2.9. Преобразование систем координат

Часто требуется осуществить переход от одной системы координат к другой. При этом нногда наряду с поворотом осей совершается также перенос начала отсчета, но чаще начало отсчета остается неизменным.

Одни преобразования легче проводить с использованием формул сферической тригонометрии. Другие оказываются проще, если воспользоваться векторными методами.

2.9.1. Основные формулы сферической тригонометрии

Геометрия на сфере оперирует с большими кругами, малыми кругами и их дугами. Расстояния вдоль этих кругов измеряются как углы, поскольку радиус сферы для удобства принимается равным единице.

Большой круг получается в результате пересечения с поверхностью сферы плоскости, проходящей через центр сферы.

Если плоскость не проходит через центр сферы, то в результате ее пересечения со сферой получается малый круг.

Полюсами большого круга называются две точки на сфере, расстояние которых от любой точки большого круга равно 90°.

На рис. 2.9 полюсы большого круга FCD обозначены буквами и Q. Очевидно, линия, соединяющая полюсы, пересекается с плоскостью большого круга в центре сферы и образует с этой плоскостью прямой угол.

Два больших круга образуют в точке пересечения сферический угол, который определяется как угол между касательными к большим кругам в точке их пересечения.

Рис. 2.9.

Сферический угол определяется только по отношению к двум пересекающимся большим кругам.

Замкнутая фигура, образованная дугами трех больших кругов, называется сферическим треугольником, если она обладает следующими свойствами:

1) Сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

2) Сумма трех углов больше 180°.

3) Каждый сферический угол меньше 180°.

Длина дуги малого круга связана простым соотношением с длиной дуги такого большого круга, плоскость которого параллельна плоскости малого круга.

На рис. 2.9 полюс Р большого круга FCD является также полюсом малого круга ЕАВ, плоскость которого параллельна плоскости большого круга FCD. Если провести большие круги через Р и концы А к В дуги малого круга, то они пересекутся с большим кругом в точках С и D. Легко показать, что

При этом надо помнить, что стороны измеряются как углы, а радиус сферы равен единице. В качестве примера использования этой формулы можно рассмотреть вопрос о том, насколько удалены друг от друга два пункта на поверхности Земли, если они расположены на одной широте, а расстояние измеряется вдоль параллели. Предположим в данном примере, что Земля сферическая. На рис. 2.9 точки А и В обозначают наши пункты. Угол АОС — это широта так что

Если долгота А равна , а долгота , то их разность равна и

Тогда

или, иначе, искомое расстояние равно разности долгот, умноженной на косинус широты. Расстояние по поверхности Земли в таких задачах обычно измеряют в морских милях. Морская миля равна длине дуги большого круга на поверхности Земли, соответствующей углу Г. На самом деле поверхность Земли не является абсолютно сферической. Поэтому длина морской мили непостоянна, и в качестве единицы практически используется ее среднее значение, равное 1,852 км.

Разность долгот можно выразить в дуговых минутах. Число дуговых минут равно числу морских миль. Таким образом, воспользовавшись приведенной выше формулой, можно вычислить расстояние между пунктами.

Рис. 2.10.

Заметим, что при вычислении разности долгот восточную долготу следует брать с противоположным знаком по отношению к западной долготе.

На рис. 2.10 изображен сферический треугольник ABC, стороны которого АВ, ВС и СА имеют длины с, а и b соответственно.

В астрономии и астродинамике обычно используются четыре формулы, связывающие величины сторон а, b, с с углами А, В и С: 1) Формула косинусов

Эта формула имеет еще две разновидности, а именно:

2) Формула синусов

Ею следует пользоваться с осторожностью, ибо если, например, заданы а, b и В, то, не располагая дополнительной информацией, мы не можем решить, какое из двух значений, А или (180° — А) является верным.

3) Аналог формулы косинусов

У этой формулы есть пять разновидностей.

4) Формула, связывающая четыре последовательных элемента сферического треугольника:

Эта формула также имеет пять разновидностей.

Доказательство приведенных здесь, а также ряда других формул можно найти в книге Смарта [4], включенной в список литературы в конце главы.