8.7.4. Сравнение аналитического и численного подходов
Чтобы завершить обсуждение исследований эволюции орбит внешних планет, сравним различные методы решения этой задачи. Первый метод основан на аналитической теории. Типичным примером такого подхода может служить вековая теория Брауэра
и Ван Веркома [5]. Слово «вековая» указывает на поиски решения, которое справедливо на большом интервале времени. Коротко-периодические члены нас не интересуют, поэтому они с самого намяла исключаются из возмущающей функции. Затем возмущающая функция раскладывается (до некоторого порядка) по возмущающим массам, эксцентриситетам и наклонениям. Разумеется, при этом очень важно учесть критические члены, которые обусловлены близостью параметров системы к резонансным значениям. Коэн и др. [9], исходя из такой теории, пришли к зависимостям элементов, аналогичным полученным в результате численного интегрирования. В разложении для возмущающей функции эти авторы оставили только члены до первого порядка (включительно) но возмущающим массам и до второго порядка по эксцентриситетам и наклонениям. В случае Юпитера и Сатурна было получено очень хорошее соответствие результатов, поскольку были учтены члены, связанные с близостью системы к резонансу, имеющие период около 900 лет. Однако в других случаях наблюдались значительные расхождения, хотя общий характер зависимостей и совпадал. По предположению Коэна и др. такое расхождение обусловлено тем, что они пренебрегали членами, связанными с большим неравенством в системе Уран—Нептун.
Второй возможный подход состоит в применении специальных, а не общих возмущений. Пример такого подхода также можно нанти в работе Коэна и др. [9]. При этом подходе точные значения координат и скоростей получаются на возможно большем временном интервале, который ограничивается ошибками округления и погрешностями, вызванными отбрасыванием в разложениях членов высокого порядка. Другим важным фактором в этом случае является требуемое машинное время. Правда, современные вычислительные машины обладают таким быстродействием, что интегрирование может выполняться на любых разумных интервалах времени. Чтобы избежать чрезмерного роста ошибок округления и ошибок, связанных с отбрасыванием членов высокого порядка, следует выбирать модели, позволяющие использовать большой шаг интегрирования без значительного накопления ошибок.
Третий подход, примененный Уильямсом и Бенсоном [32], уже обсуждался. Указанные авторы весьма искусно построили прощенную модель и были вознаграждены очень хорошим совпадением своих результатов с результатами Коэна и др. Однако такое явление, как либрационное движение перигелия Плутона с периодом около 4 000 000 лет, может быть обусловлено очень малыми силами; кроме того, чрезвычайно малые изменения модели могут приводить к значительным изменениям в конечных результатах. Рассмотренный подход можно назвать полуаналитическим (или иолучисленным).
