Волновое уравнение (7.1) является основным уравнением в акустике, теории упругости и электромагнетизме.
Акустика
Уравнения акустики были получены в § 6.6. Здесь они приводятся для удобства ссылок. Уравнения газовой динамики линеаризуются для малых возмущений однородного состояния, для которого
\[
u=0, \quad \rho=\rho_{0}, \quad p=p_{0}=p\left(\rho_{0}\right) .
\]

Скоростью распространения возмущений является
\[
a_{0}^{2}=p^{\prime}\left(\rho_{0}\right),
\]

а сами возмущения выражаются через потенциал $\varphi$ :
\[
\begin{aligned}
u & =
abla \varphi, \\
p-p_{0} & =-\rho_{0} \varphi_{t}, \\
\rho-\rho_{0} & =-\frac{\rho_{0}}{a_{0}^{2}} \varphi_{t} .
\end{aligned}
\]

Подстановка в линеаризованное уравнение неразрывности приводит к уравнению для $\varphi$ :
\[
\varphi_{t t}=a_{0}^{2}
abla^{2} \varphi .
\]

Линеаризованное сверхзвуковое течение
Формализм акустики можно использовать, когда возмущение вызвано движущимся твердым телом. Для того чтобы возмущение оставалось малым, или перемещения тела должны быть малыми (например, колебания мембраны громкоговорителя), или тело должно быть очень тонким. Первое типично для источника акустических волн, и необходимо решать уравнение с соответствующими граничными условиями.

Случай тонкого тела, движущегося с произвольной постоянной скоростью, связывает акустику с аэродинамикой. Если тело движется с постоянной скоростью, то, очевидно, удобно перейти к движущейся системе координат, связанной с телом. Пусть координаты $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right.$ ) относятся к исходной системе, в которой движение газа мало и описывается уравнениями (7.3)–(7.6). Если тело движется со скоростью $U$ в отрицательном направлении оси $x_{1}$ и координаты $(x, y, z)$ относятся к системе, неподвижной относительно тела, то координаты преобразуются по формулам
\[
x=x_{1}+U t, \quad y=x_{2}, \quad z=x_{3} .
\]

Компоненты скорости в новой системе равны $\left(U+u_{1}, u_{2}, u_{3}\right.$ ), где $u_{i}=\partial \varphi / \partial x_{i}$. Далее, в новой системе координат течение является стационарным, так что
\[
\varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right)=\Phi(x, y, z)=\Phi\left(x_{1}+U t, x_{2}, x_{3}\right) .
\]

Таким образом, уравнение (7.6) принимает вид
\[
\left(M^{2}-1\right) \Phi_{x x}=\Phi_{y y}+\Phi_{z z}, \quad M=\frac{U}{a_{0}},
\]

а вместо (7.4) получаем
\[
p-p_{0}=-\rho_{0} U \Phi_{x} .
\]

Компоненты скорости газа относительно тела равны
\[
\left(U+\Phi_{x}, \Phi_{y}, \Phi_{z}\right) .
\]

Для сверхзвукового течения $M>1$ и определяющее уравнение снова является волновым, но с меньшим числом переменных, причем $x$ играет роль времени. Эта аналогия уже была отмечена в $\S 6.16$.
Теория упругости
Будем считать, что вывод волнового уравнения при элементарном исследовании поперечных колебаний струны и мембраны, а также продольных и крутильных волн в стержнях хорошо известен. Здесь мы рассмотрим вывод волнового уравнения в полной трехмерной теории.

Движение упругого твердого тела можно описать в терминах смещения $\boldsymbol{\xi}(\mathbf{x}, t)$ точки из положения $\mathbf{x}$ в недеформированном состоянии. Удобно также ввести $\mathbf{X}(\mathbf{x}, t)=\mathbf{x}+\xi(\mathbf{x}, t)$ – новое положение в момент времени $t$. Силы, действующие на поверхности деформированного тела, можно описать так же, как и в случае жидкости (см. § 6.1), посредством тензора напряжений $p_{j i}$. Если мы временно будем считать напряжение в деформированном состоянии функцией текущей переменной $\mathbf{X}$, то напряжения вызовут результирующую силу на единицу объема, равную $\partial p_{j i} / \partial X_{j}$. Это следует из теоремы о дивергенции точно так же, как и в случае жидкости. Однако предыдущее «лагранжево» описание смещений (обычно более удобное в упругости) связывает все величины с исходным недеформированным состоянием. При этом результирующая сила на единицу объема недеформированного состояния равна
\[
J \frac{\partial x_{k}}{\partial X_{j}} \frac{\partial p_{j i}}{\partial x_{k}},
\]

где $J$ – якобиан
\[
J=\frac{\partial\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)} .
\]

Далее, производная $\partial x_{k} / \partial X_{j}$ равна $J_{j k} / J$, где $J_{j k}$ – алгебраическое дополнение элемента $\partial X_{g} / \partial x_{k}$ в определителе (7.11). Результирующая сила на единицу объема недеформированного состояния (7.10) равна, таким образом,
\[
J_{j k} \frac{\partial p_{j i}}{\partial x_{k}},
\]

и уравнения движения имеют вид
\[
\rho_{0} \frac{\partial^{2} X_{i}}{\partial t^{2}}=J_{j k} \frac{\partial p_{j i}}{\partial x_{k}} .
\]

Удлинение произвольного линейного элемента при переходе из недеформированного состояния в деформированное определяется равенством

где
\[
\begin{aligned}
d X_{i}^{2}-d x_{j}^{2} & =\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{k}} d x_{j} d x_{k}-d x_{j}^{2}= \\
& =2 \varepsilon_{j k} d x_{j} d x_{k},
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\varepsilon_{j k} & =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{k}}-\delta_{j k}\right)= \\
& =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \xi_{k}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial \xi_{j}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial \xi_{i}}{\partial x_{j}} \frac{\partial \xi_{i}}{\partial x_{k}}\right) .
\end{aligned}
\]

В общем случае напряжения $p_{j i}$ зависят от деформаций $\varepsilon_{j k}$ и от температуры.

В линейной теории упругости для малых смещений $\xi$ из недеформированных состояний уравнения линеаризуются следующим образом. Поскольку $J_{j k}=\delta_{j k}+O(
abla \xi)$, при линеаризации уравнение (7.12) принимает вид
\[
\rho_{0} \frac{\partial^{2} \xi_{i}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial p_{j i}}{\partial x_{j}},
\]

а выражения для деформаций (7.13) записываются так:
\[
\varepsilon_{j k}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \xi_{k}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial \xi_{j}}{\partial x_{k}}\right) .
\]

Формула, связывающая напряжения с деформациями, имеет вид
\[
p_{j i}=2 \mu \varepsilon_{j i}+\lambda \varepsilon_{k k} \delta_{j i},
\]

где $\lambda$ и $\mu$ – постоянные Ламе. Строго говоря, постоянные $\lambda$ и $\mu$ зависят от характера движения, например от того, является оно изэнтропическим или изотермическим, но для большинства материалов эта разница мала. (Хорошее элементарное изложение термодинамики имеется в книге Ландау и Јифшица [3], стр. 18.)

В силу равенств $(7.14)-(7.16)$, три уравнения для смещений $\xi_{i}$ имеют вид
\[
\rho_{0} \frac{\partial^{2} \xi_{i}}{\partial t^{2}}=\mu
abla^{2} \xi_{i}+(\lambda+\mu) \frac{\partial}{\partial x_{i}}(
abla \cdot \xi) .
\]

Взяв дивергенцию и ротор от (7.17), получим
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(
abla \cdot \xi) & =\frac{\lambda+2 \mu}{\rho_{0}}
abla^{2}(
abla \cdot \xi), \\
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(
abla \times \xi) & =\frac{\mu}{\rho_{0}}
abla^{2}(
abla \times \xi)
\end{aligned}
\]

соответственно. Таким образом, существуют две моды, удовлетворяющие волновому уравнению. Уравнение (7.18) описывает про-

дольные волны (волны сжатия), распространяющиеся со скоростью $\left\{(\lambda+2 \mu) / \rho_{0}\right\}^{1 / 2}$, в то время как уравнение (7.19) описывает поперечные волны (волны сдвига), имеющие скорость $\left\{\mu / \rho_{0}\right\}^{1 / 2}$. Эти две моды связаны посредством граничных и начальных усло. вий, накладываемых на $\xi_{i}$ или на $p_{j i}$, и полное решение задачи требует гораздо большего, чем просто решения волнового уравнения.
Электромагнитные волны
Уравнения Максвелла для непроводящей среды с магнитной проницаемостью $\mu$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ записываются так:
\[
\begin{array}{rlrl}
\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}+
abla \times \mathbf{E} & =0, \quad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\frac{1}{\mu}
abla \times \mathbf{B}, \\

abla \cdot \mathbf{B} & =0, \quad
abla \cdot \mathbf{E} & =0,
\end{array}
\]

где $\mathbf{B}$ – магнитная индукция, а $\mathbf{E}$ – напряженность электрического поля. Следовательно,
\[
\frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}=-\frac{1}{\varepsilon \mu}
abla \times(
abla \times \mathbf{B})=\frac{1}{\varepsilon \mu}
abla^{2} \mathbf{B} ;
\]

аналогичному уравнению удовлетворяет и Е. Все компоненты векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ удовлетворяют волновому уравнению со скоростью распространения $c=(\varepsilon \mu)^{-1 / 2}$. Однако компоненты связаны друг с другом условиями $
abla \cdot \mathbf{E}=0,
abla \cdot \mathbf{B}=0$, и, кроме того, дополнительные связи накладывают краевые и начальные условия. Поэтому решение задачи снова не сводится только к решению скалярного волнового уравнения.