состояния удовлетворяют условиям на разрыве (13.81). Изменение типа, по-видимому, происходит резко при отношении глубин $h_{2} / h_{1} \approx 1,28$, что соответствует числу Фруда $U / \sqrt{g h_{1}} \approx 1,21$.
Рис. 13.6. Модель структуры боры. Решение уравненяя (13.139) для $m=1 / 2$.
Общее рассмотрение полного баланса массы, импульса и энертии, учитывающее излучение энергии, связанное с волновым пакетом, дано Бенджаменом и Лайтхиллом [1]. Действительная структура, очевидно, сложна, но опять можно спросить, какого рода описание будет охватывать обе формы. Уравнение Кортевега де Фриза является естественным отправным пунктом, но оно не имеет решений, подобных изображенным на рис. 13.6 и распространяющихся без изменения формы. Поскольку имеется диссипация энергии, естественно добавить член со второй производной и рассмотреть
\[
\eta_{t}+c_{0}\left(1+\frac{3}{2} \frac{\eta}{h_{0}}\right) \eta_{x}+\frac{1}{6} c_{0} h_{0}^{2} \eta_{x x x}-\mu \eta_{x x}=0 .
\]
Возможно, эта модель не слишком хорошо описывает эффекты трения в волнах на воде, но в любом случае представляет интерес, поскольку уравнение Кортевега – де Фриза является каноническим для общей теории диспергирующих волн.
Стационарные решения ищем в виде
\[
\eta=h_{0} \zeta(X), \quad X=x-U t
\]
и, интегрируя обыкновенное дифференциальное уравнение для $\zeta$, получаем
\[
\frac{1}{6} h_{0}^{2} \zeta_{X X}-\frac{\mu}{c_{0}} \zeta_{X}+\frac{3}{4} \zeta^{2}-\left(\frac{U}{c_{0}}-1\right) \zeta=0 ;
\]
при этом учитывается, что $\zeta \rightarrow 0$ при $X \rightarrow \infty$. После нормировки уравнение имеет вид
\[
z_{\xi \mathrm{\xi}}-m z_{\mathrm{\xi}}+z^{2}-z=0,
\]
где
\[
\begin{array}{l}
\xi=\{6(F-1)\}^{1 / 2} \frac{X}{h_{0}}, \quad z=\frac{3}{4(F-1)} \zeta, \\
F=\frac{U}{c_{0}}, \quad m=\left(\frac{6}{F-1}\right)^{1 / 2} \frac{\mu}{c_{0} h_{0}} .
\end{array}
\]
В фазовой плоскости с $w=z_{\xi}$ имеем
\[
\frac{d w}{d \xi}=m w-z^{2}+z, \quad \frac{d z}{d \xi}=w .
\]
Возможны решения с конечными состояниями $z=0, w=0$ и $z=1, w=0$. Эти состояния являются особыми точками в $(z, w)$ плоскости. Интегральная кривая
\[
\frac{d w}{d z}=\frac{m w-z^{2}+z}{w}
\]
должна соединять эти точки. В окрестности точки $(0,0)$ имеем
\[
w \sim \sigma_{0} z, \quad z \propto e^{\sigma_{0} \xi}, \quad \sigma_{0}=\frac{1}{2}\left(m-\sqrt{m^{2}+4}\right),
\]
т. е. экспоненциальное затухание к нулю при $\xi \rightarrow \infty$. В окрестности точки $(1,0)$ имеем
\[
w \sim \sigma_{1}(z-1), \quad(z-1) \propto e^{\sigma_{1} \xi}, \quad \sigma_{1}=1 / 2\left(m \pm \sqrt{m^{2}-4}\right) .
\]
Поведение решения при $z \rightarrow 1(\xi \rightarrow-\infty$ ) определяется знаком неравенства $m<2$ или $m>2$; первое из них приводит к осцилляциям.
Итак, мы имеем два типа структуры. При фиксированной разнице уровней, т. е. при заданной величине $F-1$, достаточно малое демпфирование допускает осциллирующее решение, но большое демпфирование подавляет осцилляцию. В случае волн на воде критерий для $F$, получаемый из равенств (13.140) при фиксированном $\mu$, кажется противоречащим действительности. Однако в этом случае $\mu$ следует интерпретировать как турбулентную вязкость, зависящую от средней скорости течения. В первом, грубом приближении эта зависимость имеет вид $\mu=b u_{2} h_{2}$, где $u_{2}$ и $h_{2}$ относятся к условиям за борой, а $b$ – числовой множитель. Тогда, в силу условий на боре,
\[
\frac{\mu}{c_{0} h_{0}} \approx \frac{4}{3} b(F-1) .
\]
Критерий $m<2$ для осциллирующего решения переходит в неравенство $F-1 \leqslant 3 /\left(8 b^{2}\right)$. Критическое значение Фавра $F=1,2$ дает $b \approx 1,4$, что, возможно, в десять раз превосходит ожидаемое для турбулентной вязкости значение. Но мы привели здесь только грубую модель реальной физической ситуации. Общий качественный эффект диссипации энергии, по-видимому, отражен правильно.
