Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Для определения уединенных волн, образующихся из начального распределения $\eta=\eta_{0}(x)$, нужно всего лишь найти дискретные собственные значения уравнения Шредингера где После выхода из области взаимодействия уединенная волна, соответствующая $\lambda=-x_{n}^{2}$, согласно формуле (17.12), имеет вид Приведем здесь несколько конкретных примеров, используя результаты решения задачи на собственные значения, которые можно найти в большинстве учебников по квантовой теории. 1. $u_{0}(x)=-Q \delta(x)$. Если $Q>0$, то существует одно собственное значение $x=Q / 2$. Следовательно, образуется единственная уединенная волна. Амплитуда функции $u$ в (17.45) равна $Q^{2} / 2$. Если $Q<0$, то дискретных собственных значений, а значит и уединенных волн, нет. или где Число собственных значений определяется параметром $S$. Когда $S$ возрастает, что соответствует более сильным начальным возмущениям, число уединенных волн растет. При любом $S>0$ существует по крайней мере одно решение задачи на собственные значения, так что всегда образуется хотя бы одна уединенная волна. Для малых $S$ существует решение уравнения (17.47) с асимптотикой При возрастании $S$ вторая уединенная волна образуется, когда $S$ достигает $\pi$, а решением уравнения (17.46) является $\xi=\pi / 2$. При этом Число уединенных волн $N$ растет с увеличением $S$ и выражается формулой Зависимость $S$ от $A$ и $l$ для прямоугольной ямы наводит на мысль, что вообще величина будет в этом случае своеобразной мерой возмущения и формы волн. Действительно, если вычислить эту величину для одной уединенной волны (17.45), то параметр $x$ сократится и получится независимо от амплитуды. Следовательно, эта мера приписывает уединенной волне единичный размер. Для цуга из $N$ уединенных волн $Z=2^{1 / 2} \pi N$. Итак, обнаружена постоянная Планка для уединенных волн! Параметр $S$ равен величине этого интеграла для начального возмущения. Для больших $S$, в силу предыдущих результатов, $S \sim \pi N$, так что при больших значениях времени величина $Z$ для цуга уединенных волн равна Это указывает на тесную связь между начальным значением $S$ и конечным значением $Z$. Но ясно также, что «действие» $\int|u|^{1 / 2} d x$ не сохраняется. Это верно и для малых $S$ : всегда образуется хотя бы одна уединенная волна, даже в том случае, когда $S$ меньше величины, определяемой из соотношения (17.48). Это следует, по-видимому, интерпретировать как перекачку из непрерывной части спектра. Однако ниже будет показано, что соотношение $N \sim S / \pi$ для больших $S$ носит общий характер и справедливо для начальных возмущений $u_{0}(x)$, имеющих форму одиночной потенциальной ямы, и величины $S$, определяемой формулой Для случая $\delta$-функции из первого примера $u_{0}$ можно считать пределом выражения $-Q(m / \pi)^{1 / 2} e^{-n x^{2}}$ при $m \rightarrow \infty$. Поэтому $S \rightarrow 0$ при $m \rightarrow \infty$; образование только одной уединенной волны согласуется с результатами других примеров. Для величины $S$, определяемой формулой (17.50), получаем Число уединенных волн находится из условия Как и ранее, при малых $S$ всегда образуется по крайней мере одна уединенная волна и число таких волн растет с увеличением $S$; при $S \rightarrow \infty$ снова имеем и соотношение (17.49) выполняется. Поэтому число уединенных волн (наибольшее значение $n$ для $\lambda=0$ ) составляет Это и есть общее обоснование результата, полученного в двух последних примерах. Наибольшее значение $|\lambda|$ для связанных состояний в (17.51) равно $u_{m}$, где $u_{m}=\left|u_{0}\right|_{\max }$, так что $\chi$ лежит в интервале $0<$ $<x<u_{m}^{1 / 2}$, а амплитуда — в интервале Следовательно, число уединенных волн с амплитудами из интервала $(a, a+d a)$ равно приблизительно $f(a) d a$, где Этот результат впервые указал Карпман (Карпман [1]; см. также Карпман и Соколов [1]). Уединенные волны распределены в интервале $0<a<2 u_{m}$, и их полное число подсчитывается по формуле которая согласуется с соотношением (17.52). После первоначального взаимодействия каждая уединенная волна с амплитудой $a$ движется со скоростью $2 a$, и ее можно найти в точке Таким образом, амплитуды распределяются по закону Получается треугольное распределение, приведенное на рис. 17.1 и обосуждавшееся в $\S 16.16$. поэтому где функция $f$ задана формулой (17.54). Это фиксирует произвольную функцию, входящую в соотношения (16.144).
|
1 |
Оглавление
|