5.10.10. Матрица устойчивости

Вернемся к понятию устойчивости. Здесь центральную роль играет якобиан преобразования в соотношении (5.76).

Пусть начальное состояние, соответствующее периодической орбите с периодом Т, а малое приращение Если в фазовом пространстве определить вектор

то можно показать, что

где

Кроме того, имеем

и (5.80) принимает вид

Используя это соотношение, можно показать, что

т. е. что «расстояние» между периодической орбитой и близкой апериодической орбитой в первом приближении зависит только от матрицы и ее степеней.

Именно это свойство и лежит в основе строгого математического определения устойчивости периодической орбиты. Можно доказать ряд свойств матрицы . При исследовании устойчивости в ограниченной задаче находятся собственные значения этой матрицы; по традиции их совокупность называется следом матрицы. Можно показать, что в ограниченной задаче два собственных значения равны единице, а два других таковы, что их произведение также равно единице [25]. Здесь мы ограничимся тем, что приведем соотношение между следом матрицы А (Т), ее собственными значениями и характеристическими показателями Пуанкаре а, —а:

При исследовании устойчивости периодических решений в ограниченной задаче применялись и другие методы. Многие орбиты являются неустойчивыми, однако показано, что области устойчивости существуют. В такой области возмущение частицы в некоторой точке ее орбиты, сопровождающееся незначительным изменением ее скорости, переводит ее на новую траекторию, которая в течение сколь угодно большого времени будет мало отличаться от первоначальной.