15.9.2. Орбиты звезд в сферической системе

Можно сделать определенные выводы относительно орбит звезд в звездной системе, обладающей сферической симметрией. В разд. 15.7 мы видели, что, когда гравитационный потенциал U является функцией только расстояния от центра системы, мы имеем четыре интеграла Первый — это интеграл энергии:

остальные являются интегралами момента количества движения, которые можно суммировать в векторной форме в виде

где и V — радиус-вектор и вектор скорости звезды в системе. Таким образом, плоскость орбиты звезды не изменяет свою ориентацию в сферически-симметричной системе (исключая тот редкий случай, когда в системе происходит тесное сближение интересующей нас звезды и другой звезды системы). Тогда мы можем записать уравнение движения звезды в плоскости, используя полярные координаты:

    (15.84)

где h — постоянная момента количества движения и

    (15.86)

Так как звезда находится в сферически-симметричной системе на расстоянии от центра, то сила, действующая на звезду, определяется притяжением массы заключенной внутри сферы радиуса .

Исключая из (15.84) и (15.85), мы получаем

Умножая на и интегрируя получившееся выражение, имеем

    (15.87)

где с' — постоянная. Это соотношение энергии. Пусть — лучевой и нормальный к нему компоненты скорости; тогда

После этого, используя (15.85) и (15.87), мы находим

    (15.88)

и

    (15.89)

или

    (15.90)

где С тоже постоянная. Соотношения (15.88) и (15.89) дают нам все, что необходимо для определения характеристик орбиты.

Возможны круговые орбиты. Если это так, то . Следовательно, . Все эти соотношения удовлетворяют уравнениям (15.87)-(15.89). Прямолинейные орбиты, проходящие через центр системы, также возможны. В этом случае и оказывается переменной, как и потенциал связь между ними определяется уравнениями (15.87) и (15.89). Мы видим также, что, если орбита не является ни круговой, ни прямолинейной, она должна располагаться между двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны расстояниям апоцентра и перицентра.

Из уравнения (15.87) мы имеем

    (15.91)

Когда звезда достигает перицентра или апоцентра, становится равным нулю; отсюда следует, что

    (15.92)

Таким образом, корни этого уравнения дают нам расстояния перицентра и апоцентра. Подобные орбиты будут овалами, которые могут вращаться в орбитальной плоскости. В частности, если орбита расположена в сферической системе достаточно далеко от центра, тогда движение и орбита будут приблизительно кеплеровскими, поскольку основная масса звездной системы будет действовать как материальная точка в центре. С другой стороны, на звезду, орбита которой лежит глубоко в области ядра системы, будет действовать сила притяжения, пропорциональная расстоянию от центра системы. Следовательно, потенциал U будет иметь форму где с — положительная постоянная. Тогда из (15.92) мы получим

Это — биквадратное уравнение, корни которого определяют большую и малую оси приближенно эллиптической орбиты, которую описывает звезда под действием силы, описываемой указанным выше законом. В противоположность кеплеровской орбите центр этого эллипса является центром системы, а угловая скорость равна и оказывается той же самой для любой орбиты в этой центральной области системы.