Рассмотренная выше теория игнорирует изменения давления над поверхностью воды, связанные с движением воздуха. Здесь мы подтвердим это предположение на типичном примере. Рассуждения можно с пользой объединить с рассмотрением других эффектов на поверхности раздела между двумя жидкостями, включая случай сравнимых плотностей. Пусть жидкость с плотностью $\rho^{\prime}$ расположена над жидкостью с плотностью $\rho$, и пусть для простоты обе жидкости имеют бесконечную глубину. Течения безвихревые
с потенциалами $\varphi^{\prime}$ и $\varphi$ соответственно, и поверхность раздела описывается уравнением $y=\eta$. Давления в жидкостях удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{c}
p^{\prime}-p_{0}=-\rho^{\prime}\left\{\varphi_{t}^{\prime}+\frac{1}{2}\left(
abla \varphi^{\prime}\right)^{2}+g y\right\}, \\
p-p_{0}=-\rho\left\{\varphi_{t}+\frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}+g y\right\} .
\end{array}
\]

где $p_{0}$ – общее невозмущенное давление, а условия на свободной поверхности имеют вид
\[
\left.\begin{array}{c}
p^{\prime}=p, \\
\eta_{t}+\varphi_{x_{1}}^{\prime} \eta_{x_{1}}+\varphi_{x_{2}}^{\prime} \eta_{x_{2}}-\varphi_{y}^{\prime}=0, \\
\eta_{t}+\varphi_{x_{1}} \eta_{x_{1}}+\varphi_{x_{2}} \eta_{x_{2}}-\varphi_{y}=0
\end{array}\right\} \text { при } y=\eta
\]

Интересно рассмотреть возмущения стационарных течений со скоростями $U^{\prime}, U$ в обеих жидкостях. Рассматривая только одномерные волны и линеаризуя граничные условия, полагаем
\[
\varphi^{\prime}=U^{\prime} x-\frac{1}{2} U^{\prime 2} t+\Phi^{\prime}, \quad \varphi=U x-\frac{1}{2} U^{2} t+\Phi
\]

и сохраняем только члены первого порядка по $\Phi^{\prime}$, Ф и $\eta$. Граничные условия переходят в следующие:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\rho^{\prime}\left(\Phi_{t}^{\prime}+U^{\prime} \Phi_{x}^{\prime}+g \eta\right) & =\rho\left(\Phi_{t}+U \Phi_{x}+g \eta\right), \\
\eta_{t}+U^{\prime} \eta_{x}-\Phi_{y}^{\prime} & =0, \\
\eta_{t}+U \eta_{x}-\Phi_{y} & =0
\end{array}\right\} \text { при } y=0 .
\]

Поскольку функции $\Phi^{\prime}$ и $\Phi$ удовлетворяют уравнению Лапласа и стремятся к нулю при $y \rightarrow+\infty, y \rightarrow-\infty$ соответственно, элементарные решения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\Phi^{\prime}=B^{\prime} e^{i(x x-\omega t)-x y}, \quad \Phi=B e^{i(x x-\omega t)+x y}, \\
\eta=A e^{i(x x-\omega t)} .
\end{array}
\]

Тогда граничные условия (13.48) дают дисперсионное соотношение
\[
\frac{\omega}{x}=\frac{\rho U+\rho^{\prime} U^{\prime}}{\rho+\rho^{\prime}} \pm\left\{\frac{g}{x} \frac{\rho-\rho^{\prime}}{\rho+\rho^{\prime}}-\frac{\rho \rho^{\prime}}{\left(\rho+\rho^{\prime}\right)^{2}}\left(U-U^{\prime}\right)^{2}\right\}^{1 / 2} .
\]

Для случая $U=U^{\prime}=0$ находим, что
\[
\omega=\left\{g \chi\left(\frac{\rho-\rho^{\prime}}{\rho+\rho^{\prime}}\right)\right\}^{1 / 2} .
\]

Этот результат в пределе при $\rho^{\prime} / \rho \rightarrow 0$ подтверждает әлементарное решение, в котором не учитывается движение воздуха, и дает малую поправку.

Интересно, однако, что, когда $\omega$ имеет мнимую часть, полученные выражения свидетельствуют о различных случаях неустойчивости. Можно выделить следующие случаи.

1. $U=U^{\prime}=0$. Этот случай неустойчив, если $\rho^{\prime}>\rho$, как и следовало ожидать.
2. $g=0, U
eq U^{\prime}$. Этот случай всегда неустойчив (неустойчивость Гельмгольца).
3. $\rho=\rho^{\prime}, U
eq U^{\prime}$. Этот случай аналогичен случаю 2 , поскольку гравитационные әффекты могут возникать только при различных плотностях.
4. $\rho
eq \rho^{\prime}, U
eq U^{\prime}$. Решение всегда неустойчиво для достаточно коротких волн, но этот результат можно уточнить, учитывая стабилизирующее влияние поверхностного натяжения для самых коротких волн. Эффекты поверхностного натяжения легко включить в рассмотрение при помощи соответствующего граничного условия.