12.7.2. Интеграл Якоби для близкого спутника Луны

Выберем систему вращающихся осей координат причем начало помещено в центре Луны, ось Ох направлена вдоль прямой, соединяющей центры масс Луны и Земли, ось Оу лежит в экваториальной плоскости Луны, образуя угол 90° с Ох, а ось перпендикулярна к этой плоскости (рис. 12.5).

Рис. 12.5.

Указанный выбор осей идентичен с выбором осей, неподвижных относительно Луны и направленных вдоль ее главных осей инерции. Тогда координаты Земли в этой системе будут , где а — радиус селеноцентрической орбиты Земли. Если обозначить через координаты спутника по отношению к вращающимся осям, то потенциал V, определяемый полями тяготения Земли и Луны, дается выражением

которое не содержит времени явно. Тогда уравнения движения спутника будут

Отсюда можно вывести интеграл Якоби. Умножив эти уравнения соответственно на сложив и затем проинтегрировав, получим в результате

Следует отметить, что V содержит полный потенциал Луны.

Любая теория искусственного спутника Луны должна быть разработана гораздо детальнее описанной выше, если необходимо получить информацию о гармониках лунного поля более высокого порядка. Приемлемую теорию можно развить путем, аналогичным разработке теорий спутников Земли, но она оказывается сложнее, поскольку должна включать возмущающий эффект Земли. Последний не только значительно сильнее, чем возмущающий эффект Луны на типичный спутник Земли; большая ось фигуры Луны всегда направлена приблизительно на центр Земли, что поднимает проблему возможных резонансных явлений, которые могут вызвать колебания радиуса-вектора спутника с такой большой амплитудой, что он в конце концов разобьется о поверхность Луны. В числе лиц, разрабатывающих теории искусственных спутников Луны, упомянем Бурмберга [2], Козаи [4], Ласса и Солловэя [5], Остервинтера [6] и Роя [7].