Другие линейные уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно рассмотреть аналогичным образом при помощи преобразований Фурье и Лапласа и подходящих асимптотических разложений. Однако существует более простой интуитивный подход, который позволяет не только обойтись без утомительных

подробностей, но и глубже понять суть дела. Продемонстрируем этот подход на примере предыдущей задачи.

Прежде всего в любом волновом профиле, движущемся со скоростью, близкой к $V$, производные по $t$ и $x$ связаны приближенным равенством
\[
\frac{\partial}{\partial t} \simeq-V \frac{\partial}{\partial x} .
\]

Этот факт можно использовать в уравнении (10.5) и исследовать поочередно волны, движущиеся со скоростями $c_{1}, c_{2}, a$. Для $c_{1}$-волн положим $\partial / \partial t \simeq-c_{1} \partial / \partial x$ во всех производных, выделив предварительпо главный член, содержащий множитель $\partial / \partial t+$ $+c_{1} \partial / \partial x$, и получим
\[
\eta\left(c_{2}-c_{1}\right) \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{1} \frac{\partial}{\partial x}\right) \varphi+\left(a-c_{1}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial x}=0 .
\]

Оператор $\partial / \partial x$ можно проинтегрировать без потерь, поскольку он соответствует вкладу других волн. В соответствии с этим имеем
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+c_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\frac{c_{1}-a}{\eta\left(c_{1}-c_{2}\right)} \varphi=0 .
\]

Решение в точности совпадает с выражением (10.20). Аналогично для $c_{2}$-волн находим
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+c_{2} \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\frac{a-c_{2}}{\eta\left(c_{1}-c_{2}\right)} \varphi=0 .
\]

Решение выражается формулой, аналогичной (10.20), и может быть строго обосновано при помощи (10.32).

Дэя волн низшего порядка, распрострапяющихся со скоростью $a$, в чиенах второго порядка в (10.5) мы полагаем $\partial / \partial t \simeq$ $\simeq-а \partial / \partial x$ и получаем соответствющее приблияенное уравнение
\[
\varphi_{t}+a \varphi_{x}=\eta\left(c_{1}-a\right)\left(a-c_{2}\right) \varphi_{x x} .
\]

Это находится в точном соответствии с (10.28). Если в членах второго порядка предпочесть производные по $t$, то получим альтернативное уравнение (10.27).

Возмояность существования потраничного слоя вблизи $x=0$ можно исследовать в том же духе, считая, что производные по $x$ будут гораздо больше производных по $t$, так что следует ввести соотношение
\[
\frac{\partial}{\partial x} \gg \frac{\partial}{\partial t} .
\]

Это можно интерпретировать как частный случай приближения (10.35) с $V=0$, что соответствует неподвижным волнам. В таком приближении (10.5) сводится к уравнению
\[
\eta c_{1} c_{2} \varphi_{x x}+a \varphi_{x}=0,
\]

общее репение которого имеет вид
\[
\varphi=A(t)+B(t) \exp \left(-\frac{a}{c_{1} c_{2}} \frac{x}{\eta}\right),
\]

и согласуется с решением (10.34). Конечно, экспоненциальное репение исключается, если не выполнено условие $a /\left(c_{1} c_{2} \eta\right)>0$, и только в случае экспоненциального убывания возможно существование пограничного слоя.

Для слоя вблизи $t=0$, где в полном уравнении задаются начальные значения для ч и $\varphi_{t}$ при $t=0$, рассмотрим уравнение в приближении $\partial / \partial t \gg \partial / \partial x$. Для уравнения (10.5) имеем
\[
\eta \varphi_{i t}+\varphi_{t}=0, \quad \varphi=C(x)+D(x) e^{-t / \eta} .
\]

Это показывает, как полное решение переходит в приоллиженное решение, учитывающее только начальные значения $\varphi$.

Указанный подход позволяет быстро дать оценку различных представляющих интерес областей и получить соответствующие приближенные формулы. На этой основе легко развить более строгую процедуру рядов теории возмущений. Например, непосредственное разложение
\[
\varphi=\varphi_{0}(x, t)+\eta \varphi_{1}(x, t)+\eta^{2} \varphi_{2}(x, t)+\ldots
\]

приводит к уравнению (10.8) для $\varphi_{0}$; разложение
\[
\begin{aligned}
\varphi & =\varphi_{0}(\xi, t)+\eta^{1 / 2} \varphi_{1}(\xi, t)+\ldots, \\
\xi & =\eta^{-1 / 2}(x-a t)
\end{aligned}
\]

приводит к уравнению (10.28) для $\varphi_{0}$; разложение
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\varphi_{0}(X, t)+\eta \varphi_{1}(X, t)+\ldots, \\
X=\eta^{-1} x
\end{array}
\]

приводит к уравнению пограничного слоя (10.39) для $\varphi_{0}$.