Уравнения, описывающие процесс обмена между твердой фазой и протекающей через нее жидкостью, были выведены в $\$ 2.2$. Обмен либо может быть связан с частицами или ионами какого-нибудь вещества, либо речь может идти о тепловом обмене между твердой фазой и жидкостью. Другим примером является отложение осадков в реках (см. Кинч [1]).
Уравнения, связывающие плотность $\rho_{f}$ в жидкости и плотность $\rho_{s}$ адсорбированного вещества, имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho_{f}+\rho_{s}\right)_{i}+\frac{\partial}{\partial x}\left(V \rho_{f}\right)=0, \\
\frac{\partial \rho_{s}}{\partial t}=k_{1}\left(A-\rho_{s}\right) \rho_{f}-k_{2} \rho_{s}\left(B-\rho_{f}\right) .
\end{array}
\]
При сравнительно медленных изменениях плотностей и сравнительно высоких скоростях реакции $k_{1}, k_{2}$ во втором уравнении можно пренебречь членом $\partial \rho_{s} / \partial t$ и взять его в квазиравновесной форме, что даст
\[
\rho_{s}=R\left(\rho_{j}\right)=\frac{k_{1} A \rho_{f}}{k_{2} B+\left(k_{1}-k_{2}\right) \rho_{f}} .
\]
Подставив это выражение в (3.61), получим
\[
\frac{\partial \rho_{f}}{\partial t}+\frac{V}{1+R^{\prime}\left(\rho_{f}\right)} \frac{\partial \rho_{f}}{\partial x}=0 .
\]
Таким образом, изменения плотности распространяются вверх по потоку со скоростью
\[
c=\frac{V}{1+R^{\prime}\left(\rho_{f}\right)},
\]
где
\[
R^{\prime}\left(\rho_{f}\right)=\frac{k_{1} k_{2} A B}{\left\{k_{2} B+\left(k_{1}-k_{2}\right) \rho_{f}\right\}^{2}} .
\]
Если рассматриваемые плотности малы, то приближенно
\[
c=\frac{k_{2} B}{k_{1} A+k_{2} B} V .
\]
Скорость распространения возмущений зависит от скоростей реакции рассматриваемого процесса; она меньше для вещества с большей адсорбционной способностью. Если на колонку поступает смесь веществ, различные компоненты которой обладают различными адсорбционными способностями, то эти компоненты будут двигаться вниз по колонке с различными скоростями. Таким образом, на колонке компоненты смеси образуют отдельные полосы; если они к тому же окрашены, то образуется спектр. В этом и заключается процесс хроматографического разделения. Нелинейные эффекты приводят к более высоким концентрациям в начале или в конце полосы в зависимости от знака $c^{\prime}\left(\rho_{f}\right.$ ). Конечно, нелинейные уравнения для одного компонента справедливы только после разделения.
Структуру ударной волны и другие вопросы можно изучать при помощи полных уравнений (3.61) и (3.62). Достопримечательно, что в этом случае, как показал Томас [1], полные уравнения можно преобразовать (точно) в линейное уравнение. Сначала вводится движущаяся система координат
\[
\tau=t-\frac{x}{V}, \quad \sigma=\frac{x}{V},
\]
и уравнения принимают вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \rho_{f}}{\partial \sigma}+\frac{\partial \rho_{s}}{\partial \tau} & =0, \\
\frac{\partial \rho_{s}}{\partial \tau} & =\alpha \rho_{f}-\beta \rho_{s}-\gamma \rho_{s} \rho_{f} .
\end{aligned}
\]
Первое уравнение превращается в тождество выбором
\[
\rho_{f}=\psi_{\tau}, \quad \rho_{s}=-\psi_{\sigma},
\]
а из второго уравнения получается уравнение для $\psi$ :
\[
\psi_{\sigma \tau}+\alpha \psi_{\tau}+\beta \psi_{\sigma}+\gamma \psi_{\sigma} \psi_{\tau}=0 .
\]
Произведем теперь нелинейное преобразование
\[
\gamma \psi=\ln \chi
\]
и получим
\[
\chi_{\sigma \tau}+\alpha \chi_{\tau}+\beta \chi_{\sigma}=0,
\]
7_n15n.
так что нелинейное преобразование исключило нелинейный член. В исходных переменных мы получаем
\[
\begin{array}{c}
\rho_{f}=\frac{1}{\gamma} \frac{\chi_{t}}{\chi}, \quad \rho_{s}=-\frac{\chi_{t}+V \chi_{x}}{\gamma \chi}, \\
\chi_{t t}+V \chi_{x t}+(\alpha+\beta) \chi_{t}+\beta V \chi_{x}=0 .
\end{array}
\]
Общее решение этого линейного уравнения можно получить при помощи преобразования Фурье, так что в данном случае решения приближенного уравнения (3.64), включающие, если необходимо, разрывы, можно подробно сравнить с точным решением. Этот вопрос широко изучался Гольдштейном и Мерреем (Гольдштейн [1], Гольдштейн и Меррей [1]). Точное решение подтверждает идеи и методы введения разрывов в решения уравнения (3.64). Детали здесь не приводятся, поскольку такое же подтверждение дает уравнение Бюргерса, с которым проще работать. Несколько сходный анализ проводится в гл. 10 в ином контексте.
Для процессов обмена обе постоянные $\alpha=k_{1} A$ и $\beta=k_{2} B$ положительны. При таких знаках равновесное состояние всегда устойчиво. Это можно проверить, рассмотрев возмущения уравнения (3.74). Заметим, что волны низшего порядка распространяются со скоростью
\[
c_{0}=\frac{\beta V}{\alpha+\beta},
\]
в то время, как скорости волн высшего порядка равны $c_{-}=0$ и $c_{+}=V$. Поэтому при $\alpha>0, \beta>0$ критерий устойчивости $c_{-}<c_{0}<c_{+}$всегда выполняется.
