Система (16.122) в общем случае является гиперболической, и мы теперь рассмотрим характеристические уравнения. Функцию $W$ и ее производные $W_{A}, W_{B}, W_{U}$ можно выразить через полные эллиптические интегралы и можно непосредственно вывести уравнения в характеристической форме, но при этом придется изрядно потрудиться. Удивительно, однако, что если вместо $A, B, U$ в качестве переменных использовать нули $p, q, r$ кубического уравнения
\[
\eta^{3}-\frac{1}{2} U \eta^{2}+B \eta-A=0
\]
и если учесть различные (нетривиальные) тождества между вторыми производными функции $W$, то уравнения можно представить в простой форме, для которой характеристические соотношения и скорости очевидны. Оказывается, что уравнения можно записать как
\[
\begin{array}{c}
(q+r)_{t}+P(q+r)_{x}=0, \\
P=2\left\{(p+q+r)-\frac{p\left(W_{q}-W_{r}\right)+q\left(W_{r}-W_{p}\right)+r\left(W_{p}-W_{q}\right)}{W_{q}-W_{r}}\right\},
\end{array}
\]
плюс аналогичные уравнения для $r+p$ и $p+q$, получаемые циклической перестановкой. Таким образом, инварианты Римана равны просто
\[
q+r, r+p, p+q,
\]
а соответствующие характеристические скорости $P, Q, R$ равны коэффициенту в (16.125) и соответствующим диклическим перестановкам.
В этом месте полезно выразить интересующие нас величины через эллиптические интегралы. Введем
\[
a=\frac{p-q}{2}, \quad s^{2}=\frac{p-q}{p-r}, \quad p>q>r ;
\]
здесь $a$ – амплитудная переменная, а $s$ – модуль эллиптических интегралов. Тогда можно показать, что
\[
\beta=\bar{\eta}=p-2 a \frac{D(s)}{K(s)},
\]
где $D(s), K(s)$ – полные эллиптические интегралы в стандартных обозначениях (Янке и Эмде [1]). Если в качестве основных переменных мы предпочтем использовать $\beta, a, s$, то получим
\[
\begin{array}{c}
p=\beta+2 a \frac{D}{K}, \quad q:=\beta+2 a\left(\frac{D}{K}-1\right), \\
r=\beta+2 a\left(\frac{D}{K}-\frac{1}{s^{2}}\right) .
\end{array}
\]
Волновое число и фазовая скорость равны соответственно
\[
\begin{array}{c}
k=\frac{1}{W_{A}}=\frac{\pi a^{1 / 2}}{s K}, \\
U=\frac{\omega}{k}=2(p+q+r)=6 \beta+4 a\left(\frac{3 D}{K}-\frac{1+s^{2}}{s^{2}}\right) .
\end{array}
\]
Инварианты Римана и характеристические скорости оказываются следующими.
\begin{tabular}{cc}
\hline Инвариант Римана & Характеристическая скорость \\
\hline$+r$ & $P=U-\frac{4 a K}{s^{2} D}$ \\
$r+p$ & $Q=U-\frac{4 a\left(1-s^{2}\right) K}{s^{2}(K-D)}$ \\
$r+q$ & $R=U-\frac{4 a\left(1-s^{2}\right) K}{s^{2}\left(s^{2} D-K\right)}$
\end{tabular}
В общем случае скорости $P, Q, R$ различны, причем $P<Q<$ $<R$. Таким образом, система является гиперболической. Оба предела $s^{2} \rightarrow 0$ и $s^{2} \rightarrow 1$ дают особенность в том смысле, что две из скоростей становятся равными. Предельные уравнения не будут строго гиперболическими, но поскольку одно из них отщепляется, их все еще можно решать интегрированием вдоль характеристик. С этой ситуацией мы уже встречались ранее в линейной теории, соответствующей пределу $s^{2} \rightarrow 0$.
Случай малой амплитуды
В пределе $a \rightarrow 0, s^{2} \rightarrow 0$, сохраняя волновое число $k$, определенное формулой (16.129), конечным и ненулевым, имеем
\[
s \sim \frac{2 a^{1 / 2}}{k} .
\]
Вычисление пределов при $s^{2} \rightarrow 0$ дает
\[
P, Q \rightarrow 6 \beta-3 k^{2}, \quad R \rightarrow 6 \beta .
\]
В линейной теории изменениями параметра $\beta$ можно пренебречь, так что линейная групговая скорость $-3 k^{2}$ будет двойной характеристической скоростью. С поправками следующего порядка, т. е. в почти линейной теории, найдем
\[
\begin{array}{l}
P \sim 6 \beta-3 k^{2}-3 a+O\left(\frac{a^{2}}{k^{2}}\right), \\
Q \sim 6 \beta-3 k^{2}+3 a+O\left(\frac{a^{2}}{k^{2}}\right), \\
R \sim 6 \beta+O\left(\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) .
\end{array}
\]
В соответствующем приближении исходные уравнения имеют вид
\[
\begin{aligned}
\beta_{t}+6 \beta \beta_{x}+\left[\frac{3}{2} a^{2}\right]_{x} & =0, \\
k_{t}+\left(6 \beta k-k^{3}+\left[\frac{3}{2} \frac{a^{2}}{k}\right]\right)_{x} & =0, \\
\left(a^{2}\right)_{t}+\left\{\left(6 \beta-3 k^{2}\right) a^{2}\right\}_{x}+6 a^{2} \beta_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]
Члены в квадратных скобках являются почти линейными поправками к линейной теории. В линейной теории уравнение для $\beta$ отщепляется и его можно решить независимо; оно дает характеристическую скорость $R=6 \beta$. Как правило, однако, подходит репение $\beta=0$, и мы имеем обычные уравнения модуляций для $a$ и $k$. Почти линейные поправки приводят к важным качественным изменениям, делающим сиотему строго гиперболической и расщепляющим оставшиеся групповые скорости.
Решающее значение имеет модификация уравнения для $\beta$. Если бы вводилась только поправка к частоте (во втором уравнении), то система двух уравнений имела бы мнимые характеристики и случай представлялся бы неустойчивым. В обозначениях § 14.2 имеем $\omega_{0}=-k^{3}, \omega_{2}=3 / 2 k, \omega_{0}^{\prime \prime} \omega_{2}<0$. Но наличие связи с $\beta$ стабилизирует модуляции, и полная система оказывается гиперболической. Можно было бы просто найти характеристики системы (16.132) и проверить формулы (16.131), но опять целесообразнее использовать подход, развитый в § 16.11. Если параметр $\beta$ полностью индуцирован волновым движением, то можно использовать второе и третье уравнения системы (16.132) и показать в низшем порядке, что $\left(a^{2}\right)_{x}=\left(a^{2} /\left(3 k^{2}\right)\right)_{t}$. Тогда, в силу первого уравнения,
\[
\beta=-\frac{a^{2}}{2 k^{2}} \text {. }
\]
После подстановки этого выражения во второе уравнение находим эффективное изменение частоты
\[
\Omega_{2}=6 \beta k+\frac{3}{2} \frac{a^{2}}{k}=-\frac{3}{2} \frac{a^{2}}{k} .
\]
Теперь уравнения для $a$ и $k$ являются гиперболическими, а характеристические скорости равны $-3 k^{2} \pm 3 a$, что согласуется с формулами (16.131).
