15.9.1. Применение теоремы вириала к сферической системе
Чтобы сделать немного более точными приведенные выше рассуждения, применим к рассматриваемому случаю теорему вириала. В разд. 5 гл. 5 мы нашли, что для системы 
гравитирующих частиц с массами 
мы имеем соотношение 
а также соотношение
где
— момент инерции системы относительно центра масс;
— кинетическая энергия системы;
— потенциальная энергия системы; С — полная энергия системы 
— радиус-вектор и вектор скорости 
частицы; 
причем начало системы координат является центроидом системы.
Тогда, поскольку как U, так и Т положительны, то при положительном С величина 
также будет положительной и 
будет возрастать бесконечно, что приведет к убеганию из системы по крайней мере одной из масс.
Далее, если звездное скопление находится в стационарном состоянии, то 
не является функцией времени, так что
(15.81)
т. е. сумма потенциальной энергии и удвоенной кинетической энергии равна нулю. Если 
- средняя квадратичная скорость и М — полная масса системы, мы можем написать
(15.82)
Кроме того, если система представляет собой однородную сферу с радиусом R, ее потенциальная энергия, очевидно, приближенно определяется как
(15.83)
поскольку среднее удаление звезд друг от друга — это радиус сферы, среднее значение произведения 
равно 
где 
— средняя масса звезды, определяемая равенством 
при этом следует помнить, что при двойном суммировании каждый член учитывается дважды. Таким образом, из уравнений (15.81), (15.82) и (15.83) имеем
Для звезды на краю скопления скорость освобождения 
определяется как
Мы видим, что, если существует максвелловское распределение скоростей, некоторые звезды окажутся способны приобрести скорости, превышающие скорость освобождения; ввиду этого такие звезды будут покидать скопления.
В развитие изложенных идей было выполнено большое число работ, приведших к выработке концепции о времени релаксации звездной системы. Если одна звезда или большее число звезд покидают скопление, то необходимо некоторое время, чтобы в скоплении установилось новое равновесное распределение скоростей; это время и называется временем релаксации. Последнее тесно связано со временем распада системы. Значение времени релаксации можно определить из формулы
где 
— число звезд в системе, R — радиус системы, 
— средняя массы звезды. Если использовать в качестве единицы массы Солнце, 
выразить в парсеках, то формула сводится к следующей;
Время полураспада системы, т. е. время, за которое ее поккает половина звезд, составляет 
Для рассеянного скопления Плеяды 
лет, так что 
лет. Для большинства шаровых скоплений 
лет.
