Для глубокой воды, когда $k h_{0} \gg 1$, индуцированные изменения параметров $h$ и $\beta$ пренебрежимо малы. Этого следовало ожидать заранее, но это подтверждается и явно формулами (16.99). Усредненный лагранжиан (16.73) принимает вид
\[
\mathscr{L}_{W}=\frac{1}{2}\left(\frac{\omega^{2}}{g k}-1\right) E-\frac{1}{2} \frac{k^{2} E^{2}}{\rho g}+O\left(E^{3}\right) .
\]

Взаимодействие между средним течением и волнами, описываемыми лагранжианом $\mathscr{L}_{W}$, отсутствует. Что касается волн, то можно работать исключительно с лагранжианом $\mathscr{L}_{W}$. Он согласуется с простым выражением из предыдущих задач, где псевдочастоты не возникали и $\omega, k, E$ были единственными волновыми параметра-

ми. Дисперсионное соотношение $\mathscr{L}_{E}=0$ имеет вид
\[
\omega^{2}=g k\left(1+\frac{2 k^{2} E}{\rho g}+\ldots\right)=g k\left(1+k^{2} a^{2}+\ldots\right),
\]

что согласуется с предыдущими результатами. Уравнения модуляций для $E$ и $k$ даются равенствами (16.77).

Для заданного потока со скоростью $U_{0}$ предыдущие доводы относятся скорее к $\beta-U_{0}$, чем к самому параметру $\beta$, и в пределе глубокой воды усредненный лагранжиан $\mathscr{L}_{W}$ модифицируется:
\[
\mathscr{L}_{W}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\left(\omega-U_{0} k\right)^{2}}{g k}-1\right\} E-\frac{1}{2} \frac{k^{2} E^{2}}{\rho g}+O\left(E^{3}\right) .
\]