5.4. Силовая функция

В этом разделе рассмотрим более подробно функцию U, задаваемую формулой

Она является симметричной функцией масс всех тел и взаимных расстояний между ними, причем U явно не зависит ни от времени, ни от расстояний тел от начала координат. Именно эти свойства функции U и позволяют получить десять интегралов движения. Первые девять интегралов являются следствием того, что U инвариантно по отношению к поворотам осей и переносам начала отсчета. Интеграл энергии имеет место благодаря тому, что в U явно не входит время (хотя, разумеется, U косвенно зависит от времени через ).

Если обозначить единичные векторы, направленные вдоль осей через i, j и k, то

Символ V (набла) обозначает оператор , т. е.

Поскольку

то видно, что для тела с массой - справедливо уравнение

где

Приравнивая коэффициенты при единичных векторах, получаем

Система (5.15) представляет собой уравнения движения тела с массой в прямоугольной системе координат. Функция U называется силовой функцией, так как частные производные U представляют собой компоненты сил, действующих на тела.

Покажем теперь, что потенциальная энергия системы действительно равна —U. Пусть тела расположены таким образом, что любые два из них находятся на бесконечном расстоянии друг от друга. Предположим, что тело фиксировано в точке с радиусом-вектором а тело перемещается из бесконечности в точку вдоль пути s. Тогда, если в каждой точке траектории для перемещения тела вдоль малого элемента кривой требуется сила F, то при этом совершается работа

Общая работа определяется криволинейным интегралом

Однако F — это сила притяжения тела телом т. е.

где

Следовательно,

где

Таким образом, получаем

поскольку

Рассмотрим теперь процесс перемещения тела в точку в поле сил тяготения тел которые предполагаются закрепленными в точках Работа, совершенная при этом, определяется выражением

где

Как и раньше, можно показать, что при перенесении тела в точку совершается работа

Таким образом, полная работа, совершаемая при образовании системы трех тел, равна

Очевидно, при образовании системы тел совершается работа

Потенциальная энергия системы по определению равна работе, совершаемой при разнесении всех тел на бесконечные расстояния друг от друга, т. е. в данном случае потенциальная энергия равна