Для определения уединенных волн, образующихся из начального распределения $\eta=\eta_{0}(x)$, нужно всего лишь найти дискретные собственные значения уравнения Шредингера
\[
\psi_{x x}+\left\{\lambda-u_{0}(x)\right\} \psi=0,
\]

где
\[
\frac{\sigma \eta_{0}(x)}{6}=-u_{0}(x) .
\]

После выхода из области взаимодействия уединенная волна, соответствующая $\lambda=-x_{n}^{2}$, согласно формуле (17.12), имеет вид
\[
-u=\frac{\sigma \eta}{6}=a_{n} \operatorname{sech}^{2}\left(\varkappa_{n} x-4 x_{n}^{3} t+\text { const }\right), \quad a_{n}=2 x_{n}^{2} .
\]

Приведем здесь несколько конкретных примеров, используя результаты решения задачи на собственные значения, которые можно найти в большинстве учебников по квантовой теории.

1. $u_{0}(x)=-Q \delta(x)$. Если $Q>0$, то существует одно собственное значение $x=Q / 2$. Следовательно, образуется единственная уединенная волна. Амплитуда функции $u$ в (17.45) равна $Q^{2} / 2$. Если $Q<0$, то дискретных собственных значений, а значит и уединенных волн, нет.
2. Прямоугольная яма. Если $u_{0}(x)$ – прямоугольная яма ширины $l$ и глубины $A$, то собственные значения должны удовлетворять соотн шениям (Ландау и Лифшиц [2, стр. 90])
\[
\sin \xi= \pm \frac{2 \xi}{S}, \operatorname{tg} \xi<0
\]

или
\[
\cos \xi= \pm \frac{2 \xi}{S}, \operatorname{tg} \xi>0
\]

где
\[
S=A^{1 / 2} l, \quad \xi=\frac{1}{2} S \sqrt{1-\frac{x^{2}}{A}} \geqslant 0 .
\]

Число собственных значений определяется параметром $S$. Когда $S$ возрастает, что соответствует более сильным начальным возмущениям, число уединенных волн растет. При любом $S>0$ существует по крайней мере одно решение задачи на собственные значения, так что всегда образуется хотя бы одна уединенная волна. Для малых $S$ существует решение уравнения (17.47) с асимптотикой
\[
\xi \simeq \frac{S}{2}, \quad x \simeq \frac{1}{2} S A_{j}^{1 / 2}, \quad a \simeq \frac{1}{2} S^{2} A, \quad S \ll 1 .
\]

При возрастании $S$ вторая уединенная волна образуется, когда $S$ достигает $\pi$, а решением уравнения (17.46) является $\xi=\pi / 2$. При этом
\[
\left.\begin{array}{lll}
\xi_{1}=0,934, & x_{1}=0,804 A^{1 / 2}, & a_{1}=1,30 A, \\
\xi_{2}=\pi / 2, & x_{2}=0, & a_{2}=0
\end{array}\right\} S=\pi .
\]

Число уединенных волн $N$ растет с увеличением $S$ и выражается формулой
\[
N=\text { наибольшее целое число } \leqslant \frac{S}{\pi}+1 .
\]

Зависимость $S$ от $A$ и $l$ для прямоугольной ямы наводит на мысль, что вообще величина
\[
Z=\int_{-\infty}^{\infty}|u|^{1 / 2} d x
\]

будет в этом случае своеобразной мерой возмущения и формы волн. Действительно, если вычислить эту величину для одной

уединенной волны (17.45), то параметр $x$ сократится и получится
\[
Z_{s}=\int_{-\infty}^{\infty}|u|^{1 / 2} d x=2^{1 / 2} \pi
\]

независимо от амплитуды. Следовательно, эта мера приписывает уединенной волне единичный размер. Для цуга из $N$ уединенных волн $Z=2^{1 / 2} \pi N$. Итак, обнаружена постоянная Планка для уединенных волн!

Параметр $S$ равен величине этого интеграла для начального возмущения. Для больших $S$, в силу предыдущих результатов, $S \sim \pi N$, так что при больших значениях времени величина $Z$ для цуга уединенных волн равна
\[
Z=2^{1 / 2} \pi N \sim 2^{1 / 2} S .
\]

Это указывает на тесную связь между начальным значением $S$ и конечным значением $Z$. Но ясно также, что «действие» $\int|u|^{1 / 2} d x$ не сохраняется. Это верно и для малых $S$ : всегда образуется хотя бы одна уединенная волна, даже в том случае, когда $S$ меньше величины, определяемой из соотношения (17.48). Это следует, по-видимому, интерпретировать как перекачку из непрерывной части спектра. Однако ниже будет показано, что соотношение $N \sim S / \pi$ для больших $S$ носит общий характер и справедливо для начальных возмущений $u_{0}(x)$, имеющих форму одиночной потенциальной ямы, и величины $S$, определяемой формулой
\[
S=\int_{-\infty}^{\infty}\left|u_{0}\right|^{1 / 2} d x .
\]

Для случая $\delta$-функции из первого примера $u_{0}$ можно считать пределом выражения $-Q(m / \pi)^{1 / 2} e^{-n x^{2}}$ при $m \rightarrow \infty$. Поэтому $S \rightarrow 0$ при $m \rightarrow \infty$; образование только одной уединенной волны согласуется с результатами других примеров.
3. $u_{0}=-A \operatorname{sech}^{2} x / l$. В этом случае собственные значения составляют (Ландау и Лифшиц [2, стр. 98])
\[
x_{n}=\frac{1}{2 l}\left\{\left(1+4 A l^{2}\right)^{1 / 2}-(2 n-1)\right\} \geqslant 0 .
\]

Для величины $S$, определяемой формулой (17.50), получаем
\[
S=\pi A^{1 / 2} l .
\]

Число уединенных волн находится из условия
\[
N=\text { наибольшее целое число } \leqslant \frac{1}{2}\left\{\left(1+\frac{4 S^{2}}{\pi^{2}}\right)^{1 / 2}+1\right\} .
\]

Как и ранее, при малых $S$ всегда образуется по крайней мере одна уединенная волна и число таких волн растет с увеличением $S$; при $S \rightarrow \infty$ снова имеем
\[
N \sim \frac{S}{\pi},
\]

и соотношение (17.49) выполняется.
4. Непрерывное распределение уединенных волн. Когда начальное возмущение велико ( $S \rightarrow \infty$ ), существует много близко расположенных собственных значений, удовлетворяющих правилу Бора – Зоммерфельда (Ландау и Лифшиц [2, стр. 200])
\[
\oint p d x=\oint \sqrt{\lambda-u_{0}(x)} d x=2 \pi\left(n+\frac{1}{2}\right) .
\]

Поэтому число уединенных волн (наибольшее значение $n$ для $\lambda=0$ ) составляет
\[
N \sim \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left|u_{0}\right|^{1 / 2} d x=\frac{S}{\pi} .
\]

Это и есть общее обоснование результата, полученного в двух последних примерах.

Наибольшее значение $|\lambda|$ для связанных состояний в (17.51) равно $u_{m}$, где $u_{m}=\left|u_{0}\right|_{\max }$, так что $\chi$ лежит в интервале $0<$ $<x<u_{m}^{1 / 2}$, а амплитуда – в интервале
\[
0<a<2 u_{m}
\]
(см. (17.45)). Число собственных значений, расположенных в интервале $(\lambda, \lambda+d \lambda)$, приближенно составляет
\[
\frac{1}{4 \pi} \oint \frac{d x}{\sqrt{\lambda-u_{0}(x)}} d \lambda .
\]

Следовательно, число уединенных волн с амплитудами из интервала $(a, a+d a)$ равно приблизительно $f(a) d a$, где
\[
f(a)=\frac{1}{8 \pi} \oint \frac{d x}{\sqrt{\left[u_{0} \mid-a / 2\right.}} .
\]

Этот результат впервые указал Карпман (Карпман [1]; см. также Карпман и Соколов [1]). Уединенные волны распределены в интервале $0<a<2 u_{m}$, и их полное число подсчитывается по формуле
\[
N=\int_{0}^{2 u_{m}} f(a) d a=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left|u_{0}\right|^{1 / 2} d x,
\]

которая согласуется с соотношением (17.52).

После первоначального взаимодействия каждая уединенная волна с амплитудой $a$ движется со скоростью $2 a$, и ее можно найти в точке
\[
x=2 a t \text { при } t \rightarrow \infty .
\]

Таким образом, амплитуды распределяются по закону
\[
a=\frac{x}{2 t}, \quad 0<1 \frac{x}{2 t}<2 u_{m} .
\]

Получается треугольное распределение, приведенное на рис. 17.1 и обосуждавшееся в $\S 16.16$.
Рис. 17.1. Серия уединенных волн в решении уравнения Кортевега – де Фриза.
Число волн $k(x, t)$ в интервале $(x, x+d x)$ определяется из соотношения
\[
k d x=f(a) d a ;
\]

поэтому
\[
k(x, t)=\frac{1}{2 t} f\left(\frac{x}{2 t}\right),
\]

где функция $f$ задана формулой (17.54). Это фиксирует произвольную функцию, входящую в соотношения (16.144).