В качестве частного случая будет полезно составить более точное описание простого разрывного решения, представленного на рис. 2.5, и провести его исследование. Это и является задачей установления «структуры ударной волны».

Во многих задачах теории кинематических волн более точное приближение получается при допущении, что $q$ зависит не только от плотности $\rho$, но и от ее градиента $\rho_{x}$. Проще всего положить
\[
q=Q(\rho)-v \rho_{x},
\]

где $v$ – некоторая постоянная. Для потока транспорта, например, можно утверждать, что водители снижают скорость при увеличении плотности машин впереди, и наоборот. Эти рассуждения показывают, что $v$ следует выбирать положительным, а ниже мы увидим, что знак $v$ имеет важное значение. Если в некоторых безразмерных переменных, выбранных надлежащим образом, $v$ мало, то (2.12) является хоропим приближением при условии, что значение $\rho_{x}$ не слишком велико. При опрокидывании $\rho_{x}$ становится большим и поправочный член начинает играть доминирующую роль, сколь бы малым ни было $v$. Рассмотрим теперь непрерывные решения при такой формулировке задачи. В силу (2.11) и (2.19) они удовлетворяют уравнению
\[
\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}=v \rho_{x x}, \quad c(\rho)=Q^{\prime}(\rho) .
\]

Член $c(\rho) \rho_{x}$ в данном уравнении приводит к росту крутизны и опрокидыванию. Напротив, член $v \rho_{x x}$ вводит диффузию, характерную для уравнения теплопроводности
\[
\rho_{t}=v \rho_{x x} \text {. }
\]

Для уравнения теплопроводности решение задачи Коши с начальной функцией в виде ступеньки
\[
\left.\begin{array}{ll}
\rho=\rho_{1}, & x>0, \\
\rho=\rho_{2}, & x<0,
\end{array}\right\} t=0
\]

имеет вид
\[
\rho=\rho_{2}+\frac{\rho_{1}-\rho_{2}}{V \bar{\pi}} \int_{-\infty}^{x / \sqrt{\overline{4 v t}}} e^{-\xi^{2}} d \zeta .
\]

Оно описывает сглаженную ступеньку с предельными значениями $\rho_{1}, \rho_{2}$ при $x \rightarrow \pm \infty$ и крутизной, уменьшающейся, как $(v t)^{-1 / 2}$. Две противоположные тендендии нелинейного роста крутизны и диффузии объединяются уравнением (2.20). Важность условия $v>0$ видна на примере уравнения теплопроводности; при $v<0$ решения неустойчивы.

В рамках этого более точного подхода будем искать решение, заменяющее репение, изображенное на рис. 2.5. Одна из очевидных идей – искать решение со стационарным профилем вида
\[
\rho=\rho(X), \quad X=x-U t,
\]

где $U$ – постоянная, которую еще нужно определить. Тогда из $(2.20)$ имеем
\[
\{c(\rho)-U\} \rho_{X}=v \rho_{x X} .
\]

Интегрируя один раз, получаем
\[
Q(\rho)-U \rho+A=v \rho_{X},
\]

где $A$ – постоянная интегрирования. Отсюда следует соотношение, неявно определяющее $\rho(X)$ :
\[
\frac{X}{v}=\int \frac{d \rho}{Q(\rho)-U \rho+A},
\]

но качественное поведение $\rho(X)$ легче установить непосредственно из (2.21). Нас интересует возможность существования решения, стремящегося к постоянным состояниям $\rho \rightarrow \rho_{1}$ при $X \rightarrow+\infty$ и $\rho \rightarrow \rho_{2}$ при $X \rightarrow-\infty$. Если существует подобное решение с $\rho_{X} \rightarrow 0$ при $X \rightarrow \pm \infty$, то произвольные пока постоянные $U$ и $A$ должны удовлетворять соотношениям
\[
Q\left(\rho_{1}\right)-U \rho_{1}+A=Q\left(\rho_{2}\right)-U \rho_{2}+A=0 .
\]

В частности,
\[
U=\frac{Q\left(\rho_{2}\right)-Q\left(\rho_{1}\right)}{\rho_{2}-\rho_{1}} .
\]

Для такого решения связь между скоростью $U$ и параметрами состояний на $\pm \infty$ оказывается в точности такой же, как и в условии на границе разрыва!

Значения $\rho_{1}, \rho_{2}$ являются нулями для $Q(\rho)-U \rho+A$ и в общем случае это простые нули. Когда $\rho$ стремится к $\rho_{1}$ или $\rho_{2}$, интеграл в соотношении (2.22) расходится и $X \rightarrow \pm \infty$, что и требуется. Если между этими двумя нулями $Q(\rho)-U \rho+A<0$ и $v>0$, то $\rho_{X}<0$ и решение имеет вид, приведенный на рис. 2.7, где $\rho$ монотонно возрастает от $\rho_{1}$ на $+\infty$ до $\rho_{2}$ на $-\infty$. Если $Q(\rho)-U \rho+A>0$ и $v>0$, то решение возрастает от $\rho_{2}$ на $-\infty$ до $\rho_{1}$ на $+\infty$.

,В силу уравнения (2.21) ясно, что если $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ фиксированы (так что $U$ и $A$ также фиксированы), то изменение $v$ можно компенсировать изменением масптаба по оси $X$. При $v \rightarrow 0$ профиль на рис. 2.7 сжимается в $X$-направлении и в пределе превращается в ступенчатый переход от $\rho_{1} \kappa \rho_{2}$, перемещающийся со скоростью,
Рис. 2.7. Структура ударной волны.

определяемой равенством (2.23). Это в точности совпадает с разрывным решением, изображенным на рис. 2.5. Для малых ненулевых значений $v$ ударная волна представляет собой быстрое, но непрерывное возрастание параметров течения, происходящее в узкой области. В этой узкой области опрокидывание, вызываемое нелинейностью, компенсируется диффузией, что приводит к стационарному профилю.

Одним из важнейших моментов является знак, скачка $\rho$. Если $c^{\prime}(\rho)>0$, то непрерывная волна, несущая увеличение $\rho$, опрокинется вперед и возникнет ударная волна с $\rho_{2}>\rho_{1}$; если $c^{\prime}(\rho)<0$, то произойдет опрокидывание назад и возникнет ударная волна с $\rho_{2}<\rho_{1}$.

Структура ударной волны, определяемая уравнением (2.21), должна быть такой же. Как было указано выше, из условия устойчивости следует положительность $v$, так что направление возрастания $\rho$ определяется знаком выражения $Q(\rho)-U \rho+A$ между двумя нулями $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Но $c^{\prime}(\rho)=Q^{\prime \prime}(\rho)$. Отсюда следует, что при $c^{\prime}(\rho)>0$ между нулями $Q(\rho)-U \rho+A<0$ и решение имеет вид, представтенный на рис. 2.7 с $\rho_{2}>\rho_{1}$, как это и требуется. Если $c^{\prime}(\rho)<0$, то ступенька меняется на противоположную и $\rho_{2}<\rho_{1}$. Таким образом, рассуждения об опрокидывании и структура ударной волны согласуются друг с другом.

В частном случае, когда $Q(\rho)$ является квадратичным трехчтеном
\[
Q(\rho)=\alpha \rho^{2}+\beta \rho+\gamma,
\]

интеграл в (2.22) легко вычисляется. Знак $\alpha$ определяет знак $c^{\prime}(\rho)=Q^{\prime \prime}(\rho)$ и для определенности рассмотрим случай $\alpha>0$. Можно доложить
\[
Q-U \rho+A=-\alpha\left(\rho-\rho_{1}\right)\left(\rho_{2}-\rho\right),
\]

где
\[
U=\beta+\alpha\left(\rho_{1}+\rho_{2}\right), \quad A=\alpha \rho_{1} \rho_{2}-\gamma .
\]

Тогда соотношение (2.22) принимает вид
\[
\frac{X}{v}=-\int \frac{d \rho}{\alpha\left(\rho-\rho_{1}\right)\left(\rho_{2}-\rho\right)}=\frac{1}{\alpha\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right)} \ln \frac{\rho_{2}-\rho}{\rho-\rho_{1}} .
\]

Если $X \rightarrow \infty$, то $\rho \rightarrow \rho_{1}$ экспоненциально, а если $X \rightarrow-\infty$, то $\rho \rightarrow \rho_{2}$ экспоненциально. Переходная область не имеет точной толщины, но ее можно измерить различными способами, взяв, например, расстояние, на котором плотность меняется на $90 \%$, или отношение $\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right)$ к максимальной крутизне $\left|\rho_{X}\right|$. Ясно, что все эти меры толщины пропорциональны величине
\[
\frac{v}{\alpha\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right)} .
\]

Если она мала по сравнению с другими характерными длинами задачи, то резкий ударный переход удовлетворительно аппроксимируется разрывом. Мы видим, что әта толщина стремится к нулю, когда $v \rightarrow 0$ при фиксированных $\rho_{1}, \rho_{2}$, но следует также отметить, что достаточно слабая ударная волна с $\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right) / \rho_{1} \rightarrow 0$ неизбежно становится достаточно толстой для любого сколь угодно малого фиксированного v. Для слабых ударных волн $Q(\rho)$ всегда можно аппроксимировать подходящей квадратичной функцией в интервале от $\rho_{1}$ до $\rho_{2}$, так что применима формула (2.25). Она в целом неплохо описывает форму даже ударных волн умеренной интенсивности.

Решение, описывающее структуру ударной волны, представляет собой лишь одно частное решение уравнения ( 2.20 ), но этот пример позволяет надеяться, что в общем случае, когда $v \rightarrow 0$ в надлежащем безразмерном виде, решения уравнения (2.20) стремятся к разрывным решениям уравнения
\[
\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}=0,
\]

для которых выполняется условие на разрыве
\[
U=\frac{Q\left(\rho_{2}\right)-Q\left(\rho_{1}\right)}{\rho_{2}-\rho_{1}} .
\]

Это верно, если решения сравниваются для фиксированных $x$ и при $v \rightarrow 0$. Однако поскольку переходная область ударной волны становится очень широкой, когда $\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right) / \rho_{1} \rightarrow 0$ при фиксированном $v$, то в любой задаче, в которой при $t \rightarrow \infty$ интенсивности ударных волн стремятся к нулю, может наступить конечная стадия с чрезвычайно слабыми ударными волнами, когда разрывная теория станет неприменимой. Обычно эта стадия совершенно

не представляет интереса, так как ударные волны должны быть уж очень слабыми.

Другими словами, можно сказать, что два различных шодхода к устранению неприемлемых многозначных решений согласуются. Разрывные ударные волны аналитически проще, и их можно использовать в более сложных задачах.

Для более подробного обоснования этих рассуждений нужно найти в явном виде некоторые решения уравнения (2.20) с ударными волнами различной интенсивности. Хотя в случае произвольной зависимости $Q(\rho)$ такие решения неизвестны, оказывается, что уравнение (2.20) можно решить в явном виде, если $Q(\rho)$ опять является квадратичной функцией. Умножив уравнение (2.20) на $c^{\prime}(\rho)$, его можно переписать в виде
\[
c_{t}+c c_{x}=v c^{\prime}(\rho) \rho_{x x}=v c_{x x}-v c^{\prime \prime}(\rho) \rho_{i}^{2} .
\]

Если $Q(\rho)$ – квадратичная функция, то $c(\rho)$ – линейная функция от $\rho$ и с ${ }^{\prime \prime}(\rho)=0$, откуда имеем
\[
c_{t}+c c_{x}=v c_{x x}
\]

Это уравнение Бюргерса, и его можно решить в явном виде; основные результаты приведены в гл. 4. Пока мы примем это во внимание при изучении разрывных решений уравнения (2.2), учитывая, что для очень слабых ударных волн подход, связанный с разрывными решениями, неприемлем. В этом случае можно аппроксимировать $Q(\rho)$ квадратичной функцией и использовать уравнение Бюргерса.

Рассуждения этого параграфа существенно опираются на условие $v>0$. Как отмечалось ранее, оно необходимо для устойчивостп задачи. Однако дтя потока транспорта и приливных волн имеют место интересные случаи неустойчивости, которые будут обсуждены в гл. 3.