5.10.4. Устойчивость точек либрации

Посмотрим теперь, что будет происходить с бесконечно малой частицей, если ее поместить вблизи одной из точек либрации. Такая ситуация может возникнуть, если частица, находившаяся в точке либрации, испытает на себе возмущающее воздействие какого-то постороннего тела. Будем, кроме того, предполагать, что не только смещение частицы от точки либрации, но и ее скорость малы. Если в дальнейшем частица будет быстро удаляться от точки либрации, то такое положение равновесия можно назвать неустойчивым; если же частица будет колебаться около точки либрации, то положение равновесия устойчиво. В небесной механике часто применялся именно такой метод исследования устойчивости решения.

Пусть во вращающейся системе точка Лагранжа имеет координаты , а частица смещена в точку при этом ее скорость имеет компоненты Подставляя эти величины в уравнения движения частицы (5.55) и раскладывая в ряд Тейлора, получаем

Здесь индекс означает, что частные производные U вычисляются в точке Если смещения малы, то членами, в которые входят квадраты, произведения и члены более высокого порядка по , можно пренебречь. Тогда уравнения принимают вид

где величины U и

постоянны, так как вычисляются в точке Лагранжа.

Рассмотрим сначала двумерный случай — движение в плоскости Тогда имеет место система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Ее общее решение можно записать следующим образом:

Здесь — постоянные интегрирования; — постоянные, зависящие от и постоянных коэффициентов в дифференциальных уравнениях. Величины X, являются корнями уравнения, получающегося приравниванием нулю характеристического детерминанта системы (5.57), переписанной в виде

где

Подставляя в (5.58)

получаем

или

откуда

Если все X, полученные из уравнения (5.59), есть чисто мнимые числа, то и являются периодическими функциями и, следовательно, в окрестности точки дают устойчивые периодические решения. Если же какие-нибудь из — действительные или комплексные числа, то и со временем будут возрастать, так что решение будет неустойчивым.

Возможно, однако, что решение помимо экспонент будет содержать постоянные. Тогда решение будет устойчивым, если у остальных экспонент показатели чисто мнимые.

Исследуем теперь точки Лагранжа более подробно. Имеем

где

Введем следующие обозначения:

и

Тогда найдем, что

В случае решения, соответствующего расположению точек Лагранжа на одной прямой, так что

следовательно,

и уравнения движения для малых смещений записываются в виде

Уравнение для не зависит от первых двух уравнений и, поскольку А положительно, представляет собой просто уравнение синусоидального движения, имеющее решение

откуда видно, что колебания по конечны, малы и совершаются с периодом

Подставляя в уравнение (5.59), получаем

или

где

Существует три значения А, соответствующие трем точкам Лагранжа (см. рис. 5.4), полученным из трех уравнений пятой степени — одно из этих уравнений]. Можно показать, что все три значения удовлетворяют неравенству

при любых (напомним, что Следовательно, из четырех корней уравнения (5.60) два корня действительные (равные по величине, но противоположные по знаку), а два корня чисто мнимые сопряженные. Значит, решение в этом случае неустойчиво. В то же время, если аккуратно подобрать начальные значения , то движение можно сделать периодическим. При этом частица будет двигаться по эллиптической орбите вокруг точки Лагранжа. Однако в общем случае коллинеарное решение следует считать неустойчивым. Используя численное интегрирование, Абханкер обнаружил, что частица уйдет от точки совершив вокруг нее не более двух оборотов.

Рассмотрим теперь треугольные решения, соответствующие точкам Лагранжа . В этом случае так что

Если взять точку , то

Тогда уравнения движения для малых смещений принимают вид

Снова колебания по является устойчивыми и описываются уравнением

где — постоянные интегрирования. При этом период колебаний равен периоду обращения тел конечной массы, т. е. . Используя, как и прежде, уравнение (5.59), получаем

Чтобы четыре корня биквадратного уравнения были попарно сопряженными и чисто мнимыми, должно выполняться условие

Переписав это неравенство в виде

можно получить

Поскольку , то перед корнем надо взять знак минус.

Если , то так что для устойчивости необходимо, чтобы

Если это условие выполнено, то в малой окрестности точки либрации частица движется по периодической орбите. В системе Солнце—Юпитер так что условие выполняется. Действительно, известна группа астероидов (Троянцы), колеблющихся около точек Лагранжа. Для системы Земля—Луна и указанное условие также удовлетворяется, хотя в данном случае из-за влияния Солнца задача значительно усложняется. В дальнейшем мы вернемся к этой системе.