15.9.1. Применение теоремы вириала к сферической системе

Чтобы сделать немного более точными приведенные выше рассуждения, применим к рассматриваемому случаю теорему вириала. В разд. 5 гл. 5 мы нашли, что для системы гравитирующих частиц с массами мы имеем соотношение а также соотношение

где

— момент инерции системы относительно центра масс;

— кинетическая энергия системы;

— потенциальная энергия системы; С — полная энергия системы — радиус-вектор и вектор скорости частицы; причем начало системы координат является центроидом системы.

Тогда, поскольку как U, так и Т положительны, то при положительном С величина также будет положительной и будет возрастать бесконечно, что приведет к убеганию из системы по крайней мере одной из масс.

Далее, если звездное скопление находится в стационарном состоянии, то не является функцией времени, так что

    (15.81)

т. е. сумма потенциальной энергии и удвоенной кинетической энергии равна нулю. Если - средняя квадратичная скорость и М — полная масса системы, мы можем написать

    (15.82)

Кроме того, если система представляет собой однородную сферу с радиусом R, ее потенциальная энергия, очевидно, приближенно определяется как

    (15.83)

поскольку среднее удаление звезд друг от друга — это радиус сферы, среднее значение произведения равно где — средняя масса звезды, определяемая равенством при этом следует помнить, что при двойном суммировании каждый член учитывается дважды. Таким образом, из уравнений (15.81), (15.82) и (15.83) имеем

Для звезды на краю скопления скорость освобождения определяется как

Мы видим, что, если существует максвелловское распределение скоростей, некоторые звезды окажутся способны приобрести скорости, превышающие скорость освобождения; ввиду этого такие звезды будут покидать скопления.

В развитие изложенных идей было выполнено большое число работ, приведших к выработке концепции о времени релаксации звездной системы. Если одна звезда или большее число звезд покидают скопление, то необходимо некоторое время, чтобы в скоплении установилось новое равновесное распределение скоростей; это время и называется временем релаксации. Последнее тесно связано со временем распада системы. Значение времени релаксации можно определить из формулы

где — число звезд в системе, R — радиус системы, — средняя массы звезды. Если использовать в качестве единицы массы Солнце, выразить в парсеках, то формула сводится к следующей;

Время полураспада системы, т. е. время, за которое ее поккает половина звезд, составляет Для рассеянного скопления Плеяды лет, так что лет. Для большинства шаровых скоплений лет.