6.4. Гравитационная сфера влияния

При движении кометы или космического аппарата вблизи планеты удобным является понятие гравитационной сферы влияния (сферы действия). Сфера влияния планеты представляет собой почти сферическую поверхность, центр которой совпадает с планетой.

Рис. 6.2.

Внутри этой поверхности орбиту кометы или аппарата удобнее считать планетоцентрической орбитой, испытывающей возмущения со стороны Солнца. Точно так же лунный зонд (в системе Земля — Луна) вблизи Луны можно считать движущимся в сфере влияния Луны.

Размер данной сферы может быть получен из следующих соображений. Пусть планета Р, Солнце S и космический аппарат V имеют массы причем пренебрежимо мало по сравнению и М. Тогда, воспользовавшись уравнением (6.3), получаем уравнение движения аппарата относительно Солнца в виде

Уравнение движения аппарата относительно планеты, которое также следует из (6.3), имеет вид

Пренебрегая массой и замечая, что

уравнения (6.6) и (6.7) можно переписать следующим образом:

    (6.9)

Вводя при помощи формул

получаем

и

Отношения определяют соответственно порядок величины возмущения со стороны планёты на кеплеровскую гелиоцентрическую орбиту и порядок величины возмущения со стороны Солнца на кеплеровскую планетоцентрическую орбиту. В качестве сферы влияния выбирается такая поверхность вокруг планеты, в каждой точке которой эти отношения равны. Вне этой поверхности меньше, чем поэтому удобнее считать, что аппарат движется по гелиоцентрической орбите и испытывает возмущения со стороны планеты. Внутри поверхности отношение больше, чем и в этой области лучше рассматривать планетоцентрическую орбиту, возмущаемую Солнцем.

На практике величина всегда много меньше, чем Исходя из этого, Тиссеран показал, что поверхность близка к сфере с радиусом

В случае системы Земля — Луна радиус сферы действия Луны определяется формулой

где — геоцентрическое расстояние Луны, а и М — массы Луны и Земли соответственно. Размеры сфер влияния планет приведены в табл. 12.1 (гл. 12).

В астродинамике при рассмотрении так называемых вопросов осуществимости применяется более точный критерий, приводящий к двум сферам влияния. Будем пренебрегать возмущением, действующим со стороны планеты на космический аппарат, если оно не превосходит некоторой малой доли от кеплеровского гелиоцентрического ускорения. Тогда уравнение

определяет внешнюю сферу влияния. За ее пределами могут использоваться обычные уравнения задачи двух тел. Аналогичное уравнение

определяет вторую, внутреннюю, сферу влияния, в пределах которой возмущение от Солнца меньше, чем кеплеровское планетоцентрическое ускорение, умноженное на Внутри нее могут использоваться обычные уравнения задачи двух тел для системы планета — космический аппарат. Чтобы получить всю траекторию аппарата, пересекающего обе сферы влияния, нужно в пространстве между сферами воспользоваться каким-нибудь методом общих или специальных возмущений. Однако в некоторых задачах, например при исследовании вопросов осуществимости, этой частью траектории можно пренебречь, так как космический аппарат находится между сферами не настолько долго, чтобы орбита успела заметно отклониться от конического сечения.

Чтобы получить из уравнений (6.8) и (6.9) простые формулы для заметим, что если космический аппарат V расположен между планетой и Солнцем на соединяющей их прямой линии, то имеет место соотношение

Здесь предполагается, что гелиоцентрическая ось х направлена вдоль радиуса-вектора Солнце — планета, а — соответственно гелиоцентрические координаты планеты и аппарата. Заметим также, что выполняются следующие соотношения:

Аналогично

Здесь предполагается, что планетоцентрическая ось х направлена вдоль радиуса-вектора планета — Солнце, — соответственно планетоцентрические координаты Солнца и аппарата. Полагая теперь

и обозначая , получаем выражения

дающие значения для .

Например, радиусы внешней и внутренней сфер влияния вокруг Земли в системе Солнце — Земля (если равны соответственно 0,0178 и 0,0027 астрономических единиц (а. е.), а радиус, вычисленный по формуле (5.70), равен 0,0062 а. е. (См. также табл. 12.2 в гл. 12.)