На воде волны распространяются горизонтально, так что әлементарные решения имеют вид
\[
\eta=A e^{i x \cdot \mathbf{x}-i \omega t}, \quad \varphi=Y(y) e^{i x \cdot \mathbf{x}-i \omega t} ;
\]

они осциллируют по $\mathbf{x}, t$, но не по $y$. Функция $\varphi$ такого вида будет решением уравнения Лапласа, если
\[
Y^{\prime \prime}-x^{2} Y=0, \quad x=|x|=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

Для воды с постоянной глубиной $h_{0}$ должно выполняться следующее граничное условие: $Y^{\prime}(y)=0$ при $y=-h_{0}$. Поэтому
\[
Y \propto \operatorname{ch} x\left(h_{0}+y\right) .
\]

В силу (13.23), для амплитуды функции $\eta$ имеем
\[
A=\frac{i \omega}{g} Y(0)
\]

и соответственно
\[
Y(y)=-\frac{i g}{\omega} A \frac{\operatorname{ch} x\left(h_{0}+y\right)}{\operatorname{ch} x h_{0}} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
\eta=A e^{i x \cdot \mathbf{x}-\omega t}, \\
\varphi=-\frac{i g}{\omega} A \frac{\operatorname{ch} x\left(h_{0}+y\right)}{\operatorname{ch} x h_{0}} e^{i x \cdot \mathbf{x}-\omega t} .
\end{array}
\]

Оставшееся условие $\varphi_{t t}+g \varphi_{y}=0$ при $y=0$ дает дисперсионное соотношение
\[
\omega^{2}=g x \text { th } x h_{0} .
\]

В § 11.1 было указано, что дифференциальные уравнения должны приводить к полиномиальным дисперсионным соотношениям при условии, что зависимость от всех независимых переменных синусоидальна. В данном случае получилось трансцендентное уравнение (13.25), поскольку зависимость от $y$ не синусоидальна. Можно считать, что все волны распространяются в $(x, t)$-пространстве и что зависимость от $y$ указывает на связь между волновыми движениями на различных глубинах.