7.5.1. Вывод уравнений возмущенного движения
Уравнение движения тела Р с массой 
, находящегося на возмущенной кеплеровской орбите вокруг тела S с массой М, имеет вид
где 
— радиус-вектор, проведенный из S в Р, G — гравитационная постоянная, F — возмущающее ускорение, 
. Пусть Е — кеплеровская энергия, определяемая соотношением
— соответственно оскулирукяций момент количества движения и вектор, направленный от S к перицентру и равный по величине оскулирующему эксцентриситету.
Введем вектор
Пусть к — истинная долгота Р, определяемая, как обычно, в виде суммы
где Q — долгота восходящего узла, 
— аргумент перицентра, 
истинная аномалия. Тогда, используя эти определения, уравнение (7.3), соотношение
и интеграл Гамильтона
можно легко показать, что
Вывод выражения для производной по времени от истинной долготы К значительно более трудоемок. Окончательная формула имеет вид
где
— единичные ортогональные векторы, такие, что i и j лежат в фундаментальной плоскости, а к перпендикулярен ей. Эти единичные векторы определяют оси х, соответственно. Угол Q измеряется в фундаментальной плоскости от оси 
Если возмущения отсутствуют, то оскулирующая орбита будет невозмущенной кеплеровской орбитой со свойствами обычного конического сечения в задаче двух тел.
Обозначая индексом k невозмущенные величины и воспользовавшись вторым законом Кеплера, получаем
благодаря тому, что
Вычитая из (7.12) уравнение (7.16), получаем
где (возмущение 
) определяется из соотношения
Заметим, что углы к и 
не обязательно компланарны.
Уравнения (7.9), (7.10) и (7.18) можно взять в качестве системы, которую будем интегрировать. Следует заметить, что она определяет только шесть независимых величин, поскольку имеет место связь
Кроме того, справедливы соотношения
которые вместе с уравнением (7.20) позволяют проверять правильность интегрирования.
Перепишем еще раз систему уравнений (7.9), (7.10) и (7.18):
Несмотря на то что уравнение (7.11) может показаться проще, чем уравнение (7.10) [так как при помощи (7.11) и (7.20) можно было бы исключить два из трех скалярных уравнений (7.10)], на практике оказывается, что уравнение (7.10) обычно короче, а (7.20) может привести к ошибке, если какая-нибудь из компонент становится равной нулю. Таким образом, уравнение (7.20) лучше всего использовать для контроля, а Е можно получить из соотношения
Заметим, кстати, что использование соотношения (7.18) напоминает метод Энке, и, следовательно, здесь также требуется спрямление орбиты, если выражение в скобках становится слишком большим, Подробнее этот вопрос будет обсуждаться позднее.
