10.6. Действие атмосферного торможения на искусственный спутник

Для большинства спутников Земли торможение атмосферой приводит к вековым изменениям орбиты и обычно оказывается силой, в конечном счете отбирающей энергию у спутника, что приводит к его спиральному движению по направлению к Земле. Хотя вековые возмущения, вызванные атмосферным торможением, воздействуют на элементы (именно а не), которые не изменяются вековым образом под действием гармоник поля тяготения Земли, использование двух отдельных теорий — одной для торможения, а другой для поля тяготения Земли — на практике не дает удовлетворительного решения задачи. Необходимо разработать теорию, которая включала бы как эффекты сплюснутости, так и атмосферного торможения. В то же время, чтобы общая картина оставалась достаточно ясной, пренебрежем эффектами сплюснутости в этом разделе и предположу, что мы рассматриваем случай невращающейся сферической планеты, обладающей атмосферой.

Тогда потенциальная функция тяготения выражается просто как и сила сопротивления действует в качестве возмущающей силы на кеплеровскую эллиптическую орбиту спутника.

Форма спутника является существенным фактором задачи, так же как и средняя плотность. В общем случае спутник произвольной формы, движущийся с некоторой скоростью v в атмосфере с плотностью оказывается подверженным действию как подъемной силы, так и торможения. Обе силы будут меняться со временем, если спутник вращается и кувыркается при своем движении по орбите; то же самое будет происходить и при движении спутника с переменной скоростью через области атмосферы с меняющейся плотностью. Не располагая точными сведениями об ориентации спутника, а также плотности атмосферы в произвольно заданный момент, мы не можем точно предсказать изменения орбиты спутника.

Однако для практических целей разумно предположить, что ввиду постоянных изменений ориентации спутника подъемная сила в среднем равна нулю. Кроме того, можно ввести определенное значение для средней площади поперечного сечения спутника, необходимое для расчета атмосферного торможения. В качестве закона изменения плотности с высотой иногда берется простая

зависимость падения плотности с высотой или используется некоторая модель атмосферы, параметры которой определяются эмпирическим путем из спутниковых наблюдений.

Ниже мы рассмотрим случай спутника массы m (пренебрежимо малой по сравнению с массой Земли), на который воздействует сила сопротивления F на единицу массы; сила сопротивления направлена в сторону, обратную направлению геоцентрической скорости спутника V. Указанная сила определяется выражением

Здесь CD — аэродинамический коэффициент сопротивления, А — площадь среднего поперечного сечения спутника и — плотность воздуха.

Рис. 10.6.

Значение коэффициента CD лежит между 1 и 2. Оно оказывается ближе к 1, когда средняя длина свободного пробега молекул атмосферы мала по сравнению с размерами спутника, и ближе к 2, когда средняя длина пробега велика по сравнению с размерами спутника. Плотность является функцией высоты над земной поверхностью, а следовательно, функцией расстояния от центра Земли.

Уравнения (6.41) определяют скорости изменения оскулирующих элементов орбиты в зависимости от компонент S, Т и W возмущающего ускорения (S, Т и W — радиальная, трансверсальная и ортогональная компоненты соответственно, как показано на рис. 10.6, где Е — центр Земли, а Р - положение спутника).

Уравнения (6.42) определяют связь между

Здесь Т — компонента возмущающего ускорения, касательная к орбите в направлении движения, компонента, перпендикулярная к касательной, положительная в направлении к Земле (рис. 10.6). Тогда сила сопротивления будет , в то время как

Используя известное соотношение для эллиптической орбиты

преобразуем уравнения (6.41) к виду

    (10.25)

При исследовании уравнений (10.27) и (10.28) становится ясным, что, как и предполагалось, ни прямое восхождение восходящего узла, ни наклонение плоскости орбиты не подвержены влиянию сопротивления атмосферы. Кроме того, мы замечали, что ненулевые правые части уравнений имеют множитель показывающий, что высокое отношение площади поперечного сечения к массе приводит к наибольшим эффектам сопротивления атмосферы. В идеальном случае спутник, специально разработанный для исследования внешних слоев атмосферы, должен иметь сферическую форму и высокое отношение

В оставшихся четырех уравнениях мы можем заменить V и преобразовать их к независимой переменной f вместо I, применяя соотношения задачи двух тел:

Отсюда

и

После этого четыре уравнения записываются в таком виде:

Плотность атмосферы p является гладкой функцией Исследуя правые части четырех уравнений с учетом сделанного замечания, мы видим, что уравнения для а не при интегрировании (если принять в первом приближении, что в правых частях значения а и остаются постоянными) дают вековой член, указывающий, что а не уменьшаются вековым образом в зависимости от , а следовательно, и от t. С другой стороны, присутствие члена в двух других уравнениях приводит к тому, что оказываются периодическими функциями времени. Колебания этих величин в общем случае имеют небольшие амплитуды вследствие малости коэффициента . Эти элементы мы в дальнейшем рассматривать больше не будем.

Чтобы решить уравнения для а и , полезно снова изменить независимую переменную, на этот раз на эксцентрическую аномалию, при помощи соотношений

и

После указанной замены получаем

Если — возмущения элементов а и с за один оборот спутника по орбите, то

интегрирование этих уравнений производится численными методами.

Плотность атмосферы представляет собой эмпирическую функцию , хотя в большом числе работ изменения плотности представляются простым экспоненциальным законом:

Здесь — высота, — некоторая стандартная высота (обычно — высота перигея), — плотность атмосферы на стандартной высоте, шкала высот (по предположению, постоянные). Шкала высот — это расстояние по вертикали, на котором плотность изменяется в раз; ее значение зависит от высоты: Н равно примерно 6 км на уровне моря и достигает 40 км на высоте около 200 км.

Здесь полезно сделать еще несколько замечаний. Расстояния перигея и апогея равны и соответственно. При вычислении изменений этих величин за один оборот спутника при помощи легко выводимых соотношений

мы находим, что, пока значение эксцентриситета не станет очень малым, изменения высоты апогея оказываются значительно большими, чем изменения высоты перигея. Такие изменения орбиты спутника, вызванные сопротивлением атмосферы, с качественной стороны показаны на рис. 10.7.

Выше никак не принимались во внимание ни сплюснутость земной атмосферы, окутывающей несферическую Землю, ни вращение этой атмосферы.

Рис. 10.7.

Для планеты сфероидальной формы плотность оказывается функцией высоты, т. е. расстояния вдоль нормали к поверхности планеты; становится существенным и различие между скоростью вращения атмосферы и скоростью спутника [6, 12, 13, 15].

Температура, а следовательно, и плотность верхней атмосферы изменяются вследствие вариаций падающего потока солнечного излучения в зависимости от времени суток и времени года (суточные и сезонные вариации); эти изменения были изучены по их влиянию на орбиты спутников Земли. Солнечная активность, например появление вспышек, также вызывает возмущения, обусловленные нагревом атмосферы: плотность последней на высотах порядка 800 км временами увеличивается в раз.