3.8. Геоцентрический параллакс

Теоретически направление на небесный объект, наблюдаемый из точки на поверхности Земли (топоцентрическое направление), не совпадает с геоцентрическим направлением. Практически же, если объектом является звезда, то эти направления неразличимы; если объект — Солнце, то угол между этими направлениями может достигать для ближайших планет угол может достигать , а для Луны его значение может равняться приблизительно Г.

Рис. 3.5.

Для близкого искусственного спутника направление, в котором он виден со станции на Земле, и его геоцентрическое направление могут различаться почти на 90°.

Чтобы избавиться от влияния этого геоцентрического параллакса, обусловленного конечными размерами Земли, надо топоцентрические экваториальные координаты объекта привести к центру Земли.

На рис. 3.5 изображена станция наблюдения О, расположенная на поверхности Земли на расстоянии от ее центра С. С нее осуществляется слежение за спутником V, находящимся на расстоянии от О и от С. Меридиан, проходящий через северный полюс Земли Р и точку О, пересекает земной экватор ТА в точке — направление в точку весеннего равноденствия). ОТ — это направление, в котором точка Т видна из О. Оно параллельно СТ. Геоцентрическая и астрономическая широты О равны соответственно углам и

Обозначим угол . Поскольку Земля вместе с расположенным на ней наблюдателем поворачивается вокруг своей оси, угол ТСЛ увеличивается. Но угол ТСА равен местному звездному времени наблюдателя. Таким образом,

Если взять тройку невращающихся прямоугольных осей СТ, CY и СР (см. рис. 3.5), то координаты точки будут выражаться следующим образом:

где задается уравнением (3.23).

Если большая и малая полуоси эллипса, образованного при сечении Земли (по дуге РОА), равны соответственно а и b, то можно показать, что

и

где

Следует отметить, что - это расстояние до уровня моря. Если станция О расположена на высоте над уровнем моря, то вместо надо взять .

Теперь можно вычислить мгновенные прямоугольные координаты станции.

Данными наблюдений являются видимые прямое восхождение а и склонение аппарата (видимые, так как измеряются на небесной сфере с центром в точке наблюдения). До тех пор, пока не выполнены еще и измерения дальности, расстояние в общем случае неизвестно (или известно только приблизительно).

Нам хотелось бы, устраняя влияние геоцентрического параллакса, получить геоцентрические координаты: прямое восхождение а, склонение и расстояние . Аналогичная задача у нас уже встречалась (разд. 2.9.2, пример 3, части 2, 3).

Возьмем тройку прямоугольных осей ОТ, OY, ОР, проходящих через О и параллельных соответственно осям СТ, CY, СР. Пусть — координаты спутника У относительно этих осей. Тогда

Если х, у, z — геоцентрические прямоугольные координаты спутника V, то

Очевидно,

Следовательно, если в уравнения (3.27) подставить (3.24), (3.25) и (3.26), то из получившихся соотношений можно найти как функции . Кроме того, туда войдут известные величины и 0. Три уравнения имеют вид

На практике часто бывает намного удобнее вычислять .

Умножая (3.28) на , (3.29) на и складывая результаты, получаем

Умножая (3.28) на , (3.29) на и складывая, получаем

Разделив (3.31) на (3.32), находим

Подставив в (3.32)

и воспользовавшись уравнением (3.31), после небольших упрощений получаем

Определим величины m и у следующим образом:

Тогда

и в силу (3.30)

Умножая (3.34) на , (3.35) на и вычитая, получаем

Умножая (3.34) на , (3.35) на и складывая, находим

Таким образом, из (3.36) и (3.37) получаем

или

где

Аналогичным образом при помощи уравнений (3.34) и (3.35) можно получить

Четыре уравнения (3.33), (3.39), (3.40) и (3.41) являются точными и дают поправки, обусловленные геоцентрическим параллаксом. Можно рассмотреть несколько случаев:

1) Объект находится на расстоянии, намного превышающем расстояние до Луны (например, межпланетный зонд). В этом случае поправки намного меньше 1°, поскольку намного меньше 1/60.

Тогда, выразив в радианах, можно с достаточной степенью точности записать уравнение (3.33) в виде

Аналогично уравнение (3.39) можно записать в виде

    (3.43)

где у задается соотношением

Точно так же из уравнения (3.41) можно получить

    (3.45)

Для того чтобы пользоваться этими уравнениями, необходимо знать значения . На практике это требование обычно удовлетворяется.

2) Расстояние до объекта порядка расстояния от Земли до Луны (например, искусственный спутник Луны). В этом случае величины являются малыми поправками. Углы имеют величины порядка 1° или менее, а величина порядка 1/60 расстояния до аппарата или менее. Углы а и б измеряются легко и точно; дальность при помощи радиолокатора также может быть измерена достаточно точно. Таким образом, как и в первом случае, можно пользоваться уравнениями (3.42)-(3.45), но если объект движется между орбитами Земли и Луны, то следует применять точные уравнения (3.33), (3.39), (3.40) и (3.41).

3) Расстояние до объекта порядка радиуса Земли (например, спутник Земли). В этом случае должны применяться точные уравнения. Величины теперь уже не являются малыми. Дальность либо может быть непосредственно измерена при помощи радиолокатора, либо, если орбита спутника известна, может быть найдена приближенно. Если ни одно из этих условий не выполняется, то учесть поправки, обусловленные геоцентрическим параллаксом, уже не так просто. Для того чтобы получить расстояние, надо иметь данные наблюдений по крайней мере из двух точек на поверхности Земли. Если спутник наблюдают одновременно с двух станций О и то на каждой станции получают его видимое положение. Пусть эти положения задаются парами чисел Геоцентрическое положение спутника задается парой чисел . Если расстояния от спутника до точек О, О" и до центра Земли обозначить , то тогда мы имеем пять неизвестных величин . Уравнения (3.28), (3.29) и (3.30) записываются сначала применительно к О, а затем к Из полученных таким образом шести уравнений могут быть найдены наши пять неизвестных. Заметим, что на практике одновременное проведение наблюдений маловероятно, так что задача обработки данных наблюдений оказывается значительно более сложной.